爱华网张思明：各位老师大家好！欢迎各位老师参加高中数学新课程的远程研修，我们在这里首先向大家介绍一下今天参加研修的几位嘉宾，那边那位是我们首都师范大学数学系的博士生导师，也是我们高中数学课程标准的主要研制者之一的王尚志教授，这边是北京经济技术开发区实验学校的辛华老师，我身边这位是北京第十九中学的王肖华老师，欢迎各位到我们课堂里来跟老师们做交流。
我们这一讲的主题是通过函数的单调性的教学设计来展现我们高中新数学课程里设计的过程，我们首先请王老师为我们分析一下为什么在第一模块这么多内容里，首先选定了单调性作为第一个课例。
王尚志：我先来介绍一下我们设计的想法。在第一模块里，我想大家都知道最重要的是学习函数，学习函数的概念，学习一些特殊的函数，如简单的幂函数，指数函数，对数函数，以及它们的性质，和应用。在所有这些和函数有关的内容里，我们觉得最重要的一个内容就是函数的单调性。因为函数的单调性决定了函数的变化，也决定了函数图象的形状，所以说在这诸多的函数性质里，要想办法抓住最核心的性质。所以这是我们选择单调性作为我们培训的第一个课例的一个重要的理由。
第二个理由，在我们数学教学中，有很多不同的教学内容，比如说概念，技术，应用，定理，以及某些解题，这诸多的内容中，我们分析感觉到对于概念教学仍然是我们的一个薄弱环节，我们常常对于概念教学没有足够的重视。我们认为这是在学习数学中需要关注的一个问题。尤其在大学的学习中，数学系的学习中，把握概念常常是把握好数学的一个非常重要的环节。因此，怎么样上好概念课？我们希望用函数的单调性作为一个例子，和老师一起来分享我们如何把这样的概念课上好，让它发挥出更大的效率，我想主要是这两个基本的思想。
张思明：刚才王老师给我们介绍了一下我们选择单调性作为一个概念课的麻雀来进行解剖的想法，下面我们就具体的请辛华老师，王肖华老师来对教学的过程，把她们的思考展示一下。我想老师们很可能都看到过，因为参加研修和培训的老师都经历了课程改革，都做过模块一的教学，甚至有的老师做过一遍，两遍。在这个过程当中，我们也看到很多老师来信提到过这些内容跟原有的教材有什么差异，在教学设计的时候，怎么样从更广的角度来进行思考，我们先请两位老师把她们做这个教学设计的原始过程，从她们的思考点我们观察一下她们从哪儿入手来做这个分析。我们先请王肖华老师来做你的思考。
王肖华：大家好！首先我针对函数单调性它的数学分析，地位和作用，以及我们学校针对函数单调性的教学设计过程中的定位，以及处理的一些建议做一下说明。
我从两个方面来进行说明：一，教学分析；二，教法分析与学法指导。
一，教学分析方面从以下五个方面来进行说明：1，教学内容；2，教学内容的地位作用；3，教学目标；4，教学重点难点；5，教学方法与教学手段的选择。
本节课是新人教B版，必修一第二章函数，2.1.3函数单调性第一节课，该课主要学习增函数减函数的概念，初步了解证明函数单调性的一般步骤，并利用函数单调性的定义会判断证明一些简单的函数单调性的问题。通过上述活动，加深对函数本身的认识。
二，教学内容地位与作用从以下四个方面做说明。刚才王老师已经说过，函数在高中数学当中是一个核心的内容。20世纪初，德国的数学家克莱因曾经这样说过，他认为函数的概念应该成为数学教育的灵魂，以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围进行充分的综合。在高中课程当中函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数一起应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列三四中的大部分专题内容等都有密切的联系。而函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是函数的第一个性质，也是函数最重要的性质之一，他刻划了当自变量变化时，应变量变化的趋势，函数的单调性是函数学习中的第一个用数学符号语言刻划的概念，为进一步学习函数的其他性质提供了方法依据。
