爱华网做题要在大框架内思考！由于不同的定理功能作用不同，故不同题目类型应用的定理不同。所有题目都是对应定理的一个正向叙述。找到定理，找到函数，找到函数所需要的那些点，而后顺水推舟即可。
纵向题型总结
题型一、求二层中值θ的极限
此题型使用导数定义式、牛顿莱布尼茨公式、拉格朗日中值定理、泰勒中值定理证明。
这里首先讲明θ与ξ的不同之处，ξ是定义域内(a,b)内的某常数，而θ则表示ξ的位置在所处定义域中的大小程度，其取值范围是（0，1），是程度中值，是中值ξ的中值，具体关系为ξ=a+(b-a)θ,故称为二层中值。
在题目中所求的都是θ的极限值，那么，求此极限的方法有两种：
1、当θ可以直接由其他变量表示的时候，此题就是一套纯粹的求极限题目。
2、当θ不可以直接表示的时候，要通过导数定义，在拼凑分母乘除抵消的时候，θ会在分子上出现。而构造导数定义形式的时候，需要用到牛顿莱布尼茨公式结合拉格朗日定理或者泰勒中值定理（有时候会基于第一次消元结果再用一次泰勒）。
下面具体说明。当题目待证等式中一边有一个或者两个积分上限函数，一边没有的时候，此时我们首先要去掉积分符号。此时要注意两个问题，如果有不止一个积分上限函数时，首先要通过换元的方法将两个积分式统一，因为两个积分式会出现两个中值，而这两个中值又毫无关系，故此时积分要统一。而后，我们知道，去积分号有两种方法，一是牛顿莱布尼茨公式，一是积分中值定理。而积分中值定理中明确说明，其中值介于闭区间之上，这就意味着中值有可能在端点处取得，但我们回头看看θ，它是在（0,1）开区间内，从而ξ位于（a,b）开区间内，这也照应了开头所说的微分中值定理的中值在开区间内去的内容。由此可见，此处去掉积分符号是绝不可以使用积分中值定理的！要用了牛顿莱布尼茨公式。使用牛顿莱布尼茨公式后，会出现F(x)-F(a)的情况，此时顺理成章使用拉格朗日中值定理θ自然出现，整理即可得证。而后结合导数定义求取极限值。当题目条件为n阶连续可导，某处某阶导数不得零，和一个f(x+h)的函数式时，我们知道，此时就要用泰勒定理结合导数定义求解了。这里的泰勒公式不像其他类型题要同时展开两次再消元，这里只展开一次，在于所给的等式做消元，得到消元式后，如果是看出是导数定义式，构造导数定义求θ，此时的泰勒余项是除法除掉的。如果还有琐碎项，那么将消元式做泰勒展开，在和消元式消元，构造导数定义式求θ，此时的泰勒余项是减法减掉的。有一个小标记，那就是如果题目中明确表明某个数不为零，那么它十有八九要成为除数的。此题型总结完毕。
题型二、证明函数在某点的某阶导数等于零（导数零点的存在性、零点问题）
此题型使用罗尔定理、（泰勒公式）来证明。
这是罗尔定理的主力题型。道理很简单，在四个中值定理中，只有在罗尔定理的结论明确表示导数数值为零，其他定力没有这么强力的结论。在这种题型中，题中会说明自变量在闭区间上连续，在开区间内可导。中间是关于某点函数值的条件。最后证明结论。仔细观察题目特点，我们不禁会想，这不恰恰就是罗尔定理的叙述顺序吗？闭连开导、两点函数值相等。结论某中值得零。再回头看看题目信息，闭连开导、某点中值得零都出现了。而两个相等的函数值说的却是含含糊糊！那么，我们可以说，这种类型题的关键就是依据题目函数值那部分条件，判定出在闭区间内有两点的函数值相等！接着就顺利成章了。所以看到这种题型，我们的目标就是找到相等的函数值。
下面写一下几种常见的给出条件的方式和对应对策。
1、条件直接说一点函数值大于零，一点函数值小于零，这时应用闭区间上函数零点定理，零点必在其中。
2、条件说某点处的一阶导数大于零、小于零，这时我们解读此条件为左高右低或者左低右高，在利用零点定理，判定零点必在其中。
3、条件说某几个函数值相加得常数，这时应用闭区间连续函数最值定理，判定出其间必有最大值、最小值；再利用闭区间连续函数介值定理，判定这几个数的平均值必在其中。
4、条件说某点处函数取得最值、极值，此时我们解读此条件为该处一阶导函数值为零，是一阶导函数的零点。
此外罗尔定理还可以连续使用，因为结论中的零点可以作为下一次使用中的条件点。可以看出，使用一次罗尔定理，需要两个相等点，那么要证明n阶导数为零的话就需要找到n+1个相等点，用n此罗尔定理。此题型总结完毕。
题型三、结论中只含ξ，不含其它字母，导数之间相差一阶（导数零点的存在性）——ln法找源函数
此类题应用罗尔中值定理证明。
和这种题型的总思路和题型二一样，都是正方向应用罗尔中值定理证明导数零点的存在性。但是比上一类型题复杂，被作为考试题出现的可能性更大一些。复杂就复杂在层次性的问题上。回想一下题型二中条件的叙述方式，闭区间连续、开区间可导，然后是两个点的判定信息，直接让证明某点的导数为零。本题型仍然是闭区间连续、开区间可导，但是要证明的不是单纯的某点函数的导数，而是相差一阶的导函数之间的关系式。而这个关系式正式我们上一个题型所导论的函数的展开形式。这不就多了一层吗？再者，我们在题目中只能看到这个被“夹心”的一层，它本是对上一层函数应用罗尔定理而得到的。所以要证明这层夹心的正确性，就要找到源头函数。这里要用到所谓的“辅助函数法”了。辅助函数法的目的就是找到源头函数，而后不就回归题型二了吗。
