转波利亚酒鬼回家定理的证明波利亚定理简单易懂-爱华网

证明定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家。

假设有一条水平直线，从某个位置出发，每次有 50% 的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米。按照这种方式无限地随机游走下去，最终能回到出发点的概率是多少？答案是100% 。在一维随机游走过程中，只要时间足够长，我们最终总能回到出发点。
现在考虑一个喝醉的酒鬼，他在街道上随机游走。假设整个城市的街道呈网格状分布，酒鬼每走到一个十字路口，都会概率均等地选择一条路（包括自己来时的那条路）继续走下去。那么他最终能够回到出发点的概率是多少呢？答案也还是 100% 。刚开始，这个醉鬼可能会越走越远，但最后他总能找到回家路。
不过，醉酒的小鸟就没有这么幸运了。假如一只小鸟飞行时，每次都从上、下、左、右、前、后中概率均等地选择一个方向，那么它很有可能永远也回不到 出发点了。事实上，在三维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率只有大约 34% 。
这个定理是著名数学家波利亚（George Pólya）在 1921 年证明的。随着维度的增加，回到出发点的概率将变得越来越低。在四维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率是 19.3% ，而在八维空间中，这个概率只有 7.3% 。

答：

酒鬼回到出发点概率的证明情况十分复杂，我只能简单说明：
酒鬼回到出发点概率=2步回到出发点的概率+4步回到出发点的概率+6步回到出发点的概率......
+2n步回到出发点的概率 当n趋近于无穷时，这个和=1.
2步回到出发点的概率=2*1*（1/2）^2
4步回到出发点的概率=2*1*（1/2）^4
6步回到出发点的概率=2*2*(1/2)^6
8步回到出发点的概率=2*5*(1/2)^8
10步回到出发点的概率=2*14*(1/2)^10
12步回到出发点的概率=2*41*(1/2)^12
2n步回到出发点的概率=2*(见下面解释)*(1/2)^(2n)    (n>3)
把这些全加起来，n趋于无穷时 和就等于1
解释一下：每步回到出发点的概率是3个因数的乘积
第一个因数是2。先计算出朝一个方向走（左或右）回到原点的概率，再乘2就得到该步数下回到出发点的概率。
第2个因数：1,1,2,5,14,41...是走法，比如说12步有41种走法（朝一个方向走），这个数字是数出来的，再通过归纳猜想得到公式
第3个因数：(1/2)^2n , 2n 步回到出发点，说明走了2n步，每一步的概率是1/2 ,所以总共是（1/2)^2n 
第2,3个因数的乘积得到了朝一个方向走回到原点的概率：比如12步回到出发点有41种走法，每种走法的概率均为(1/2)^12。朝左朝右走都有41种走法，总的概率就是2*41*(1/2)^12
如果是奇数步走法是回不到原点的。
三维网格中的情况更加复杂。暂时是很难想出来的。过几天可能就好了

追问

请问第2个因数，也就是走法，有没有一个通项公式呢

回答

这个通项公式是这样的
第2n部的走法=第2n-2步走法*a+ 2n-4步走法 * b+第2n-6部走法*c+第2n-8部走法*d........
a,b,c,d......分别等于第2,4,6,8......步走法
也就是a,b,c,d,e,f........=1,1,2,5,14,42...............

酒鬼回家定理

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