爱华网曲面积分
数学上，曲面积分（面积分）是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也即，返回数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也即，返回向量值的函数）积分。
面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的经典理论中。
面积分的定义依赖于将曲面细分成小的面积元。单个面积元的图示。这些面积元通过极限过程成为无穷小的元素以逼近曲面。标量场的面积分
考虑定义了标量场f的一个曲面S。如果把S当作某种材料制成，而对于每个点x，f(x)就是在该点的材料密度，则f在S上的面积分就是S的每单位厚度的质量。（这只当曲面是无穷薄的情况下成立。）计算面积分的一个办法是将曲面分成很多小片，假设每片的密度大致为常数，找到每片的每单位厚度质量，然后乘以小片的面积，最后加起来得到总的每单位厚度的质量。
要找到面积分的直接公式，首先需要参数化S，也即在S上建立曲线坐标系，就像球面上的经纬度。令参数化为x(s,t)，其中(s, t)在某个平面上的区域T中变化。则面积分为
其中右手边竖杠之间的表达式是x(s,t)的偏导数的叉积的量值。
例如，如果要找出某个函数（）形状的曲面面积，就有
其中。所以，，且。因此
这就是一般函数曲面的面积的常见公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的法向量。
注意，因为叉积的存在，上述供述只在曲面嵌入在三维空间中时适用。
向量场的面积分
曲面上的向量场。考虑S上的向量场v，对于每个S上的点x，v(x)是一个向量。想象一个穿过S的液体流，使得v(x)决定液体在x的速度。则流量定义为单位时间穿过S的液体量。
这个解释意味着如果向量场和S在每点相切，则流量为0，因为液体平行于S流动，从而不进不出。这也意味着如果v不仅仅沿着S流动，也即，如果v既有切向分量也有法向分量，则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理，要找出流量，我们必须取v和S上每点的单位法向量的点积，这就给出了一个标量场，然后就可以用上述方式积分。公式如下
右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。
该公式定义为向量场v在S上的面积分。
微分2-形式的面积分
令
为定义在曲面S上的2阶微分形式，并令
为一保定向的在D上的参数化。则f在S上的面积分为
其中
为S的法向量。
注意2-形式的面积分和以、和为分量的向量场的面积分相同。
涉及面积分的定理
面积分中很多有用的结果可以用微分几何和向量微积分导出，例如散度定理及其推广斯托克斯定理。
进阶问题
注意面积分的定义中用到曲面S的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如，如果移动球面上南极和北极的位置，所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分，答案很简单：无论参数化为何，面积分不变。
对于向量场，情况复杂一些，因为涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同，则积分值不变。如果法向量定向相反，则积分值相反。因此，不必拘泥于特定参数化，但是对于向量场，参数化的定向必须保持一致。
另外一个问题是，有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化；譬如对于有限长的圆柱面就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片，在每一片上求面积分，然后加起来。这就是正确的办法，但是对向量场积分的时候，必须小心，要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲，也就是让所有片的法向量向外指。
最后一个问题是，有些曲面没有一个一致的法向量（譬如莫比乌斯带）。对于这样的曲面，无法找到一致的定向。这样的曲面称为不可定向的，在其上无法进行向量场的积分。
参看
曲面积分
曲面积分设Σ为光滑曲面，函数f(x,y,z)在Σ上有界，把Σ任意地分成n个小曲面ΔS,在每个小曲面ΔSi上任取一点(Xi,Yi,Zi)作乘积f(Xi,Yi,Zi)dS，并求和Σf(Xi,Yi,Zi)dS ，记λ=max(ΔS的直径)，若f(Xi,Yi,Zi)dS当λ→0时的极限存在，且极限值与Σ的分法及（Xi,Yi,Zi）在Σ上的取法无关，则称极限值为f（x,y,z）在Σ上对面积的曲面积分，也叫做第一类曲面积分。即为∫∫f(x,y,z)dS；其中f(x,y,z)叫做被积函数，Σ叫做积分曲面，dS叫做面积函数。
什么是曲面积分？
先看一个例子：设有一构件占空间曲面Σ，其质量分布密度函数为(密度分布)ρ（x,y,z），求构件的质量。 同样，对于密度不均匀的物件，也不可以直接利用ρS（这里的S代表的是面积,下同）处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题，就需要利用曲面积分； dm=ρ（x,y,z）*ds；m=∫ρ（x,y,z）*ds，就是对面积的曲面积分。曲面积分的类别：
对面积的曲面积分（第一类曲面积分）； 对坐标轴的曲面积分（第二类曲面积分）； 对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的；两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同，第一类曲面积分的积分元素是面积元素dS,例如：在积分曲面Σ上的对面积的曲面积分： ∫∫f(x,y,z)dS； 而第二类曲面积分的积分元素是坐标平面dxdy,dydz或dxdz,例如：在积分曲面Σ上的对坐标平面的曲面积分： ∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz；两种曲面积分之间的关系：
两种积分之间的转化在于如何将空间曲面在坐标平面上投影； 设dS是积分曲面Σ上的面积元素。 设Σ的方程为z=(x,y)，Σ在xOy平面上的投影区域D是有界闭区域，z=(x,y)在D上具有连续的偏导数，于是： dS/(dxdy)=1/cosθ，θ是面积元素dS和坐标平面的夹角； 积分曲面Σ上任意一点的法向量为（〥z/〥x，〥z/〥y,-1）(注：〥表示求偏导数，〥z/〥x表示z对x偏导数，是整体符号，下同）,xOy平面的法向量取（0，0，1）； 于是1/cosθ=√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]； 所以dS=√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]*dxdy，Σ上的点为（x,y,z(x,y)）则∫∫f(x,y,z)dS存在，且在积分曲面Σ上的曲面积分有： ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(x,y,z)*√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]*dxdy 这样就把对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分的关系联系起来了。 而对于∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz这种类型的曲面积分，积分曲面可能需要同时向三个坐标平面xOy,xOz,yOz投影,投影的方式和上面的方法一样。实际上如果面积元素dS与三个坐标平面的夹角分别为α，β，γ，则有dxdy=cosαdS;dxdz=cosβdS,dydz=cosγdS; 而α，β，γ的余弦是可以通过法向量的数量积求得的，所以可以写成： ∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz=∫∫[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosγ+R(x,y,z)cosβ]dS 在向各个坐标平面投影的时候需要注意dS的有向性，即夹角的大小，在夹角大于π/2的时候，其余弦值是负的。曲面积分http://v.youku.com/v_show/id_XMTY1NzQwNzY4.html
曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？曲面应是分片光滑的闭曲面!!!
