第一章行列式小结 矩阵论华科第一章小结

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一、行列式定义

行列式归根结底就是一个数值,只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。

举个例子:比如说电视机(看做一个行列式),是由很多个小的元件(行列式中的元素)构成的,经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机(行列式)。

那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢?

行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和(共有n!项)。(这里面的代数和,表示每个乘积项是带有正负号的,而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断!)

对于行列式的这个概念,仅仅是给出了行列式的一种通用定义,它能用来求特殊行列式(比如三角行列式、对角行列式等)的值和做一些证明,而真正要来求行列式的值,需要依据行列式的性质和展开法则。

二、行列式性质

行列式的那几条性质其实也很容易记忆。

1、行列式转置值不变。这条性质说明行列式行、列等价,凡是对行成立的,对列也成立。

2、互换两行(列),行列式变号。

3、两行(列)相等,则行列式为0。

4、数乘行列式等于该数与行列式某一行(列)所有元素相乘!

5、两行(列)成比例,则行列式为0。

6、行列式加法运算:某一行(列)每个元素都可以看成两项的和的话,可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。

7、某行(列)同乘一个数加到另外一行(列)上,行列式值不变。

这7条性质往往组合使用来求行列式的值。尤其第7条性质,一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式(既要会对行使用,也要会对列使用),最好能自己多做点练习。

三、行列式行(列)展开法则

行列式的行(列)展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。

行列式的行(列)展开法则一定注意一点,即一定是某行(列)每个元素同乘以自己对应的代数余子式。(即我一直强调的:要配套。)

如果是某行(列)每个元素同乘以另外一行(列)对应位置的代数余子式则值为零。(即:不配套。)

第一章行列式小结 矩阵论华科第一章小结

以上两个定理大家应该学会反向使用。也就是如果发现有类似的n-1阶行列式的代数和的话,可以根据上述定理合并成一个n阶行列式。(推论的证明不就是如此嘛!这种方式可以用来解决一些特殊问题。)

行列式行(列)展开法则往往和行列式的性质配合使用。

此种方式求行列式值不能作为通用方式,因为它的运算量太大了。但是可以采取这种方式找到规律,得到行列式的值的递推公式,从而求值。

以下图片为行列式行(列)展开和利用性质7求行列式值的效率对比。(引用自《线性代数及其应用》DavidC.Lay著)

第167页:

第172页:

四、克莱姆法则

克莱姆法则是用来求线性方程组解的一种方法。(不过这种方式有局限性,因为行列式是方的,所以要求方程组必须是方程个数与未知数个数相同才行。)

在这里呢,需要大家对方程组的解的情况有个大致了解(第三章还会详细讲解)。

1、非齐次线性方程组当系数行列式不等于零的时候有唯一解

2、齐次线性方程组当系数行列式不等于零的时候有唯一的零解。(因为齐次线性方程组无非是非齐次线性方程组的一种特殊情况而已)

3、非齐次线性方程组当系数行列式等于零的时候有两种可能:无穷解或无解。

行列式等于零说明行列式中的某一个(或多个)行可以由其他行利用行列式的性质组合而得到,所以行列式中出现了零行。

若行列式这种行之间的组合,对于整个对应的方程来说,也会把方程组中的某些方程消去的话,即方程组中有多余(也可说:无效)方程,则方程组无穷多解

而若这种过程,使得行列式的某些行能变成零,而整个对应的方程却不为零(大家可以想象一下这种形式什么样),说明方程组中出现了矛盾的方程,则方程组无解

4、齐次线性方程组当系数行列式等于零的时候只能是无穷多解。

以上大致列了一下第一章的内容,没有举实例,以后有时间再补充。

  

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