等比数列的概念及通项公式 等比中项

三维目标

一、知识与技能

1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;

2.理解等比数列的概念,探索并掌握等比数列的通项公式;

3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关的知识解决相应的实际问题;

4.体会等比数列与指数函数的关系.

二、过程与方法

1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;

2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动;

3.密切联系实际,激发学生学习的积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过生活中的大量实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力;

2.通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣.

导入新课

:现实生活中,有许多成倍增长的实例.如,将一张报纸对折、对折、再对折、…,对折了三次,手中的报纸的层数就成了8层,对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗?

生:一粒种子繁殖出第二代120粒种子,用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子,用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子,…

:非常好的一个例子!

现实生活中,我们会遇到许多这类的事例.

教师出示多媒体课件一:某种细胞分裂的模型.

细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律,将每次分裂后细胞的个数写成一个数列,你能写出这个数列吗?

通过观察和画草图,发现细胞分裂的规律,并记录每次分裂所得到的细胞数,从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列:

1,2,4,8,…①

教师出示投影胶片1:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”

这是《庄子·天下篇》中的一个论述,能解释这个论述的含义吗?

思考、讨论,用现代语言叙述.

(用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么得到的数列是什么样的呢?

发现等比关系,写出一个无穷等比数列:1, , , , ,… ②

教师出示投影胶片2:计算机病毒传播问题.

一种计算机病毒,可以查找计算机中的地址簿,通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?

(读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢?

引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.

发现等比关系,写出一个无穷等比数列:

1,20,202,203,204,…  ③

教师出示多媒体课件二:银行存款利息问题.

介绍“复利”的背景:“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.

给出计算本利和的公式:

本利和=本金×(1+本金)n,这里n为存期.

列出5年内各年末的本利和,并说明计算过程.

等比数列的概念及通项公式 等比中项

生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系,并写出:各年末本利和(单位:元)组成了下面数列:

10 000×1.019 8,10 000×1.019 82,10 000×1.01983,10 000×1.019 84,10 000×1.01985. ④

回忆数列的等差关系和等差数列的定义,观察上面的数列①②③④,说说它们有什么共同特点?

引导学生类比等差关系和等差数列的概念,发现等比关系.

引入课题:板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式

推进新课

[合作探究]

从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是:具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列,那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢?

回忆等差数列的定义,并进行类比,说出:

一般地,如果把一个数列,从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.[教师精讲]

同学们概括得很好,这就是等比数列(geometricsequence)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(commonratio),公比通常用字母q表示(q≠0).

请同学们想一想,为什么q≠0呢?

独立思考、合作交流、自主探究.

假设q=0,数列的第二项就应该是0,那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢?

分母为0了.

对了,问题就出在这里了,所以,必须q≠0.

那么,等比数列的首项能不能为0呢?

等比数列的首项不能为0.

是的,等比数列的首项和公比都不能为0,等比数列中的任一项都不会是0.

[合作探究]

类比等差中项的概念,请同学们自己给出等比中项的概念.

如果在ab中间插入一个数G,使a、G、b成等比数列,那么G叫做ab的等比中项.

想一想,这时ab的符号有什么特点呢?你能用ab表示G吗?

一起探究,ab是同号的 ,G=±,G2=ab.

观察学生所得到的ab、G的关系式,并给予肯定.

补充练习:与等差数列一样,等比数列也具有一定的对称性,对于等差数列来说,与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍,即an-k+an+k=2an.对于等比数列来说,有什么类似的性质呢?

独立探究,得出:等比数列有类似的性质:an-k·an+k=an2.

[合作探究]

探究:

(1)一个数列a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)是等差数列,同时还能不能是等比数列呢?

(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项,比较这两个数列是否相同?写出两个公比为2的等比数列的前5项,比较这两个数列是否相同?

(3)任一项an及公比q相同,则这两个数列相同吗?

(4)任意两项aman相同,这两个数列相同吗?

(5)若两个等比数列相同,需要什么条件?

引导学生探究,并给出(1)的答案,(2)(3)(4)可留给学生回答.

探究并分组讨论上述问题的解答办法,并交流(1)的解答.