函数的单调性既是学生学过函数概念的延续和拓展，又是后续研究质指、对、幂和三角函数等单调性的基础，此外在比较数的大小，确定极值等函数定性分析，以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。此外，从方法论的角度分析，本节教学过程当中，还渗透了探索发展、数形结合、归纳类比、转化等数学思想。利用定义法证明函数单调性的过程中，算法的思想提前渗透，在强调对单调性概念中的“任意”理解的同时，为后面逻辑用语中的全称量词和存在性量词的深入理解提前做了铺垫。这是函数单调性的结构图。
对函数单调性内容的分析，我认为学生的认知困难主要有两个方面：1，用准确的数学符号语言刻划图形的上升与下降，这种由形到数的反映，从直观到抽象的转变，对高一的学生是比较困难的。2，单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到代数论证能力，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的，根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的教学目标，重点和难点。
知识与技能方面，使学生从形和数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用图象各定义判断证明函数单调性的方法。
二，过程与方法，从生活实际和学生已有所学知识出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，通过应用函数图象和单调性的定义，解决简单函数单调性问题，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察归纳抽象类比的能力和语言表达能力，通过对函数单调性的证明，提高学生的论证推理能力。
三，情感态度价值观。在整个过程中，着重是让学生体验到由具体到抽象，从特殊到一般，感性到理性的认知过程，不断地探索学生创新求知的精神。
教学重点，函数单调性的概念这是第一，二是运用函数单调性的定义判断证明一些函数的单调性。教学难点，函数单调性概念的知识形成，二是利用函数图形，单调性的定义判断和证明函数的单调性。教学方法和教学手段的选择，本节课由于是函数单调性的起始课，所以采用教师启发引导，学生自主探究学习的教学方法。通过创设情境引导学生探究，师生交流，最终形成概念，获得方法。
过程当中借助于多媒体和几何画板来辅助教学，提高学生对所学概念的理解和认识。
在本节课当中，为了实现教学目标，突出重点和难点，教学上采取了以下措施。
一，在概念的探索阶段，让学生经历从直观到抽象，特殊到一般，感性到理性的认知过程，完成对函数单调性定义的三次认识，第一次认识是通过图象让学生生感受到上升到下降，从函数的角度就是在某一个区间Y随着X增大而增大，或者是Y随着X增大而减少，这是对函数单调性的第一次认识；第二次认识是用数学符号语言来刻划在某一个区间上Y随着X增大而增大，或者Y随着X增大而减少，给出函数，增函数，减函数的定义，完成函数单调性的第二次认识；第三次认识是通过判断以及利用函数单调性的定义来证明单调性，加深学生对函数单调性的认识和理解，完成三次认识。使学生对概念的认识不断的深入。
在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，渗透算法的思想。
三，考虑到我校学生数学基础一般，变形能力较弱，对定义法证明函数单调性的例题选用学生非常熟悉的且已知结论的函数进行，例如一次函数Y=3X+2，或者是反比例函数，让学生初步熟悉证明的一般过程，随后作为探究适当地延展，加深对定义的理解，给出了函数平均变化率，对后期利用导数来研究函数单调性埋下伏笔。
