float介绍 float left

1.数据存储

float的指数位有8位，而double的指数位有11位，分布如下:

float:

double:

在数学中，特别是在计算机相关的数字(浮点数)问题的表述中，有一个基本表达法:

valueoffloating-point= significandx base^exponent,withsign
即:数值 = 尾数 ×底数^指数,(附加正负号)

其实不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范的，float遵从的是IEEER32.24,而double遵从的是R64.53。R32. 24和R64.53的存储方式都是用科学计数法来存储数据的。

指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据+127，下面就看看8.25和120.5在内存中真正的存储方式。

8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25*10^0,而120.5可以表示为:1.205*10^2。而在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示，8.25用二进制表示可表示为1000.01，120.5用二进制表示为:1110110.1用二进制的科学计数法表示1000.01可以表示为1.0001*2^3,1110110.1可以表示为1.1101101*2^6。

首先看下8.25，二进制:1.0001*2^3

按照上面的存储方式，符号位为:0，表示为正，指数位为:3+127=130,位数部分为,故8.25的存储方式如下图所示:

而单精度浮点数120.5的存储方式如下图所示:

对于一个小数其默认类型为double型，如果需要指定为float型，需要在小数后面添加F或f后缀。

如floata=0.5f;

2.范围

范围主要是来讨论最大最小值。

float和double的范围是由指数的位数来决定的。对于指数部分，因为指数可正可负，8位的指数位能表示的指数范围就应该为:-127~+128了。

即float的指数范围为-127 ~+128(+-2^7)，

而double的指数范围为-1023 ~ +1024 (+-2^10)，

并且指数位是按补码的形式来划分的。

其中负指数决定了浮点数所能表达的绝对值最小的非零数；而正指数决定了浮点数所能表达的绝对值最大的数，也即决定了浮点数的取值范围。

float的范围为-2^128 ~+2^128 也即-3.40E+38~+3.40E+38；

double的范围为-2^1024~+2^1024，也即-1.79E+308~+1.79E+308。

其他特殊表示

111111111尾数的23位不全为0:表示不是数值
11111111100000000000000000000000:表示负无穷大.比最小负数还小的数都视为负无穷大.
11111111011111111111111111111111:表示最小的负数,即-2^128=-3.4*10^38
10000000100000000000000000000000:表示最大的负数,即-2^(-126)=-1.18*10^(-38)
00000000000000000000000000000000:表示0
00000000100000000000000000000000:表示最小的正数,即2^(-126)=1.18*10^(-38)
01111111011111111111111111111111:表示最大的正数,即2^(128)=3.4*10^(38)
01111111100000000000000000000000:表示正无穷大,比最大正数还大的数都视为正无穷大.
011111111尾数的23位不全为0:表示不是数值

当指数部分和小数部分全为0时,表示0值,有+0和-0之分(符号位决定),0x00000000表示正0,0x80000000表示负0.
指数部分全1,小数部分全0时,表示无穷大,有正无穷和负无穷,0x7f800000表示正无穷,0xff800000表示负无穷.

故，float型数据的表示范围包括:
负无穷大;-3.4*10^38<x<-1.175*10^(-38);0;1.175*10^(-38)<x<3.4*10^38;正无穷大.

3.精度

精度主要是来讨论数据通过科学计数法表达后，小数点后数据位数。

float和double的精度是由尾数的位数来决定的。任何一个数的科学计数法表示都为1.xxx*2^n,尾数部分就可以表示为xxxx，第一位都是1，可以将小数点前面的1省略，故不能对精度造成影响。

那么对于尾数

float:2^23=8388608，一共七位，这意味着最多能有7位有效数字，但绝对能保证的为6位，也即float的精度为6~7位有效数字；

double:2^52=4503599627370496，一共16位，同理，double的精度为15~16位。

或，

log(2^23)=6.xx,取整即6；

log(2^53)=15.95,取整即15；
log(2^65)=19.57,取整即19。

4.问题

inti=Int32.MaxValue;

floatf=i;

intj=(int)f;

boolb=i==j;