构建辅助函数的方法也很单一，只有三步
1、将结论中的ξ全部改为x
2、利用f'(x)/f(x)=[lnf(x)]'将函数进行还原
3、将函数合并，ln内的函数即为辅助函数
其实辅助函数是待证函数的一个原函数，用微分方程的知识找到证函数的一个原函数也是可以的，只不过题目的内容只用ln函数进行还原就足够了，就没必要引入微分方程了。找到了原函数，回到类型二就可以了。另外，如果出题人还想搞复杂，可能会把这个二层函数拆成和的形式或者是差的形式，当我们开到题目中的导数有三阶有二阶有一阶（321或210）即三个相差一阶的情况时，我们要将他们合并。在以合并后的整体形式去找源函数。
现在回到类型二，有了函数，有了闭区间上连续、开区间内可导的条件，还需要找到两个函数值相等的点。类型二中讨论的找点方法依然使用，由于原函数求导后是一个相对来说复杂的函数，所以题目给等值点的方法也相对来说多了一点。这里的等值点当然是源函数的等值点，题目可能是直接给源函数的等值点，也可能给源函数的导数的一个子项，继续带入后后再找到源函数的等值点。下面把我见过的方法归纳总结。
1、将所给函数点直接带入源函数
2、先用罗尔定理确定一个导数为零的点，再讲此点带入源函数。
3、条件为定积分形式，可用积分中值定理找到一个点，或将其转为变上限函数，再用牛顿莱布尼茨公式得到相等的点。
最后，有函数方程，有两个等值点，用罗尔定理即可。本题型总结完毕。
题型四、结论中只含ξ，不含其它字母，导数之间相差多于一阶（导数零点的存在性）——公式法（一般为没有参数的某函数的乘除法）找源函数
和题型二、三的总思路完全一致，只不过是找源函数的方法不同，没有公式，考试不会有太多的花样，平常注意积累这类源函数就可以了。题目的辅助函数经常是两个函数和的形式、积的形式或者是和后积、积后和的形式。这一点值得注意。
题型五、结论中不仅含ξ，也含其它字母a、b、f(a)、f(b),但是中值和字母无法等式两边分离开来（导数零点存在性）——找含有参数的源函数（一般为含有参数的函数的乘除法）
此类题应用罗尔中值定理证明。
依然和题型二、三、四的总思路一直，这里比题型四多了一步，那就是出题人将清晰的形式有意打乱，造成了函数值、自变量值、中值散落一地的状态，当我们发现，中值和字母不能分开一边一套的时候，我们就知道这仍然是罗尔定理门徒，首先把式子整理出来，化为一个为零的等式，然后看等式一边是谁的源函数，一下就和题型四一样了。要注意的是积累这种含有参数的原函数的形式。此题型总结完毕。
题型六、结论中不仅含ξ，也含其它字母a、b、f(a)、f(b),中值和字母分可以等式两边离开来（过程变化率必有一值满足状态变化率）
以上二、三、四、五题型均是由罗尔定理的条件和结论演化而来，分别为最原始型，隐藏源函数型ln法型、隐含源函数公式法型、隐藏含参数源函数公式法型，下面我们就要开始介绍由拉格朗日定力演化的题型了。
看到题型六我很开心，因为出题人是善良的，你看看题型五和题型六是不是很像，差别只不过是字母中值可以分开了。这正好是一个引领我们从罗尔定理无痕过度到拉格朗日定力的一个桥梁啊。我们大可回到前文，看看这两个定力的区别在哪里。我在简单说，罗尔定理条件为闭连开导两函数值相等，结论为开区间内必有一值，使得此值对应导函数值为零。拉格朗日定力条件毕连开导，结论为开区间内必有一点值得过程变化率等于状态变化率。注意拉格朗日定理相比罗尔定理，条件少了，结论多了。而少的和多的都是与f（a）、f(b)有关的东西。定理的本质区别也就是这两道题型的本质区别，当我们发现函数值和中值没有办法分开来的时候，说明他们是一个整体，是一个整体求导之后而的得到的，并且整体剩下的只有零，整体求导数后等于零，这当然是罗尔定理情况。而如果可以分开，这就意味着对应中值那部分函数的源函数求导时候不得零！也就是说剩下的部分就是拉格朗是结论中多出的那部分！所以这是拉格朗日型！这就是区别啊。我们还可以看看这种类型的特点如果不可以分开，和其他罗尔定理习题一样，我们可以找到有关函数值点的信息，这样才能找到等值点应用罗尔定理，而如果可以分开，那么题目就没有函数值点的信息了，因为拉格朗日定力本身的条件不需要等值点。
当然我们知道，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的参数方程形式，即y=f(x)而x=g(t) y=h(t)当t提取的中值ξ时，等式成立，出于除法特性，我们我们此时必须要强调处于分母地位的函数不等于零。题型六的形式也有可能是柯西式的，但本质一样。
最后就是找到源函数了。注意乘除法方程的导数形式。此题型总结完毕。
题型七、含有两种中值η与ξ
情况一，含有f'(η)、f'(ξ)、ξ、η，但是复杂程度不同
这种情况应用柯西中值定理和拉格朗日中值定理。