由于本节课是一节抽象的数学概念课，因此在教法上需要注意通过学生熟悉的实际生活问题，和已经具备的函数知识引入课题，对概念学习创设情景，拉近学生在数学与现实之间的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积极性。
2，运用定义解题的过程中，紧扣定义的关键语句，比如区间性和任意性，通过学生的主体参与，逐个完全对各个难点的突破，获得各类问题的解决。
3，鼓励学生参与的同时，不可忽视教师的主导作用，并且在这里重点让学生成功地完成书面表达，规范学生的书写。
4，通过几何画板多媒体等现代的教学手段，突破单调性的难点，任意性的理解。在学法上，让学生从问题中质疑，尝试，归纳总结，运用，培训学生发现问题，研究问题，解决问题的能力。2，让学生利用图形直观启迪思维，并通过正反例的构造，来完成从感性到理性认识的一个飞跃，学生举出反例后的兴奋，增强了学生学习数学的自信心和兴趣，同时更加促进学生学习数学的主动性。
最后一点要重视小结，在小结的环节中，从探究过程，证明方法与步骤，数学思想方法几方面，学生亲自来总结。那么通过他们的主动参与，使学生深刻体会到本节课主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化。针对函数单调性的数学分析、地位作用，以及我们学校的定位和处理建议就说到这里。
张思明：刚才王肖华老师结合北京第十九中学生的实际，就我们这节课的内容，从教学的内容，教法，学法做了一个比较细致的分析，当然这个分析老师可以根据自己的经验加以点评。那么在这个过程里，我们还注意到，确定教学目标的过程是要根据内容和学生的实际来做，王肖华给我们做了这样一个尝试，在这个过程当中，老师们也提出来，我们确定教学目标的依据，除了有数学内容和学生之外，还有哪些？下面我们来看看北京经济技术开发区实验学校的辛华老师为我们做这方面的一个问题。
辛华：各位老师大家好，很高兴有这样的机会和你们一起交流。我先从单调性在中小学数学教学中的地位和作用谈起，为什么会想到这个问题呢？我们老说备课的时候要备学生，那么学生的学情，究竟对这个知识点掌握到什么程度，他对它的理解，或者是了解是经过怎么样的过程而进行的，所以我把从小学一年级到高中所有的课本做了一个梳理。
单调性在中小学数学当中的定位一共分五个阶段，小学、初中，高一高二和高三。在五个阶段中，数形结合的思想始终贯穿其中。那么高一可以说起着很重要的，承前启后的作用，它既是小学初中知识的延续和深化，又是为后续高二，高三，乃至大学的学习奠定了良好的基础。
在小学低年级，基本上是通过对生活经验中的直观的感性认识去了解，而到了高年级则是通过对图象，对数量变化的规律有了进一步的看法。小学低年级，我们先看二年级，二年级的学生已经可以通过生活经验很自然地理解，比如他要出去买东西，那么购买的数量越多，花的钱就越多，这两个数量之间的关系很明显是一个递增的关系。同样，如果相同的钱所购买的物品单价越高，那么可购买的物品数就越少。在三年级的时候，通过分数的学习，学生已经可以理解把单位一平均分的份数越多，那么每份数就越少。尤其值得关注的是小学六年级，从去年开始，也就是今年的新初一，他们已经在图象的特征上有了更高的要求。小学六年级下册，首次用字母来表示正比例和反比例的量，我们来看图。第一个图中，当底面积一定的时候，体积会随着高度的增加而增加，在这里教材要求学生首先把体积和高度用字母来表示，并且找到字母之间的关系，Y比X等于定值25，因此在这个时候已经渗透了函数的思想。另外，从新课标来说，它还给出了函数的图象。在这里，要求学生能够根据图形的特征指出随着高度的增加，对应的体积逐渐增加，但是这时候课本更多要求的是对散点图的认识。
