爱华网拓扑空间
维基百科，自由的百科全书汉漢▼上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间，因为缺少{2}和{3}的并集{2,3}；右下角的集合也不是个拓扑空间，因为缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。拓扑空间是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。
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[编辑]定义
拓扑空间是一个集合 X，和一个 包含 X 的子集族 τ，其满足如下公理：
- 空集和 X 都属于 τ。
- τ 内任意个集合的并集都仍然会属于 τ。
- τ 内任意两个集合的交集也仍然会属于 τ。
满足上述公理的集族 τ 即称为 X 的拓扑。X 内的元素通常称做“点”，但它们其实可以是任意的元素。里面的“点”为函数的拓扑空间称为“函数空间”。τ 内的集合称为开集，而其在 X 内的补集则称为闭集。一个集合可能是开放的、封闭的、非开非闭或亦开亦闭。
[编辑]例子
- X = {1,2,3,4} 和 X 内两个子集组成的集族 τ = {∅, X} 会形成一个平庸拓扑。
- X = {1,2,3,4} 和 X 内六个子集组成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 会形成另一个拓扑。
- X = ℤ（整数集合）及集族 τ 等于所有的有限整数子集加上 ℤ 自身不是一个拓扑，因为（例如）所有不包含零的有限集合的并集是无限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 内。
[编辑]拓扑之间的关系
同一个空间可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑的每一个开集都属于拓扑时，我们说拓扑比拓扑更细，或者说拓扑比拓扑更粗。
仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。
最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。
在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。
[编辑]连续映射
拓扑空间上的一个映射，如果它对于每个开集的原像都仍然是开集，那么我们称这个映射是连续的。这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。
同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。
拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。
[编辑]等价定义
虽然利用开集来定义拓扑空间是最常见的定义方法，但我们仍然可以通过其他的多种方式来定义拓扑空间。这些不同的定义方式都是等价的。这些不同的拓扑空间的定义连同各自连续映射的定义，从范畴论的角度看，都定义了同一个范畴即拓扑空间范畴。
[编辑]闭集
利用德·摩根律，和上面定义中关于开集的公理相对偶的，我们引入下述关于闭集的公理。
集合X上的子集族，它们满足如下的公理：
集族中的元素称为集合X上的闭集。我们也可以直接利用闭集来定义连续映射：映射f是连续的，当且仅当，f对任何闭集的原像也是闭集。
[编辑]邻域
我们考虑集合X上的一个映射，其中P(P(X))指集合X的幂集的幂集。我们假设将X中的点x映射为X的子集族，即有。
对任意的，如果上述的满足如下公理：
那么，我们称集族的元素为点x的邻域，而集族(即点x的所有邻域)称为点x的邻域系统。
可以直接利用邻域来定义出映射在某一点连续：映射是在点x是连续的，当且仅当，对y点的任何一个邻域V，都存在x点的一个邻域U，使得。而连续映射即点点连续的映射。
类似的，拓扑也可以通过点和集合间的接近关系来定义。
[编辑]闭包运算
我们考虑集合X的幂集P(X)上的一元运算。
称为一个拓扑空间，当且仅当，运算c满足下述的库拉托夫斯基闭包公理：
运算c被称为闭包运算，集合X上的闭集是闭包运算的不动点。
利用闭包运算也可以定义连续映射：映射f是连续的，当且仅当，对任意的集合A，成立。
[编辑]开核运算
我们还可以建立和闭包运算相对偶的开核运算，然后通过开核运算建立起拓扑空间。我们考虑集合X的幂集P(X)上的一元运算。运算o满足下述的开核公理：
运算o被称为开核运算，集合X上的开集是开核运算的不动点。
和闭包运算相对偶，利用开核运算也可以定义连续映射：映射f是连续的，当且仅当，对任意的集合A，成立。
[编辑]网
网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集。
空间X上的一个网是从有向集合A映至X的映射。
若存在，使得对每个x的邻域U都存在，使得，则称网收敛至x。
几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网
[编辑]拓扑空间的例子
[编辑]拓扑空间的构造
[编辑]拓扑空间的分类
依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等，拓扑空间可以进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。
[编辑]分离性
详细资料请参照分离公理。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史
[编辑]可数性
第二可数空间总是可分的；第一可数空间总是林德勒夫的。
[编辑]连通性
[编辑]紧性
一个空间是紧的，当且仅当任何开覆盖都有有限的子覆盖，详细资料请参照紧集。
[编辑]可度量化
可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最着名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。
[编辑]拥有代数结构的拓扑空间
对于任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群G乃是一个拓扑空间配上连续映射（群乘法）及（逆元素），使之具备群结构。
同样地，可定义拓扑矢量空间为一个赋有拓扑结构的矢量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。
结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。
[编辑]拥有序结构的拓扑空间
拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：
