爱华网应用题的本质是数学建模
张奠宙
摘要：数学有纯粹数学与应用数学两大部分。小学数学有数与数的运算法则以及数学应用两大部分。小学数学应用题是相对独立的， 其本质是数学模型的建立。“问题解决”的内容比较宽泛，它具有理念改革的指导意义，却不能代替数学应用题的教学。小学数学应用题要有类型的区分，但不能“类型化”。儿童有丰富的想象力，模拟情景往往比真实情景更真切。应用题能够贴近学生生活的只能是少数，更多的是科学实践型、模拟情景型的题目。但是，我们应该更多开拓一些新型的应用题。本文提供了一些参考题。
引 言
应用题的出现渊远流长。古埃及的纸草书、中国的《算数书》等古代数学典籍，都是应用题的汇编。
从有历史的记载来看，算术应用题一向是初等教育中的重要内容。直到第二次世界大战爆发前的1930年代，世界各国的小学数学课程，大多包括算术应用题，并且成为小学数学最难学习的部分之一。
20世纪中叶以后，小学数学应用题教学出现了两个重大的变化。
首先是代数方法逐渐取代算术应用题。中学里学习的代数方法，较之笨重的算术方法，简单而有效，于是代数思想方法不断地渗透到小学数学中来，应用题的算术解法有所淡化。
其次是问题解决口号的提出。1980年，美国提出“问题解决(Problem Solving)”的口号，认为解决非常规的数学问题，培育创新精神， 是数学教育的主要追求，应该贯穿到数学教育的每一个环节之中。小学数学应用题的僵化模式，成为改革的目标之一。
1949年建国以来，我国大陆地区的小学数学课程一直把小学算术应用题的教学放在重要位置。但是，整体上也随着上述的两股思潮而发生渐进式的变化。在21世纪初实行的《全日制中小学数学课程标准（实验稿）》中， “数与代数“成为小学数学的基本学习领域。代数，从此正式进入小学数学范畴，数学应用题的教学也大量渗入代数方法。同时，应用题则不再成为独立的教学板块，而是贯穿在“数与代数”“空间与几何”“统计与概率”各个领域之中。
但是，用代数方法完全取代算术方法是不可取、也不可能的。 算术方法有它独特的实用价值和思维训练价值。 数学问题的算术模型和代数模型，各有所长， 应该相互融合，而不是彼此排斥。同时，“问题解决”是一个宽泛的口号， 整个数学教学都是在“解决问题”。如果用“问题解决”来取代“算术应用题”，似乎偏离了“应用”的 本意。回避“应用题”带来的 问题， 并不利于“应用题”的教学改革。小学数学中文字型应用题的求解有其特殊的规律，适当的集中教学，是不可缺少的。
时至今日， 用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的根本出路。
一、 什么是 “小学应用题”
数学的发展有两个原动力， 一是要解决大自然和社会现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生成的数学问题。前者的研究成果是应用数学，后者的研究成果成为纯粹数学。这二者相辅相成，相互渗透，共同发展。不过，归根结底，社会生产力和文化发展的现实需要是数学成长的本源。
小学数学中，数的扩展以及相应的运算规则， 属于纯粹数学范围， 将这些规则和现实相联系， 并应用于现实，则是小学应用数学的范围。数学是由问题驱动的。小学数学应用题教学，体现小学数学的应用，培养学生与此相关的数学思维模式。
小学的“数学应用题”，可以理解为：用算术方法求解的、用自然语言表达的复杂情景问题。这里有三个要素：
1. 算术方法求解（包括一些简易代数的思考）；数学应用是一个很大的学术领域。这里只研究用小学数学方法可以求解的数学问题。解小学数学应用题主要是用算术方法，目前也使用一些简易的代数思想。
2. 用自然语言表达， 即用文字叙述的问题。这是小学数学应用题的主要特点。西方有时把小学应用题称作“word problem”， 即用自然语言表达的数学问题。