在学习正比例量之后，学生开始学习了成反比例的量，对反比例的量要求相对较低一些。同样我们可以看到，要求学生通过实际操作来发现，当体积一定的时候，高度会随着底面积的增加反而降低，因此这样是一个成反比例的量。对于反比例量同样给出一个图象，但是这个图象在教参里要求并不高。
针对小学六年级学生的一些提问，我们感觉到，小学六年级的孩子对图象的认识已经有了相当的水平，比如说就这个反比例函数图象，有人问到，他说我也知道随着底面积的增加，高度会逐渐降低，那为什么会是弯着下来了，有的孩子会提出这个问题。而且他居然还会提出，那么在降低的过程中，为什么不会超过横着的这条线，所以我们可以看到孩子对图象的直观认识是非常清晰的。
下面我们来看初中阶段，初中阶段在小学的基础上又增加了自然语言的描述，在八年级上册，首先学了函数的定义，让学生描点画图，对Y=X+0.5，以及的图象进行了认识。这时候要求学生能够说出从左到右是上升还是下降，对应函数的变化规律，要求能够表示为当X由小变大的时候，Y随之是增大还是减少的。特别值得关注的有这样几点：首先在课本后面信息技术应用部分，应用计算机居然画出了二此函数以及三此函数的图象，这是初二的上半学期。对于二次函数和三次函数的图象来说，同样要求学生可以根据图形特征说出对应的函数变化规律。那么在对图形有了充分的认识之后，此时才正式开始学习正比例函数和一次函数，另外因为是学生初次接触，所以本册书给出了大量的生活实例，比如说气温随着时间的变化怎么样去变化，再比如说科学家又如何测算地球的年龄等等。
紧接着，在八年级的下册和九年级的下册，对单调性的学习进行了进一步的认识。八年级下册学习了反比例函数，九年级下册学习了二次函数，但是它们的区别有所不同。反比例函数更多强调的是图形的特征，那么二次函数在强调图形的特征，单调性的基础上，又特别强调了对称轴和顶点。
为了大家可以更清晰地看各阶段的特点，我们将之整理如下。首先来看小学，通过直观的感知，尤其是六年级通过学习正反比例的量直观看出数量的变化关系，到了初二八年级上册，通过一次函数为依托，来学习连续函数单调性所对应的图象特征。这时候强调图象变化的趋势，但并不要求学生掌握变化所在的范围。那么到了初二，八年级下册，学习了反比例函数，这时候开始描述不连续函数单调性所对应的图形特征，相同的仍然强调图象变化的趋势，但是这时候还特别强调变化所针对的范围，这个反映是以象限的形式给出的，比如一三象限怎么样，二四象限怎么样。到了初三九年级下册，通过二次函数的学习，进一步加深认识，这时候还特别强调了变化的范围是在自变量X，当X在哪一个范围内的时候，函数值发生怎么样的变化。
第三个阶段是在高一，高一是在小学初中的基础上，直观感受自然语言描述的基础上进一步学习了严格定义。从数形两个角度来理解，另外刚才王老师也提到他们采用的是人教B版，我们是采用人教A版本，这两个版本对函数的定义各有侧重，A版采用传统定义，并且紧接着给出了最值，而B版采用的是自变量和应变量，为后续导数的学习又奠定了良好的基础。
第四个阶段是在高二导数，这阶段是通过通性和通法的探索提供方法的一般性，更多是一种对于技能的强化。
到了阶段五是高三了，对知识进行的综合应用和其他的体系进行联系，多次接触单调性，认识和能力再一次得到提升。
所以由刚才的分析我们可以看到，单调性这一重要概念的认识、理解和应用，它是多层次，多角度螺旋上升的，而且在这一个过程中，务必要加强对图形的认识。
针对刚才的教材分析，我们来看一下对于高一内容的一个具体分析。我以为在每节课的教学过程当中，我们基本有三条主线，第一条是知识的发展线，然后是老师的引导线，以及学生的内化线，因此在本节课的设计当中，我以知识的发展线为依托，尽可能体现出教师的引导作用，但最终的目的是要落实到学生在知识过程的一个内化。学生在单调性学习的时候我们可以看到了他们对图象的直观认识相对而言比较熟悉了，所以他们可能碰到的第一个困难，就是增减函数形式化定义的形成，也就是对“任意”的理解，他们遇到的第二个困难，如何利用定义来判断函数的单调性。主要原因是学生对于比较大小的能力，这时候并不足，所以在教学设计的时候，对函数的复杂程度要加以控制。
