分组分解法通常用于超过三项的多项式的因式分解,四项式的因式分解时,通常分组方法是:二二分组,三一分组。
例1、am+bm+an+bn
解:am+bm+an+bn=(am+bm)+(an+bn)(二二分组)
=m(a+b)+n(a+b)(提公因式法)
=(a+b)(m+n)(提公因式法)
或am+bm+an+bn=(am+an)+(bm+bn)(二二分组)
=a(m+n)+b(m+n)(提公因式法)
=(m+n)(a+b)(提公因式法)
第三节 分组分解法
【知识要点表解】
对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法。
方法 | 分类 | 分组方法 | 特点 |
分组分解法 | 四项 | 二项、二项 | ①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组 |
三项、一项 | 先完全平方公式后平方差公式 | ||
五项 | 三项、二项 | 各组之间有公因式 | |
六项 | 三项、三项 二项、二项、二项 | 各组之间有公因式 | |
三项、二项、一项 | 可化为二次三项式 |
【方法主线导析】
●学法建议
本节的重点是设计分组,使其能够具有公因式或运用公式为分解,难点是分组的合理性,值得注意的是分组的方法没有固定的形式,要依据其特点,适当的分组,预见其分组后的结果情况。
●释疑解难
1.对于四项式的两两分组,若分组的方法不同会导致最后的结果不同吗?
[解答]不会,因为通过合理的分组分解,且使每一个因式都分解到不能再分解时,最后的结果一定是相同的。
2.若多项式带有括号,应如何分解?
[解答]若多项式带有括号,且括号内的式子相同时,可用换元后进行分组分解,若括号内式子不相同,又不便直接分组时,要将括号去掉,重新整理后再分组分解。
●典型例题
例1对4x2+2x-9y2-3y运用分组分解法分解因式,分组正确的是:()
A.(4x2+2x)+(-9y2-3y)B.(4x2-9y2)+(2x-3y)
C.(4x2-3y)+(-9y2+2x)D.(4x2+2x-3y)-9y2
[分析]A.各组经过提取公因式后,组与组之间无公因式可提取,所以分组不合理。B.第一组可用平方差公式分解得(2x+3y)(2x-3y),与第二组有公因式2x-3y可提取,所以分组合理,C.与D.各组均无公因式,也不符合公式,所以无法继续进行下去,分组不合理。
[解答] B.
例2将x3-x2y-xy2+y3分组分解,下列的分组方法不恰当的是
A.(x3-x2y)+(-xy2+y3)B.(x3-xy2)+(-x2y+y3)
C.(x3+y3)+(-x2y-xy2)D.(x3-x2y-xy2)+y3
[分析]A.、B.各组提公因式后,又有公因式可提取分解,所以分组合理,C.第一组运用立方和公式,第二组提取公因式后,有公因式x+y,所以分组合理,D.第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式,所以分解不恰当。
[解答]D.
例3 把下列各式分解因式
(1)7x2-3y+xy-21x
(2)x2-3ax-6ab-4b2
(3)1-x2+4xy-4y2
[分析](1)按字母x、y两两分组,或按各项的系数比两两分组。(2)因为各项的系数之间无比例关系,按字母分组后又无公因式,所以应考虑符合公式的分组,即第一项、第四项一组,其余两项为另一组。(3)因为两项一组分组后,均无法继续分解,所以考虑三项、一项的分组,即把符合完全平方公式的项合为一组,另一项作为第二组。
[解答] (1)7x2-3y+xy-21x
=(7x2-21x)+(-3y+xy)
=7x(x-3)+y(x-3)
=(x-3)(7x+y)
或7x2-3y+xy-21x
=(7x2+xy)-(3y+21x)
=x(7x+y)-3(7x+y)
=(7x+y)(x-3)
2、3题略。
注意:虽然分组的形式不同,但分解的结果相同。
例4、 把下列各式分解因式
1、x2-4xy+4y2-3x+6y
2、x3-3x2+6xy-12y2+8y3
3、x2+4xy+4y2-9a2+6a-1
4、x2-2xy+y2-2x+2y+1
[分析](1)五项式分组常为三项、二项,且把符合公式的分为一组,所以前三项一组,后二项为另一组,(2)第一项与第五项为一组,其答卷项为另一组。(3)前三项与后三项均符合完全平方公式,且两者之间的符号相反,又可用平方差公式。(4)依次分为三项、二项、一项共三组,使其化为二次三项式,再继续运用完全平方公式。
[解答]1、x2-4xy+4y2-3x+6y
=(x2-4xy+4y2)-(3x-6y)
=(x-2y)2-3(x-2y)
=(x-2y)(x-2y-3)
2、3、4题略。
例5 把下列各式分解因式。
(1)a(a-1)(a-2)-6
(2)(x+2)(x-2)-4y(x-y)
(3)y(y+2)+4x(x-y-1)
[分析](1)(2)(3)都具有一个共性,即含有括号,且都无法再继续进行下去,这时,应考虑去掉括号,重新分组,则可“柳暗花明”,出现转机。
[解答]1、a(a-1)(a-2)-6
=a(a2-3a+2)-6
=a3-3a2+2a-6
=a2(a-3)+2(a-3)
=(a-3)(a2+2)
2、3题略。
例6已知x2+10xy+25y2-1=0,化简x3+5x2y+x2。
[分析]由已知条件,通过因式分解,可得到(x+5y)的值,从而可以化简的求代数式。
[解答]由x2+10xy+25y2-1=0,可得
x2+10xy+25y2-1=0
(x+5y)2-1=0
(x+5y+1)(x+5y-1)=0
x+5y+1=0或x+5y-1=0
当x+5y+1=0时,x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)=0
当x+5y-1=0时,x+5y=1,
x3+5x2y+x2=x2(x+5y+1)
=x2(1+1)
=2x2
[能力层面训练]
●知识掌握
1、用分组分解法把ab-c+b-ac分解因式分组的方法有
A、1种B、2种C、3种 D、4种
2、用分组分解a2-b2-c2+2bc的因式,分组正确的是()
3、填空:
(1)ax+ay-bx-by=(ax+ay)-()
=()()
(2)x2-2y-4y2+x=()+()
=()()
(3)4a2-b2-4c2+4bc=()-()
=()()
●延伸拓展
10、化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1998