3. 具有复杂的情景。应用题必须表达一种具体“情景”，无论是体现生活实际的，或者合理地虚拟编制的，都必须反映一种生动的具体情境，不能是纯粹的数学问题。情境往往有一些特定的常识性规律，在解题时需要加以剖析和运用。作为一种具有较高思维价值的问题，“应用题”所呈现的情境， 应当具有挑战性，不同于课本引进新内容时所呈现的简单情景。 例如，5个学生每人有3本书，一共有几本书？ 答案只要写出 5 × 3 = 15 就是。 这也是应用性问题，却不是我们要研究的数学应用题。
二、数学应用题教学的本质是数学建模
数学建模是 20世纪下半叶，随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法。目前已经成为数学应用的基本模式。数学模型，一般地说，乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。就许多小学数学内容来说，本身就是一种数学模型：
自然数是表述有限集合“数数”过程的 数学模型。
分数是平均分派物品的数学模型；
元角分的计算模型是小数的运算。
500人的学校里一定有两个人一起过生日，其数学模型叫做抽屉原理。
鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程；
等等。
更进一步，数学应用题教学， 则是对一种比较复杂的特定情景给出一个
具体的模型。例如， 二元一次联立方程， 是鸡兔同笼问题的数学模型。
数学应用题教学的本质是“数学建模”。以下我们就建立数学模型的方法和步骤，与求解数学应用题的过程做一个比较。
数学建模步骤 | 解应用题步骤 | 以行程问题为例 |
背景考察 搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征 | 审题 对问题设置的情景仔细揣摩体察。 | 弄清问题的目标。知道速度， 位移，时间的关系；适度简化 ：如假定为匀速行驶在直线 型的道路上，等。 |
构作模型 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其他数学结构。 | 列式 将问题中用自然语言表述的情景，翻译成数学语言，借助数学符号、图象、逻辑等手段， 构成可以反映问题本质的算式。根据情景，寻找数量规律。例如找出一些不变量，借以构成数学等式。 | 根据问题内容，如相向而行， 还是相对而行之类概念，例如 同时启动相对而行时，二者相遇时所用的时间相同等。据此列出等式： ax+bc=d。 |
模型求解 采用各种数学方法，求得满足模型的解答。 | 求解 对算式进行变换和计算，求得结果。 | 用算术方法或者代数方法， 进行变换， 依照计算程序获得结果， 求得解答。 如 X = (d-bc)/a。 |
答案分析 检验模型是否正确， 解答是否符合实际。 | 验证 验证解答是否正确， 能否符合题意。 | 将x 代入原式进行验算。 |
模型改进 对模型解答进行数学上的分析， | 反思 考察解题过程中使用的 数学思想方法 | 总结本题的思考方法， 对行程问题的 关节点进行反思， 尤其是弄清在行驶变化过程中，哪些是变化的，那些是不变的。 |
每一道小学数学应用题的教育价值， 在于能将情景“数学化”；即将文字的表述，转换为数学符号或图像的表示；将蕴藏在情景内的数量关系列为算式；用数学演算求得算式的答案，最终通过检验肯定“解答”的适切性。这些数学活动， 为日后学习更复杂的 “数学建模”，做好必要的准备 。
因此，可以说，小学数学应用题教学， 乃是学习“数学建模”的基础。
三、 “问题解决”与应用题教学改革
1960年代的美国新数学运动，到1970年代归于失败。当时提出的口号叫做“回到基础”。 又过了10年，美国数学教育界觉得仅仅强调“打基础”是不够的，因而在1980年提出了“问题解决”的口号，意在提倡“探究”性的思考，发展学生数学思考的能力。2008年， 美国总统授命组成的 “数学咨询委员会”， 又提出“成功需要基础（Foundations for Success）”的口号。这是美国式的“折腾”。因此，“问题解决”，是一个时期数学教育的导向性口号，并非针对应用题改革而提出。