[教师精讲]

概括总结对上述问题的探究,得出:

(1)中,既是等差数列又是等比数列的数列是存在的,每一个非零常数列都是公差为0,公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.

概括学生对(2)(3)(4)的解答.

(2)中,首项为1,而公比不同的等比数列是不会相同的;公比为2,而首项不同的等比数列也是不会相同的.

(3)中,是指两个数列中的任一对应项与公比都相同,可得出这两个数列相同;

(4)中,是指两个数列中的任意两个对应项都相同,可以得出这两个数列相同;

(5)中,结论是:若两个数列相同,需要“首项和公比都相同”.

(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件;为等比数列的通项公式的推导做准备)

[合作探究]

回顾等差数列的通项公式的推导过程,你能推导出等比数列的通项公式吗?

推导等比数列的通项公式.

[方法引导]

让学生与等差数列的推导过程类比,并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.

具体的,设等比数列{an}首项为a1,公比为q,根据等比数列的定义,我们有:

a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=an-1q=a1qn-1,

an=a1qn-1.

根据等比数列的定义,我们还可以写出

,

进而有an=an-1q=an-2q2=an-3q3=…=a1qn-1.

亦得

an=a1qn-1.

观察一下上式,每一道式子里,项的下标与q的指数,你能发现有什么共同的特征吗?

an看成anq0,那么,每一道式子里,项的下标与q的指数的和都是n.

非常正确,这里不仅给出了一个由an倒推到ana1,q的关系,从而得出通项公式的过程,而且其中还蕴含了等比数列的基本性质,在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.

请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子

,再思考.

如果我们把上面的式子改写成 .

那么我们就有了n-1个等式,将这n-1个等式两边分别乘到一起(叠乘),得到的结果是,于是,得an=a1qn-1.

这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗?

在上述方法中,前两种方法采用的是不完全归纳法,严格的,还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法,是一个完美的推导过程,不再需要证明.

让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件.

a1,q都不能为0.

[知识拓展]

前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题,那里是用什么方法解决问题的呢?

教师出示多媒体课件三:前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.

某种储蓄按复利计算成本利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和为y元.

(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;

(2)如果存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.

前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.

比较两种方法,思考它们的异同.

[教师精讲]

通过用不同的数学知识解决类似的数学问题,从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.

(1)在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为an=2n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象,你发现了什么?

(2)在同一平面直角坐标系中,画出通项公式为 的数列的图象和函数y=()x-1的图象,你又发现了什么?

借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象,然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.

出示多媒体课件四:借助信息技术作出的上述两组图象.

观察它们之间的关系,得出结论:等比数列是特殊的指数函数,等比数列的图象是一些孤立的点.

请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列,并填充下列表格:

等差数列

等比数列

定 义

从第二项起,每一项与它前一项的差都是同一个常数

从第二项起,每一项与它前一项的比都是同一个常数

首项、公差(公比)取值有无限制

没有任何限制

首项、公比都不能为0

通项公式

an=a1+(n-1)d

an=a1qn-1

相应图象的特点

直线y=a1+(x-1)d上孤立的点

函数y=a1qx-1图象上孤立的点

[例题剖析]

【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留的这种物质是原来的84%,这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?

从中能抽象出一个数列的模型,并且该数列具有等比关系.

【例2】根据右图中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式,这个数列是等比数列吗?

将打印出来的数依次记为a1(即A),a2a3,….

可知a1=1;a2=a1×;a3=a2× .

于是,可得递推公式

.由于 ,因此,这个数列是等比数列.

算出这个数列的各项,求出这个数列的通项公式.

练习:

1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.

启发、引导学生列方程求未知量.

探究、交流、列式、求解.

2.课本第59页练习第1、2题.

课堂小结

本节学习了如下内容:

1.等比数列的定义.

2.等比数列的通项公式.

3.等比数列与指数函数的联系.

布置作业

课本第60页习题2.4 A组第1、2题.

板书设计

等比数列的概念及通项公式

1.等比数列的定义实例剖析

2.等比数列的通项公式从三个角度类比等差数列表

例1例2

练习:1.(学生板演)

  

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