因此，我们的教学重点，我认为主重点是单调性概念的形成，次重点是证明函数的单调性，相对应的难点是引导学生归纳并抽象出单调性的定义，根据定义证明单调性。
本节课的知识作为一个概念课，我觉得可以从三个角度来入手。首先概念的生成是一个程序性的知识，然后概念的应用用定义去证明，也是一个程序性知识，而在这两个体系当中，其实还蕴含着思想方法的认识。所以，针对概念在教学目标设计的时候，更多强调的是看图说话，归纳出图象的共同特征，完成从直观到抽象的一个转变。
那么教学目标二，其实就是初步掌握利用函数的单调性定义来证明单调性的方法，教学目标三，在这个过程中，如何让学生去体会概念的一个生成过程，如何让学生体会一个思维的发展过程，这一点隐性的这些知识能力的培养是我们的教学目标三。
所以，在教学过程中的设计我从这几点来入手。既然孩子对图象的掌握是比较清晰的，所以本节课我通过大量的典型图形的分析，使学生在直观感知和自然描述的阶段能够很自然地接受“任意性”和“两个值”。这一块为什么会这么想到的？感觉在我以往的教学过程中，往往是先带着大家看几个图，然后给出定义，然后对定义当中容易理解失误的问题进行分析。后来我想，可不可以在初期认识的时候，直观感知的时候就很自然的能够接受“任意性”呢？所以这是我的看法。
针对我们学校学生的具体情况，我们是属于民办校，生源比较差，学生基础比较差，因此我按照华罗庚先生的以退求进的策略，华罗庚先生说，很多时候我们先足够的退到我们所容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。所以我在整个描述的语言过程中，增加了形象比喻的语言。在整个设计过程中，对于典型例题的选取，及变数训练当中，对单调性的概念进行了分层次的理解和应用，也就是说针对学生的不同情况，设定例题习题等。
有关单调性在中小学数学教学中的定位和作用我就说到这里，谢谢大家。
张思明：刚才两位老师就单调性的内容，不是一上来就说例题是什么，习题是什么，给我们做了一个很好的展示，铺垫了这个分析过程的前头要做的事情，我想就这个教学设计的这样一种做法听听王老师的评述。
王尚志：听了王老师和辛老师的讲话，我觉得很愿意向大家推荐她们这样一种思考的模式，当我们要教某一个课的时候，我们倡导整体的把握课程，而在实现整体把握课程的过程中，针对一节课我们建议老师经历这样一个过程，就是从局部到整体，再回到局部的这么一个过程。我们教的是单调性，这是一个很局部的概念，是函数中的一个重要的概念。刚才二位老师从不同的角度分析了，单调性的概念在我们整个高中数学中处于一个什么位置，它和其他哪些概念有着内在的联系。比如说王老师谈到了和函数概念的联系，我们知道函数的概念是对于集合A，集合B，集合A中实数集和集合A中的任何一个值存在着一个对应关系，再集合B中与唯一一个值对应，把这个对应关系称之为函数。
我们在函数教学中常常强调有唯一的元素对应的，是我们理解函数关系一个很关键的问题。这样一个认识在我们理解函数单调性上会发挥什么样的作用呢？我觉得王老师给我们提示需要我们老师去思考这些问题，我们去想，对于两个自变量的值，这两个值，X1，X2，它们的函数值都是固定的，唯一的，那么他们之间是存在着三种关系，一种是相等，一种是f(X1)<f(X2)，一种是f(x1)>f(X2)，所以从这里来说，自变量两个值在变化，X1变到比它大的X2，那函数值怎么变化？这个变化的依据是什么？我觉得当我们老师把这些问题想清楚的时候，你就会感受到。当然还有一个任意的过程，我们就体会到函数单调性在研究函数这个过程中将发挥什么样的作用。不仅于此，我们还要考虑单调性还和哪些有关系，王老师做了一个分析，辛老师也做了一个分析，我想这些分析也许并不完善这，但是我们希望所有要上单调性课的老师都应该去做这样一个分析，我们逐步的把它完善起来。比如说，我们王肖华老师谈到了，谈到函数的单调性和不等关系有密切的联系，并且我们在讨论单调性，证明不等式，当X2>X1，或者当X2-X1>0这个前提下，f(x1)和f(x2)保持一个什么样的不等关系，我们怎么样来说明这件事情，我们需要用什么样的想法去说明这件事情。所以就看出单调性和不等式，以及不等式证明存在着联系。