这里的b，是false。刚才这个操作，如果我们把float换成long，第一次进行隐式转换，第二次进行强制转换，结果将会是true。乍一看，float.MaxValue是比int.MaxValue大了不知道多少倍的，然而这个隐式转换中，却造成了数据丢失。int.MaxValue，这个值等于2^31-1，写成二进制补码形式就是01111…(31个1)，这个数，在表示成float计数的科学计数法的时候，将会写成+0.1111…(23个1)*2^31，对于那31个1，里面的最后8个，被float抛弃了，因此，再将这个float强制转换回int的时候，对应的int的二进制补码表示已经变成了0111…(23个1)00000000，这个数与最初的那个int相差了255，所以造成了不相等。

那么提出另一个问题，什么样的int变成float再变回来，和从前的值相等呢？这个问题其实完全出在那23位float的数据位上了。对于一个int，把它写成二进制形式之后，成为了个一32个长度的0、1的排列，对于这个排列，只要第一个1与最后一个1之前的间距，不超过23，那么它转换成float再转换回来，两个值就会相等。这个问题是与大小无关的，而且这个集合在int这个全集下并不连续。

floatf=2.2f;

doubled=(double)f;

Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

f=2.25f;

d=(double)f;

Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

可能输出的结果让大家疑惑不解，单精度的2.2转换为双精度后，精确到小数点后13位后变为了2.2000000476837，而单精度的2.25转换为双精度后，变为了2.2500000000000，为何2.2在转换后的数值更改了而2.25却没有更改呢？首先我们看看2.25的单精度存储方式，01000000100100000000000000000000，而2.25的双精度表示为:0100000000010010000000000000000000000000000000000000000000000000，这样2.25在进行强制转换的时候，数值是不会变的，而我们再看看2.2呢，2.2用科学计数法表示应该为:将十进制的小数转换为二进制的小数的方法为将小数*2，取整数部分，所以0.282=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0，0.4×2=0.8，第二位为0,0.8*2=1.6,第三位为1，0.6×2=1.2，第四位为1，0.2*2=0.4，第五位为0，这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列00110011001100110011...,对于单精度数据来说，尾数只能表示24bit的精度，所以2.2的float存储为

但是这样存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2的，应为十进制在转换为二进制的时候可能会不准确，如2.2，而double类型的数据也存在同样的问题，所以在浮点数表示中会产生些许的误差，在单精度转换为双精度的时候，也会存在误差的问题，对于能够用二进制表示的十进制数据，如2.25，这个误差就会不存在，所以会出现上面比较奇怪的输出结果。

类似地，

doubled=0.6;

floatf=(float)d;

doubled2=f;

boolb=d==d2;

这里的b，也是false。由于float保存23位，而double保存52位，就造成了double转化成float的时候，丢失掉了一定的数据，非再转换回去的时候，那些丢掉的值被补成了0，因此这个后来的double和从前的double值已经不再一样了。

那么什么样的十进制小数，表示成二进制不是无限小数呢？对于所有的最后一位以5结尾的十进制有限小数，都可以化成二进制的有限小数。

浮点数与十进制之间的互相转换体现在存在内存里的数明显实际与0.6不等，但是无论哪种语言，都能够在Debug以及输入的时候，将它正确的显示成0.6提供给用户(程序员)，最好的例子就是double和ToString方法，如果我写doubled=0.59999999999999999999999999999，d.ToString()给我的是0.6。

最后，一个有意思有问题，刚才说过0.6表示成为二进制小数之后，是0.1001并且以1001为循环节的无限循环小数，那么在我们将它存成浮点数的时候，一定会在某个位置将它截断(比如float的23位和double的52位)，那么真正存在内存里的这个二进制数，转化回十进制，到底是比原先的十进制数大呢，还是小呢？答案是Itdepends。人计算十进制的时候，是四舍五入，计算机再计算二进制小数也挺简单，就是0舍1入。对于float，要截断成为23位，假如卡在24位上的是1，那么就会造成进位，这样的话，存起来的值就比真正的十进制值大了，如果是0，就舍去，那么存起来的值就比真正的十进制值小了。因此，这可以合理的解释一个问题，就是0.6d转换成float再转换回double，它的值是0.60000002384185791，这个值是比0.6大的，原因就是0.6的二进制科学计数法表示，第24位是1，造成了进位。

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