幂函数教案 幂函数课件全国优质课

幂函数教案(第一课时)

太湖县徐桥高中王志余

教材分析:幂函数模型在生活中是比较常见的,学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2。组织学生画出他们的图象,根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。然后推广一般幂函数的图象和性质。

学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历,这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

教学目标:知识目标:(1)掌握幂函数的形式特征,掌握具体幂函数的图象和性质。

(2)能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.

能力目标:培养学生发现问题,分析问题,解决问题的能力。

情感目标: (1)加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。

(2)渗透辨证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析

教学重点:从五个具体函数归纳认识一般幂函数的一些性质并简单应用

教学难点:画五个幂函数的图象并由图象概括一般性质.

教学方法和教学手段:探索发现法和多媒体教学

教学过程

一、创设情景,引入新课

问题1:如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?

(总结:根据函数的定义可知,这里p是w的函数)

问题2:如果正方形的边长为a,那么正方形的面积s=a2,这里S是a的函数。

问题3:如果正方体的边长为a,那么正方体的体积v=a3,这里V是a的函数。

问题4:如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=s1/2,这里a是S的函数

问题5:如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的速度v=t-1,这里v是t的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?(右边指数式,且底数都是变量)

这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表,如果让你给他们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢?(变量在底数位置,解析式右边都是幂的形式)(适当引导:从自变量所处的位置这个角度)(引入新课,书写课题)

二、新课讲解

(一)幂函数的概念

如果设变量为x,函数值为y,你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式?

这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表,你能根据此给出幂函数的定义吗?

幂函数的定义:一般地,我们把形如y=xσ的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数。

探究一幂函数与指数函数有什么区别?(组织学生回顾指数函数的概念)

区别:

对幂函数来说,底数是自变量,指数是常数

对指数函数来说,指数是自变量,底数是常数

试一试:判断下列函数那些是幂函数

(1)y=0.98x(2)y=2x3(3)y=x-2(4)y=x1/6

我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识,根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历,你认为我们下面应该研究什么呢?(研究图象和性质)

(二)几个常见幂函数的图象和性质

在初中我们已经学习了幂函数y=x,y=x2,y=x-1的图象和性质,请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

根据你的学习经历,你能在同一坐标系内画出函数y=x3,y=x1/2的图象吗?

探究二观察函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的图象,将你发现的结论写在下表内。

函数

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

Y=x-1

定义域

R

R

R

[0,+∞)

(-∞,0)∪(0,+∞)

值域

R

[0,+∞)

R

[0,+∞)

(-∞,0)∪(0,+∞)

奇偶性

非奇非偶

单调性

在第Ⅰ象限上单增

在第Ⅰ象限上单增

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在第Ⅰ象限上单增

在第Ⅰ象限上单增

在第Ⅰ象限上单减

定点

(1,1)

(1,1)

(1,1)

(1,1)

(1,1)

图象分布

第Ⅰ,Ⅲ象限

第Ⅰ,Ⅱ象限

第Ⅰ,Ⅲ象限

第Ⅰ象限

第Ⅰ,Ⅲ象限

探究三根据上表的内容并结合图象,试总结函数:y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的共同性质。

(1)函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的图象都过点(1,1)

(2)函数y=x,y=x2,y=x3,,y=x1/2在(0,+∞)上单调递增;

归纳:幂函数y=xα的性质。

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过(1,1)

(2)当α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上增函数

特别地,当α>1时,x∈(0,1),y=xα的图象在y=x的下方

当0<α<1时,x∈(0,1),y=xα的图象在y=x的上方

(3)当 α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数。

(4)幂函数的奇偶性:令α=q/p(其中p与q互质,p,q∈N)

Ⅰ)若p,q都为奇数则y=xσ为奇函数

Ⅱ) 若p奇数,q为偶数则y=xσ为偶函数

Ⅲ) 若p为偶数,q为奇数则y=xσ为非奇非偶函数

例1】求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性。

(1)y=x4/5(2)y=x-5/3(3)y=x-4

分析:根据你的学习经历,你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑?

方法引导:解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑,列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域。

(1)若函数解析式中含有分母,分母不能为0;

(2)若函数解析式中含有根号,要注意偶次根号下非负;

(3)0的0次幂没有意义;

(4)若函数解析式中含有对数式,要注意对数的真数大于0;

求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。

结论:在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域;当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域。

归纳分析如果判断幂函数的单调性(第一象限利用性质,其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系)

例2】比较下列各组数中两个值的大小(在横线上填上“<”或“>”)

(1)0.33________0.43(2) 0.5-2________(-0.6)-2

(3) 31/2__________41/2(4) 0.50.2____________0.20.5

分析:利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小

三、课堂小结

1、 幂函数的概念。

2、 幂函数的图象

3、 幂函数的性质的应用。

四、课外作业

㈠课本第79页习题2.3第1、2、3题

(二) 1. 下列命题中正确的是(  )

A.当n=0时,函数yxn的图象是一条直线;

B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点;

C.若幂函数yxn的图象关于原点对称,则yxn在定义域内yx的增大而增大;

D.幂函数的图象不可能在第四象限.

2. 下列函数中不是幂函数的是(  )

A.y=x2;   B.yx;  C.y2x    D.yx1

3.已知函数f(x)=x(a1)

a   时,f(x)为正比例函数;

a   时,f(x)为反比例函数;

a   时,f(x)为二次函数;

4. 函数yxa(aQ)的图象,当0<x<1时,在直线yx的上方;当x>1时,在直线yx的下方,则a的取值范围是   

5.⑴求函数y=(x+2)2的定义域、值域.讨论当x增大时,函数值如何变化?并画出图象;

⑵问上述函数的图象与函数yx2的图象有何关系?

五、教学后记

幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议扫抓住关键点作图,要会熟练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解。

  

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