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费尔马不仅仅以数论出名，比如大家熟悉的大费马（猜想）定理小费定理等，他对极值的研究，微分法的研究也很出名，比如光学中的费尔马原理。这里我们讲一个比较著名的费尔马研究过的几何问题。这个问题后来被施泰纳研究过，并推广成街道网络极小值问题。相关的施泰纳比值猜想是20世纪的著名的难题，被我国数学家堵丁柱等人在20世纪80年代后期在美国工作期间给予解决。
内角均小于120°的三角形内一点到三个顶点的距离和取最小值，那么这个点的特点是什么？这就是费尔马研究的几何极值问题。
我们假设P是三角形ABC内一点，将三角形APC以A为轴心逆时针旋转60度，得到三角形AP’B’，
那么⊿AP’B’≌ ⊿APC.
PA+PB+PC=BP+PP’+P’B’>=BB’
故P在BB上，上式才取等号，设C’是将三角形BPA以B为轴心逆时针旋转60度变换后A的像，点P只能是在CC’的点也才能使得PA+PB+PC取最小值。设A’是将三角形BPC以C为轴心逆时针旋转60度变换后B的像，点P只能是在AA’上才能使得PA+PB+PC取最小值。同样P必须在AA’上，上才能使得PA+PB+PC最小，这样我们就证明了只要这个取最小值的点存在，那么必然在三角形三个边外接正三角形外的顶点与三角形顶点的连线上，这个点叫费尔玛点。当然这个点是存在的，可以做三个正三角形的外接圆，容易证明三线相交于一点。
设⊿ACB’，⊿AC’B外接圆相交于P点，那么∠CPA=∠BPA=120°，这样∠CPB=120°，所以A’,C,P,B四点共圆，连接P，A’，那么∠A’PB=∠A’CB=60°所以A，P，A’共线，同理可证B，P’,B’共线，C，P，C’共线，这个点P就是费尔马点。