比如王肖华老师还指出，单调性会和我们经常使用的逻辑用语存在着密切的联系。我们在单调性概念的叙述中，有一个非常核心的说法，二位老师都提到，对于“任意”的X1，X2，这是我们数学当中经常使用的一个逻辑词，一个常用逻辑用语，就是所谓“全称量词”，对于全称量词的理解也不是一下子就能够很好的理解，总得想一点办法，她们都想了很多的办法来帮助学生逐步接受这样一个量词。比如说她们还谈到我们函数的单调性和导数存在着密切的关系，并且在教学的设计中，还为将来导数的概念奠定了一个基础。因为X1-X2>0，所以它的符号就不变了，因此f(x2)-f(x1)的符号，与的符号是一样的。证明前面不等式和证明后面的不等式是一个意思，在某种意义上就奠定了这样一个变化率的基础。所有这些考虑都是在她们能够从局部到整体，再回到局部这样一个过程中实现的。所以我想我们无论教哪一部分内容，都应该从局部拓展到整个课程的整体。
比如说辛华老师，不仅分析了单调性在高中中的作用，而且也分析了孩子在小学学习中，在初中学习中，为理解单调性奠定了哪些基础。辛华老师的分析是她个人的看法，也许别的老师还有别的意见，我觉得这都没有关系，这就需要我们去思考这个问题，去做好这个准备，而这样的准备我个人觉得是我们上好高中课程的基础性建设，无论如何我们都要经历这样一次思考，才有可能把单调性的概念课上的效率更高一些，这是我觉得感触比较深的。
当然我对她们也有一些建议和交流，虽然我们在下面也做过这样的交流，但是我想还是提出来让大家来思考。在单调性起始课的教学当中，什么东西是重要的东西，什么东西是在这一节课学习贯穿始终的东西，我觉得这件事情还可以再思考一下。怎么样概念让在我们整个的教学中发挥作用，我觉得这还是一个值得思考的问题。因为我们老师比较容易认为证明的过程很重要，甚至有难度，学生可能过不去，所以需要我们花工夫，但是对概念的认识，我们怎么样贯穿始终，包括在证明中。我不知道这样的考虑是不是需要，我觉得在单调性当中概念怎么样贯穿在这一节课中间，还希望我们大家一块来思考，这样来提高我们对概念理解的效率，让它发挥出更大的效率。
比如证明，王肖华提出一个概念的思想，比如一个证明的程序，我们证明一个函数是单调的，它的基本程序是什么，条件是什么，目的是什么。另外，这个演绎推理过程的基本特点是什么，它们和单调性的概念存在着哪些联系。比如说，在单调性的证明当中，一般采用所谓分析法，就是从我们要证明的f(x2)-f(x1)的不等关系，回归到怎么使用X1-X2>0这个条件，当然我们并不是要说这个，但是从这个过程中去强化单调概念的作用是非常重要的。所以我也同意刚才二位的说法，在单调性的起始课程当中，不宜一下子把证明的难度提的非常高，可能需要一个过程。我们也希望老师能够考虑到这样一件事情，我们希望还有很多的机会来不断的去讨论关于函数单调性的证明，甚至有一些不是严格的证明，依然对于我们单调性的认识有帮助。如关于指数函数单调性的证明，就不是一个不严格的证明，只是一种说法，，当a>1是单调上升的，当0<a<1的时候它是单调下降的，我们并没有给出严格的证明，可能在高中阶段也不容易给出，可能需要很多其他的支持。最近我们把这个问题写成文章，将来可以和大家一起分享，我们还有很多的环节会强化关于单调性证明的一些方法能力上的提高。所以我们提到过的另外一个话题，什么可以一步到位，什么需要有一个过程。她们二位老师的分析给我们提供了一个非常好的范例，或者给我们提供了一个非常好的导向，我们要教好，我们要发挥一节课的效率应该做怎样的思考。