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
物理意义----通量与散度
向量场
曲线积分和曲面积分的物理意义是什么啊？
变力做功的问题就是一个典型的曲线积分问题。
电通量和磁通量问题就是一个典型的曲面积分问题。
对于矢量而言，
闭合曲线积分：环流；
闭合曲面积分：通量。
闭合曲线上的斯托克斯积分，揭示了什么样的物理现象？
有旋还是无旋
高斯散度定理
本文介绍的是微积分学中的一种向量分析。关于电磁学中与电通量有关的定理，详见“高斯定律”。散度定理可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面；散度定理不可以用来计穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。
更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于曲面内部区域的散度的三重积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。
高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。
定理
设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有
或
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦
这两个公式叫做高斯公式。
用散度表示
高斯公式用散度表示为：
其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而
n是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。
用向量表示
令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，是定义在V中和S上连续可微的矢量场。如果是外法向矢量面元，则
推论
例子
假设我们想要计算
其中S是由所定义的单位球，F是向量场
直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：
由于函数和是奇函数，我们有：
因此：
二阶张量的高斯公式
二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，矢量和矢量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。
- 两个矢量 和 并排放在一起所形成的量 被称为矢量 和 的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，。
- 的充分必要条件是 或 。
- 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
- 分别线性地依赖于 和 。
- 二阶张量 和矢量 的缩并 以及 对 和 都是线性的。
- 特别是，当 时，
所以，一般说来，。
下面举一个例子：用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写 和 。
我们还用到二阶张量 的转置 （又可以记为 ），定义如下：
- 仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于 。
- 。
定理： 设 是三维欧几里得空间中的一个有限区域，是它的边界曲面，是 的外法线方向上的单位矢量，是定义在 的某个开邻域上的 连续的二阶张量场，是 的转置，则
证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为 ，则
接下来利用矢量场的高斯公式，可得
于是
至此证毕。
参阅
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在物理学与数学中，格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为 C 且平面区域为 D 的双重积分。格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（GeorgeGreen）命名。
设闭区域D由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P(x,y)及 Q(x,y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有
其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。
此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林第一公式、格林第二公式。
特殊情况的证明
以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。
如果我们可以证明
以及
那么就证明了格林公式是正确的。
把右图中I型的区域D定义为：
其中g1和g2是区间[a,b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：
现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的交集。
对于C1，使用参数方程：x= x，y = g1(x)，a ≤x ≤ b。那么：
对于C3，使用参数方程：x= x，y = g2(x)，a ≤x ≤ b。那么：
沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此：
所以：
(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。
参见
来自“http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=格林公式&oldid=21101216”斯托克斯公式斯托克斯定理（Stokestheorem）是微分几何中，关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了几个矢量微积分的定理。它以斯托克斯（GeorgeGabriel Stokes，1819-1903）爵士命名。
ℝ³ 上的斯托克斯公式
设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线，S 是以为边界的分片光滑的有向曲面，Γ 的正向与 S 的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面 S（连同边界 Γ）上具有一阶连续偏导数，则有
这个公式叫做 ℝ³ 上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：
它在欧氏3维空间上的矢量场的旋度的曲面积分和矢量场在曲面边界上的线积分之间建立了联系，这是一般的斯托克斯公式（在 n=2 时）的特例，我们只需用欧氏3维空间上的度量把矢量场看作等价的1形式。
该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森(开尔文勋爵)给出，出现在他给斯托克斯的信中。
类似的，高斯散度定理
也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把矢量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。
微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。
使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。
另一种形式
通过以下公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换：
流形上的斯托克斯公式
令 M 为一个可定向分段光滑 n 维流形，令 ω 为 M 上的 n−1 阶 C1 类紧支撑微分形式。如果 ∂M 表示 M 的边界，并以 M 的方向诱导的方向为边界的方向，则
这里 dω 是 ω 的外微分,只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes'formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。
该定理经常用于 M 是嵌入到某个定义了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。
定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。
应用
斯托克斯公式是格林公式的推广。
利用斯托克斯公式可计算曲线积分。
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