这种题目待证的等式是针对原函数应用柯西中值定理或者拉格朗日中值定理得到的，而由于原函数是乘函数或者加函数或者乘加函数，加上题目条件，很容易将这种函数减半成为半函数，再对半函数用拉格朗日中值定理即可得到简单形式。总结为找到原函数后向右应用柯西中值定理向左应用拉格朗日中值定理。等号就会成立。这里注意一点，柯西中值定理和朗格朗日中值定理、罗尔中值定理不同，不是整体取到而是分子分母分别取导数。所以这种题的做法是，首先关注复杂中值，找到原函数后向右应用柯西中值定理，得到复杂中值的形式，而后向左应用拉格朗日，找到简单形式中值。
情况二，含有f'(η)、f'(ξ)、等多个中值。但是复杂程度相同。
这种情况应用拉格朗日中值定理
毫无疑使用若干次拉格朗日中值定理解决，此时关键，没用一次拉格朗日中值定理需要两个点，那么两个中值至少需要三个点，此时找到n+1个点是结题的关键了。
题型八、函数在一点的若干阶导数为非零常数
这种情况应用泰勒中值定理（多次罗尔）
泰勒中值定理有三种形式，条件为“直到n阶可导”时，余项在n-1项后面取，为拉格朗日余项或者皮亚诺余项；条件为“n阶连续可导时”以上两余项都可以，同时也可以将除余项之外的最后一项扩展到n项，再加上一个皮亚诺预想。但是注意，这三种方式中，只有第一种拥有中值。
而泰勒中值定理应用时，一定是伴随着消元的，大多情况是列两个泰勒定理式子，然后加减消元。这里取点是关键，通常x0点取一阶导点或者中点；x取函数值点或者端点。拆分两端点，用同一中点表示，消元很方便。
横向总结
1．使用零点定理问题的基本格式是“方程f(x)=0（也可能是左右打乱形式）在a,b之间有根”也就是题目中根本没有涉及导数。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间(a,b)内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。
2．介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在[a,b]内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。当题目中出现几个函数值的和的形式时，多使用闭区间连续函数最值定理和介值定理将这三个数取区间内平均值。还要注意一点是，在闭区间连续函数四个定理和微分中值定理四个定理中，只有介值定理的取值是在闭区间上（积分中值定理也是），其余的都是在开区间内取中值。
3．用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数（甚至是高阶导数）、含有中值（也可能有多个中值）。（1）当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理；（2）当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的；（3）当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明；（4）当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同；（5）使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。对此我的体会是应当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。
4．积分中值定理其实是微分中值定理的推广，对变上限函数使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于泰勒定理的形式。因此看到有积分形式，并且带有中值的证明题时，一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用积分中值定理。当证明结论中仅有积分与被积函数本身时，一般使用积分中值定理；当结论中有积分与被积函数的导数时，一般需要展开变上限积分为泰勒展开式。
5.可导的阶数不同，方法可能不同，
一阶导数的等式成立，一般用中值定理。
二阶导数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。
三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。
微分中值定理的条件和结论都是非常精炼的，我们审题的时候更是要小心对比，才能知道只这道题到底使用四个中哪一个定理来证明。我总结了一下蛛丝马迹，我们需要注意。
1、点很重要！某点自变量值a、b；函数值f(a)、f(b)、中点f[0.5(a+b)]；导数值f'(a)、f'(b)；这些变量在条件中还是在待证式中？大于0，等于0，还是小于0？(一阶导数与二阶导数的解读)
2、函数可导到几阶？一阶？二阶？三阶？n阶？
3、闭区间连续，开区间可导还是某阶连续可导还是没提连续直接就仅仅是某阶可导？
4、所求共有几个中值？f'(η)、f'(ξ)、ξ、η，还是其中哪个？
5、中值等于0还是非零常数、参数？
6、中值的取值范围有没有0？开区间还是闭区间？
7、有没有不得0（要当除数），得0（处于隐身状态、随叫随到）