说起来很简单，所谓“问题解决”，专指解决“非常规问题”。目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。在学生的认知水平上，要解决非常规问题，没有现成数学问题求解模式可以模仿，需要独立思考，通过自己的探索获得解决问题的途径。这是具有一定创新意义的数学思维过程。
但是，问题解决并不神秘。实际上，数学是问题驱动的，问题是数学的心脏，解题教学是数学教学的基本组成部分，学生要解题练习，考试用考题呈现，这些本来都是常识。常规问题也是重要的。没有常规，哪里来非常规？不会解常规题，怎会解非常规题？ 为了打基础，不得不多次重复一些看起来简单的问题。所有的学问都有基本功。 例如学英文， 要背单词；弹钢琴，要先学练习曲；学舞蹈，要练功；要当兵，先得会立正、稍息、走步。 轻视常规问题，想一步登天，是不切实际的幻想。求解常规问题和非常规问题， 要同样重视。 以为解常规题的教学可以不必花力气的想法是不对的。
下面， 用数学问题解决的观念， 来分析我国的应用题教学。
我国在常规应用题的教学上， 成绩很好。 例如用分数求解一些现实生活中“平均分配物品”的问题，加减乘除四则运算的一步或两步应用题，掌握得很不错。但是， 在提出问题， 发展问题，灵活地处理应用性问题上面， 比起欧美诸国的教学，有一些弱点【2】。
在非常规的应用问题教学上，我国积累了一些按照问题情景分类的教学经验。例如行程问题、工程问题等等，有专门的训练， 基本面也是好的。但是， 总体上较窄、较难，较偏。
总之，“问题解决”作为一种数学教育理念，有助于应用题教学的改革。但是，用“问题解决”取代“应用题教学”，就会失于偏颇。 正如， 学习了分数， 有助于理解自然数。 但是不能用分数教学取代自然数教学，道理是 一样的。
在 “问题解决”口号的推动下，国外有许多好的数学应用题。例如，弗赖登塔尔就有一个经典的“巨人手印问题”：“昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印，今夜他还要来，试问：我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？
这个题目好懂、有趣自不必言， 尤其是体现比例的思想， 通过测量两只手大小的比值，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度，这是比、比例、相似等数学本质的体现。问题要求学生进行操作，测量， 更是一个绝好的数学活动。
这样的问题， 我们还设计得太少。 仅仅停留在行程问题等类别上， 我们的应用题范围就太窄了。新的课程标准实施以来，在这方面有许多改进，应该继续努力。下文还会涉及。
四、应用题要有类型， 但是不要“类型化”
小学数学应用题可以有三种分类。
1. 按数学模型分类； 随机模型， 统计模型；四则运算模型；分数、小数模型，一元一次方程模型；二元一次整数方程模型等等。
2. 按情景熟悉程度分类。 如日常生活情景模型， 模拟现实情景模型，科学技术模型等等
3. 按特定情境的数量关系分类。如行程问题， 工程问题， 流水问题，折扣问题等等，
第一、第二两种分类待后文涉及。这一段， 我们只讨论第三种分类。
长期以来，为了强调某种数量关系的理解，我们常常强化某种类型问题的解题方法。行程问题，工程问题等等，弄得非常复杂，一直是小学数学的一个重点和难点，也一直为大家所诟病。近年来，则索性一刀砍掉，全盘否定。
不过，进行这样的分类是正常现象。 在微积分课程里要讨论瞬时速度问题， 切线问题， 曲边梯形问题； 微分方程课程里有热传导方程，电磁波方程； 中学数学也要研究抛物问题、等周问题，投影问题，掷骰子问题等。 将一类情景中发生的问题给以特殊的名称。 未尝不可。 但是，作为一个研究领域来说，上述的问题， 都只是一个名词， 便于称呼而已， 并非一个数学领域。比如行程问题，尽管题目花样翻新，也可以出得很难，但不过就是 s = vt这样的数量关系的各种不同的变式而已。宏观地看，没有单独设立一个数学课题的必要。淡化这样的分类，是必然的趋势。但是也不能走向另一个极端：不讲类型。有的地方不准叫“应用题”，今天学“铅笔有几枝”，明天学“燕子飞走了”，不做一些基本的分类和概括， 实际上是作茧自缚， 矫枉过正的表现。