张思明：王老师给我们提出了一个新的思考的点，就是作为概念课我们应该从哪儿入手提高学生理解掌握概念的效率，下面我们接着这个话题请两位老师来具体地说一下，他们在教学内容的设计上的一些想法，当然这部分内容真是仁者见仁，智者见智，我们很多老师都提供了这方面的资源，但是我想大家从她们的思考里，能够看出她们在教学设计前面做的工作怎么来落实的，好，下面我们请两位老师具体介绍一下她们的教学设计。
辛华：在教学环节中，基本是以六个程序来进行，人物情景，形成概念，初次理解概念，应用概念，学生小结，并且布置作业。
我是通过奥运会的烟花引入了这样一个情景，让学生通过图象判断，烟花冲出最佳的爆破时间，在这里我增加了形象比喻语言，从左到右，沿着图象策马前行，是走上坡路还是下坡路，在概念形成当中，我是抓住了关键的一个典型图形寻求共同特征和不同之处，设计的意图是希望通过形象比喻，以直观判断为突破口，比如第一组图象，第一个求同是从左往右都是沿着图象策马前行走上坡，然后引入的目的是明确他们分别是在不同的范围上坡，第一个图象在全体实数，第二个图象在大于零的范围。接下来学生去观察分段函数，Y=f(x)，以及Y=g(x)的图形特征。
在这里，因为学生已经在前期学过了分段函数的图象，所以试图通过对特殊点的分析，从细节插入切入，完成对”任意”的认识。比如对第一个图象，是在整个实数范围内一直走上坡路，间断点处形象的描述为更上一层楼。
对于第二个图不能看作是整个实数范围内一直走上坡，间断点处形象的描述为马失前蹄，因此只能看出两个不同的范围内去做。
接下来是通过几何画板，引导学生对任意性加强认识。对学生来说你觉得对于图形的特征，我是针对图象当中的哪些点来进行研究的。一个点我们无法进行研究，所以我们要多取几个，比如在取到两个点的时候，老师可以根据学生的情况，假如仅仅是两个点满足一个特征，那么中间这个点我可以拉下来，所以情况就得到了改变。同样，我们可以在学生可能会接着引到无穷多的点，对于无穷多个点的时候，我们同样可以把其中的一些点拉下来。这样一来对学生来说他就会意识到无穷不能够表示任意性，因此在最终的过程当中，学生会认识到，必须在取点的过程当中要任意取。之后形成概念，形象比喻，然后自然语言，符号定义。
下面我就题型的设计说一下想法。在学生用定义来证明函数单调性的时候，教师特别要强调在黑板上清晰的写明每一个的步骤。另外我现在有这么一个想法，就是对于我们的学生来说，生源比较差，所以我们在例题选择的时候是比较基础的，比如一次到二次难度到此为止。那么其实我们老师可以在下面多做一些文章，就是我们可以要求学生不去做，但是老师要心里有数，不然的话老师带这样差的学生容易下来，在例题的选取上，如果学生成绩较好，我觉得可以选择Y=a，或者是的类型。
在小结这一块，针对学生的特点我采取的三种方式，首先是抽签确定学生，我们的学生一般不是很主动去参与，所以我们在课快结束的时候会抽签，抽到哪位同学由他来做总结，这样一来他在整个听课当中会有一个小小的积极性，但是这个相对被动性还是比较强的，另外第二个小节的方式是由学生主动去做总结，但是这部分能够主动去做总结的学生相对还是比较少的，我们打算把两个结合起来，然后教师针对学生存在的问题再做一个小结，最终的目的是达到全员的参与。
在作业布置的时候我们可以分三个层次，学生可以自己选择，第一个层次面向基础较差的学生，要求落实最基础知识，看图说话，能够证明一次二次的图象。对于中等学生的同学，我们布置层次二，首先对函数，对四个图象的认识来分析有可能哪一个是满足fX2-fX1，比上X2-X1小于零。另外我们给出了练习二，是用定义来证明一个分段函数的单调性，这样一来，这两个练习试图加深对单调性任意二字的理解，尤其是练习二，用定义来证明本题的时候，需要分三种情况分类讨论，比如X取值一正一负，两正或者是两负。
学生在学习过程当中容易出现的问题，就是对单调性证明过程当中，究竟我们要变形到什么样的程度，以及在写单调区间的时候究竟用逗号，还是用并，符号并集为什么是错误的。我要说的就是这些。
