转载 用概率公式P乘=1-e-P加解题及应用一例 mba逻辑题解题公式

原文地址:用概率公式P乘=1-e-P加解题及应用一例作者:全球最前沿数理科

用概率公式P乘=1-e-P解题及应用一例:

美国科普大师马丁·加纳德(1914-)在他的著作《啊哈!灵机一动》中提到一个数学趣味题:取帽子。他在著作中是这样描述的:“以‘至少一个’形式的问题,是著名的娱乐数学问题,它通常以一个的形式给出,n个男人把帽子寄存在饭店里,粗心的存帽姑娘漫不经心,随便递出对号牌,那么至少有一个人能取回他自己的帽子的概率是多少?当n增加时,这个概率很快达到其极限(1-1/e),略大于1/2。这里e是一个著名的相关系数,称做欧拉系数等于2.71828,它在概率问题中经常遇到,如同几何问题中的圆周率。”

得到这一结论的计算过程是这样的:

因为每个男人能取回自己的帽子的可能性是1/n,不能取回自己的帽子(取到别人的帽子)的概率是1-1/n。又因每个男人各自有一次取回帽子的机会,共有n次机会,所以,n个男人中至少有一人取回自己的帽子的概率就是:

P1=1-(1-1/n)n≈1-1/e=1-e-1(n要足够大)。

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现在,我把此题引申出下面二个问题:

1、假设男人们再重复一次来取自己的帽子的话,至少能取回自己帽子的概率是多少?

2、假设每人寄存有二顶帽子,每人至少取回一顶自己的帽子的概率是多少?(帽子重新寄存)

对于第一个问题,因每人再重复一次,则共有2n次机会能取回自己的帽子,所以,至少有一人能取回自己帽子的概率是:

P2=1-(1-1/n)2n≈1-1/e2=1-e-2

对于第二个问题又有二种情况:

(1)、当不重复取帽子(每人只取一次)时,至少能取回一顶自己的帽子的概率是(每人寄有二顶帽子,取回一顶自己的帽子的机会是原来的二倍):

P3=1-(1-2/n)n=1-(1-1/n)2n≈1-1/e2=1-e-2

(2)、当再重复一次取帽子时,至少能取回一顶自己的帽子的概率是:

P4=1-(1-2/n)2n=1-(1-1/n)4n≈1-1/e4=1-e-4

下面我再一次把此问题引申:

在上述各种情况下,问到底会有多少人取回了自己的帽子?(因上述解答的是“至少一人”取回了自己的帽子的概率,我们还不知道实际有几人取回了属于自己的那顶帽子。)

要计算出“到底有多少人取回了自己的帽子”,首先应计算其概率:

依据本论文概率公式P乘=1-e-P

在上述结论P1=1-e-1中,P加=1表示“实际人数取回了自己帽子的累加概率”,而这一累加概率为1,表明已有1人有100%机率取回了自己的帽子;

同理:

在上述结论P2=1-e-2中,P加=2表明已有2人有100%机率(100%+100%=200%=2)取回了自己的帽子(可以是同一人。下同)

在结论P3=1-e-2中,P加=2也表明已有2人有100%机率(100%+100%=200%=2)取回了自己的帽子。

在结论P4=1-e-4中,P加=4表明已有4人有100%机率(100%+100%+100%+100%=400%=4)取回了自己的帽子。

通过以上的计算,出现了累加概率P加>1的事实,但这是根据统计累加得到的统计概率值,这与基础概率定义0≤P(A)≤1并不产生本质上的矛盾。

本文是将加纳德的“帽子问题”引申后得到的各种计算结果,事实上,这就是大自然的普遍规律:

当今最为成功、最有应用前景的物理前沿学科量子论,它其实就是概率论,这一理论的核心就是“不确定性原理”。这与赌博一样是一种不可预测的或然规律,正如霍金在他的著作《果壳里的宇宙》描述的:“宇宙其实就是一个巨大的赌场,赌场各个角落都是骰子在不停地转动……”。

我们知道,赌场掷骰子是一个不断重复的过程(就如宇宙一秒也不能停止它的运转),所以本文引用加纳德的“帽子问题”参照这一客观事实,将其引申出了前面的各种(重复)情况。

不过,在客观事实面前,我们还需解决如下一个概率基础问题:

依照客观规律,本文就是将加纳德“取帽子问题”引入“重复”过程,但这一结果是会出现P加>1的事实。

当今,我们的基础概率是把P加<1(断重复)的结果当成了概率,比如:掷一枚均匀的硬币一次时,出现一次正面的概率是P加=0.5,掷二次时,出现一次正面的概率是P加=1;掷一枚均匀的骰子1次时,出现一次6点的概率是P加=1/6,掷5次时,出现一次6点的概率是5/6,掷6次时,出现一次6点的概率是1。但问题是:既然硬币还是骰子是要不断地重复掷下去的,这就必然会出现P加>1的事实,比如:掷4次硬币,出现一次正面的概率P加=4/2=2,掷36次骰子出现一次6点的概率P加=36/6=6。

对此问题,国际数学科学中心(ICMS)科学主任、英国伦敦大学学院数学教授、英国皇家学会利弗休姆研究员基思·鲍尔(Keith Ball,1960-)教授在他的著作《怪曲线、数兔子——及其他数学探究》第5章“生日问题”中,将这种P加>1的结果看作是P“组概率”带来的“期望值”。基思·鲍尔教授论述道:“若期望值为K,则事件不能发生的概率为e-K(即:若期望值为K,则事件发生的概率为P=1-e-K)。”[另注:基思·鲍尔教授这一结论与本论文建立的概率公式几近一致,但不同的是:1、基思·鲍尔教授把“K”看作是概率P引发的期望值,而本论文则认为“K”是与累乘概率P乘相匹配(关联)并与之等价的一个累加概率值P加;2、基思·鲍尔教授是采取取对数的思路得出这一结论的,而本论文取得这一公式的思路(P乘=1-e-P)与基思·鲍尔教授完全不同。]我以为这是不恰当的,这是因为:概率意义上对“期望值”的定义是:“对概率进行加权求和”,比如:如果有60%的概率赢100元,有30%的概率输20元,其期望值是:100元×60%-20元×30%=60-6=54元。但是,在上述分析和计算中,P值是通过概率公式P乘=1-e-P得来的结果,在数学意义上是一个“e”律指数计算过程,P并未与任何事“权”相关联(比如:帽子的“人”,钞票的“元”)。因此,P仍然应是一个概率值,只不过是一种累加统计概率而己,我们不能在“未改变任何条件下”把随机事件“断重复”时计算出的P加<1当作概率,而却把随机事件“重复”时计算出的P加>1不当作是概率了。

回望概率理论的创立及发展历程,从卡尔丹(1501-1576)著《赌博论》、伽俐略(1564-1642)著《关于骰子游戏的思想》、惠更斯(1629-1695)著《论赌博中的计算》、贝努里(1655-1705)著《猜度术》等等数学家都是从赌博游戏中探讨概率理论。卡尔丹、伽俐略解决的是骰子出点规律,惠更斯解决的是“二个赌点问题”,贝努里解决的是硬币或骰子等一系列随机事件大数规律。而本论文试图解决的是硬币或骰子等一系列随机事件累乘概率P与累加概率P二者之间的随机关联作用机制问题,是以期用我们的概率理论去揭示大自然非线性混纯(无序与有序、线性与非线性、随机与定机、平衡与偏离矛盾共存系统作用)的规律。

论文说明人:林雄春(湖南·郴州)

2013年1月2日

  

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