托勒密定理的证明 托勒密定理逆定理

http://iask.sina.com.cn/b/2459822.html

http://hyz0.blog.sohu.com/69610635.html

http://baike.baidu.com/view/148250.htm

http://baike.baidu.com/view/148250.htm(百度上的这个有托勒密定理的推广,很有意思!)

一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。

托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文:圆内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

  从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.(具体的推导方法详见数学目录下的博文《两角和与差的三角函数公式的证明》,利用托勒密定理这一思路来自网友的提供,我原来的证明用了另一种思路,但不如用托勒密定理来得简洁!)

思路:托勒密定理在平面几何中赫赫有名,其难点在于:把一条对角线分割成两条线段DE和BE。第一步证明一对旋转的三角形相似:△ABE∽△ACD;第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB;只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。

证明:以AB为边,作一个角等于已知角:即∠BAE=∠DAC;

在ΔABE和ΔACD中,

∵ ∠BAE=∠DAC;

∠ABE=∠ACD;

∴ △ABE∽△ACD;

∴AB·DC=BE·AC①

∵ ∠BAE=∠DAC;

∴ ∠DAE=∠CAB;

在ΔADE和ΔACB中,

∵ ∠ADE=∠ACB;

∠DAE=∠CAB;

∴ △ADE∽△ACB;

∴AD·BC=DE·AC②

∴ ①+②得:

AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=(BE+DE)·AC=BD·AC。

结论:该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的,叫做托勒密定理。“当你遇到AB·DC+AD·BC=AC·BD这样的等积式时,如果等式左边可以合二为一,则考虑证一对三角形相似,否则,在AC、BD的其中一条线段上找到一个分点,构造两个三角形相似。

-----------------------------------------------------------------------------------

推论

  1.任意凸四边形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

  2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆。

证明

  (以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。)

  在任意四边形ABCD中,作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

  因为△ABE∽△ACD

  所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

  又有比例式AB/AC=AE/AD

  而∠BAC=∠DAE

  所以△ABC∽△AED相似.

  BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)

  (1)+(2),得

  AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

  又因为BE+ED≥BD

  (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”)

  所以命题得证

推广

  托勒密不等式:四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。

  简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模,

  得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

  注意:

  1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。

  2.四点不限于同一平面。

欧拉定理:在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD·BC+AB·CD=AC·BD

托勒密定理的证明 托勒密定理逆定理

  

爱华网本文地址 » http://www.413yy.cn/a/25101017/362251.html

更多阅读

dnf穿梭时空的证明任务怎么完成 精 时空穿梭系统

dnf穿梭时空的证明任务怎么完成 精——简介 《地下城与勇士》是一款韩国网络游戏公司NEOPLE开发的免费色扮演2D游戏,由三星电子发行,并于2005年8 月在韩国正式发布。该游戏是一款2D卷轴式横版格斗过关网络游戏 (MMOACT),大量继承了众多

三角函数积化和差公式的证明 三角积化和差

首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》)因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式)则sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα于

关于四色问题和Hadwiger猜想的证明 四色猜想的计算机证明

关于四色问题和Hadwiger猜想的证明曹泽新一题外话因为要集中精力研究经济和专业工作,这里就把个人关于四色问题和hadwiger猜想的证明存这里备档,做个了结,不再摆弄它了。1.证明四色问题的直接原因,是因为那个计算机证明一直TM折磨着我。

123数字黑洞的证明 探究数字黑洞

1 2 3 数 字 黑 洞 的 证 明1 何谓数字黑洞百度百科:黑洞原是天文学中的概念,表示这样一种天体:它的引力场是如此之强,就连光也不能逃脱出来。数学中借用这个词,指的是某种运算,这种运算一般限定从某些整数出发,反复迭代后,结果必然落入一

勾股定理最简单的证明方法 勾股定理适合什么图形

从古至今,勾股定理的证明方法不下数百种。其中,下面这种证明方法,可算是最简单的了。(1)取任意一个直角边为a、b,斜边为c的直角三角形;(2)再取一个同样的直角三角形,放在它的右边,使两条直角边a、b连成一条直线;(3)连接两个锐角的顶点,又

声明:《托勒密定理的证明 托勒密定理逆定理》为网友梦好沉分享!如侵犯到您的合法权益请联系我们删除