王肖华：刚才辛老师针对在教学过程当中的一些想法给大家做了一下说明，下面我针对我们学校学生的学清在函数单调性教学设计过程当中的一些想法，首先我们有学案，在这里学案是非常有助于学生自主去学习的，在这个学案设计当中我们设计以下四个方面，一创设情景，引入课题，二归纳探索，形成概念，三就是适当的延展还有作业。在这个学案的过程当中，我们把一些问题以问题的形式给学生说出来，比如第一个看图完了以后，就观察这个图象上你能够获取哪些信息，通过这个过程让学生学会看图说话。第二就是归纳探索形成概念的过程当中，我们要求学生通过学生非常熟悉的四个函数，然后让学生画出函数图象，总结变化规律，第二个问题从函数的角度观察自变量变化的时候，函数值的变化规律有哪些，紧接着再给出一个具体的，让学生用自然语言来描述什么是增函数，而且是减函数。紧接着再从符号的角度来说明一个具体的函数，，由这个特殊的归纳出一般的，然后再给学生提前自主学习的空间，通过判断题加深学生对函数单调性定义的理解，以及后面的思考，让学生从不同的层次，不同的角度自主去先初步对函数单调性的定义，以及它的应用有一个初步的认识。
引入情景方面，刚才辛老师也说从奥运会的角度，我来说一下引入情景也是从奥运会的，只是侧重点不一样，这个只是让学生感觉到我们来研究这种图象数据的变化趋势有升有降，对实际生活有重要的指导意义，所以我们研究这个是非常有必要的。在问题的情景设计当中刚才通过这三个问题，逐步的为我们后面要讲函数单调性这个主题做了铺垫。
问题设计与师生互动第二个重要的环节，就是在归纳探索形成概念的过程当中，通过四个问题，第一个问题从函数的角度观察四个函数图象，在自变变化时，函数值的变化规律有哪些，刚才已经在学案当中有所体现，通过这四个问题有层次，然后逐步的引导学生自主探索归纳出函数单调性的定义
而且我们在引入的时候一定要注意学生已有的知识结构，因为学生非常熟悉的知识入手，这样拉近了学生与学习这个新知识的距离。
再通过叙说增函数，减函数定义的时候，不断培养学生语言表达能力。
我来说一下问题六，你能用准确的数学符号语言描述出函数在零到+∞是增函数吗针对这个问题刚才辛老师已经提到了，为什么要讲到任取，首先学生在这个区间取两个点，比如二和三，那么定的函数是二的平方小于三的平方，这个很明显。根据他的直观感知，他知道零到正向是函数。仿照一我们可以取多组数值来验证，均满足函数在零到+∞为增函数。
张思明：刚才两位老师给我们介绍了具体教学设计的一些思考，我们能看出来她们的设计都有很多有特色的东西。下面我们请王老师对具体的教学设计做一些点评。
王老师：我觉得她们的教学设计都有她们各自的特点，因为我们的学校不一样。辛老师所在的学校生源比较差，王老师所在的学校属于中上等的生源。我觉得她们最重要的基本特点，就是针对我们学校的学生来设计教学方式。我觉得这一点是值得我们大家来共同思考的一个问题。因为我想不存在最好的课，适合于所有学生的课，而是创设最适合你所教的学生的课，这是我感觉她们一个非常好的特点。另外，她们在情景的引入，问题串的设计等等一系列方面都有她们独特的创意。我特别想说问题串的设计，这是我们新课改或者说我们中国数学教育的一个创造，我们设计了很多问题用问题引导学生思考相关的数学问题。在这里我觉得有一个需要大家关注的问题是，问题设计的好不好是能不能激发学生和你一块学数学的一个非常重要的载体，也是非常具有创造性的环节。我们希望我们参与研修的老师一起设计出很多能吸引学生、抓住学生、激发学生的问题，使我们的课堂变得活跃，使我们的思维变得共鸣，这样我想会更好一点。
张思明：这节课通过（辛华）老师、（王肖华）老师的介绍，给我们展示了一个单调性的入门第一节概念课的设计，当然我们从这个过程里还反复的得到了很多老师的支持和帮助。我们同时收到了来自江西、陕西、江苏老师们的课件和他们的教学设计，我想在我们课程的培训过程中，每一个老师都是参与者，希望我们的培训能够引起老师的思考，我们一起来把概念课的教学做的更好，这节课就到这里，谢谢大家的参与！
