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拓扑空间

维基百科,自由的百科全书汉漢▼上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间,因为缺少{2}和{3}的并集{2,3};右下角的集合也不是个拓扑空间,因为缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓扑空间是一种数学结构,可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

目录

[隐藏]
  • 2拓扑之间的关系
  • 3连续映射
  • 4等价定义
  • 5拓扑空间的例子
  • 6拓扑空间的构造
  • 7拓扑空间的分类
  • 8拥有代数结构的拓扑空间
  • 9拥有序结构的拓扑空间
  • 10历史
  • 11参考书目
  • [编辑]定义

    拓扑空间是一个集合 X,和一个 包含 X 的子集族 τ,其满足如下公理:

    1. 空集和 X 都属于 τ
    2. τ 内任意个集合的并集都仍然会属于 τ
    3. τ 内任意两个集合的交集也仍然会属于 τ

    满足上述公理的集族 τ 即称为 X 的拓扑X 内的元素通常称做“点”,但它们其实可以是任意的元素。里面的“点”为函数的拓扑空间称为“函数空间”。τ 内的集合称为开集,而其在 X 内的补集则称为闭集。一个集合可能是开放的、封闭的、非开非闭或亦开亦闭。

    [编辑]例子

    1. X = {1,2,3,4} 和 X 内两个子集组成的集族 τ = {∅, X} 会形成一个平庸拓扑。
    2. X = {1,2,3,4} 和 X 内六个子集组成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 会形成另一个拓扑。
    3. X = ℤ(整数集合)及集族 τ 等于所有的有限整数子集加上 ℤ 自身不是一个拓扑,因为(例如)所有不包含零的有限集合的并集是无限的,但不是 ℤ 的全部,因此不在 τ 内。

    [编辑]拓扑之间的关系

    同一个空间可以拥有不同的拓扑,有些是有用的,有些是平庸的,这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑的每一个开集都属于拓扑时,我们说拓扑比拓扑更,或者说拓扑比拓扑更

    仅依赖于特定开集的存在而成立的结论,在更细的拓扑上依然成立;类似的,仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论,在更粗的拓扑上也依然成立。

    最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑,最细的拓扑是离散拓扑,这两个拓扑都是平庸的。

    在有些文献中,我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

    [编辑]连续映射

    拓扑空间上的一个映射,如果它对于每个开集的原像都仍然是开集,那么我们称这个映射是连续的。这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。

    同胚映射是一个连续的双射,并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射,则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲,同胚的空间是等同的。

    拓扑空间作为对象,连续映射作为态射,构成了拓扑空间范畴,它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法,激发和产生了整个领域的研究工作,包括同伦论、同调论和K-理论。

    [编辑]等价定义

    虽然利用开集来定义拓扑空间是最常见的定义方法,但我们仍然可以通过其他的多种方式来定义拓扑空间。这些不同的定义方式都是等价的。这些不同的拓扑空间的定义连同各自连续映射的定义,从范畴论的角度看,都定义了同一个范畴即拓扑空间范畴。

    [编辑]闭集

    利用德·摩根律,和上面定义中关于开集的公理相对偶的,我们引入下述关于闭集的公理。

    集合X上的子集族,它们满足如下的公理:

    集族中的元素称为集合X上的闭集。我们也可以直接利用闭集来定义连续映射:映射f是连续的,当且仅当,f对任何闭集的原像也是闭集。

    [编辑]邻域

    我们考虑集合X上的一个映射,其中P(P(X))指集合X的幂集的幂集。我们假设将X中的点x映射为X的子集族,即有。

    对任意的,如果上述的满足如下公理:

    那么,我们称集族的元素为点x邻域,而集族(即点x的所有邻域)称为点x邻域系统

    可以直接利用邻域来定义出映射在某一点连续:映射是在点x是连续的,当且仅当,对y点的任何一个邻域V,都存在x点的一个邻域U,使得。而连续映射即点点连续的映射。

    类似的,拓扑也可以通过点和集合间的接近关系来定义。

    [编辑]闭包运算

    我们考虑集合X的幂集P(X)上的一元运算。

    称为一个拓扑空间,当且仅当,运算c满足下述的库拉托夫斯基闭包公理

    运算c被称为闭包运算,集合X上的闭集是闭包运算的不动点。

    利用闭包运算也可以定义连续映射:映射f是连续的,当且仅当,对任意的集合A,成立。

    [编辑]开核运算

    我们还可以建立和闭包运算相对偶的开核运算,然后通过开核运算建立起拓扑空间。我们考虑集合X的幂集P(X)上的一元运算。运算o满足下述的开核公理

    运算o被称为开核运算,集合X上的开集是开核运算的不动点。

    和闭包运算相对偶,利用开核运算也可以定义连续映射:映射f是连续的,当且仅当,对任意的集合A,成立。

    [编辑]网

    的目的在推广序列及极限,网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集。

    空间X上的一个网是从有向集合A映至X的映射。

    若存在,使得对每个x的邻域U都存在,使得,则称网收敛至x

    几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性,请参阅主条目网

    [编辑]拓扑空间的例子

    [编辑]拓扑空间的构造

    [编辑]拓扑空间的分类

    依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等,拓扑空间可以进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

    [编辑]分离性

    详细资料请参照分离公理。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式,请参照分离公理的历史

    [编辑]可数性

    第二可数空间总是可分的;第一可数空间总是林德勒夫的。

    [编辑]连通性

    [编辑]紧性

    一个空间是紧的,当且仅当任何开覆盖都有有限的子覆盖,详细资料请参照紧集。

    [编辑]可度量化

    可度量性意味着可赋予空间一个度量,使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理,其中最着名的是Urysohn度量化定理:一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

    [编辑]拥有代数结构的拓扑空间

    对于任一类代数结构,我们都可以考虑其上的拓扑结构,并要求相关的代数运算是连续映射。例如,一个拓扑群G乃是一个拓扑空间配上连续映射(群乘法)及(逆元素),使之具备群结构。

    同样地,可定义拓扑矢量空间为一个赋有拓扑结构的矢量空间,使得加法与纯量乘法是连续映射,这是泛函分析的主题;我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

    结合拓扑与代数结构,往往可以引出相当丰富而实用的理论,例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中,人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论,并得到较简明的陈述;如数论中的局部域(一种拓扑域),伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑(一种特别的拓扑群),以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑(一种拓扑环)等等。

    [编辑]拥有序结构的拓扑空间

    拓扑空间也可能拥有自然的序结构,例子包括:

      

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