实行社会主义市场经济模式是中国的国策，让孩子们了解经济学的一些初级术语和规律，是小学数学课程的有机组成部分。诸如什么是利息、利润、速度、效率等概念，是小学数学的任务，责无旁贷。
无论如何， 以下的7种类型是必须进行正面提出，让学生认真学习的[1]。
行程问题路程 = 速度×时间
工程问题工作量 = 工作时间× 工作效率
价格问题总价格 = 单价 × 数量
利息问题利息= 本金 × 利率
利润问题利润 =成本 × 利润率
折扣问题金额 = 价格 × 折扣率
百分数问题 数量 =总量 × 百分比
我们的小学应用题， 必须讲解这些类型。 这些概念，是生活需要的常识， 又是语文、社会等其他学科不会详细涉及的。
一种异化的做法是，按照问题情景，把应用题类型固化， 专对一类情景归纳公式，而且凭强记、快做争取考试成绩，就把路走歪了。例如，当学习完“梨树有20棵，苹果树比梨树多8棵，苹果树有多少棵？”，老师强调：看到“多”就想到“加”，于是，当学生看到“梨树有20棵，比苹果树多8棵，苹果树有多少棵？”学生总是先想到“加法”，结果错了。当学习完“科技书有20本，故事书比科技书的2倍还多2本，故事书有多少本”，老师强调：看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。于是，当学生看到“科技书有20本，比故事书的2倍还多2本，故事书有多少本”时，学生总是先想到用“乘加”，结果又错了。以上是简单的错误，都来自固化数学的某种模型。讲死了，思维变得机械了。
要类型， 但是不要“类型化”。这就是我们的结论。
五、关于应用题教学与联系学生生活实际
顾名思义，数学应用题要有用，自然要联系实际情境。能把学生自己的生活体验融进数学课堂，是大家的共同追求。问题在于，学生的生活情境毕竟是有限的。应用题中能够直接和学生的生活相联系的只能是少数。应用题教学中，大量使用的是科学模型，例如，行程问题中速度、时间路程之间的关系，乃是物体运动的物理模型。另一种是模拟现实模型。比如鸡兔同笼问题，完全是一种假想的模拟情景。
儿童有丰富的想象力，模拟情景往往比真实情景更真切。一个不争的事实是， 现在的孩子爱看动画片，那里出现的都是模拟的假想的情景。“孙悟空”、“大灰狼”、“圣诞老人”、“白雪公主”等等都是虚拟的。数学应用题中，著名的鸡兔同笼问题就是虚拟情境，比有些矫揉造作的 “现实情境”要高明得多。
记得1930年代，任何小学数学教材里都有和尚馒头问题：“一共有100个和尚和100个馒头。 大和尚一人吃三个馒头， 小和尚三个人吃一个馒头，问各有大小和尚几人”。这是很有童趣的问题，现在却不见了。很是遗憾。
相声演员把小学数学应用题教学现状编成段子：有一个水池，打开进水管注满水池要3小时，打开出水管放出整池水要2小时，现在同时打开进水管和出水管，要多少时间才能把一池水放完？日常生活中那会同时打开出水管和进水管（除非忘记了），相声讽刺就是这种情形。但是作为一种数学模型，在现实生活中还是相当多的，如：飞机的能源消耗与补充、排队进场与出场、草场里草的生长与割去、人体的新陈代谢、社会人口的增减、湖泊的污染与治理，家庭的收入与支出等等，这些现象都是正、反两个方面同时进行着的，都类似于水池同时进水与出水的情景。这种数学模型反映了一种动态平衡的问题。
小学算术应用题，能够和学生生活情境相联系的多半涉及 “买卖关系”。我们应该充分利用。此外，也应努力开辟一些小学生喜闻乐见的现实情景，本文的最后部分将介绍一些国内外的一些优秀实例。
六、小学数学中的算术模型与代数模型
小学数学应用题的求解，可以用算术方法和代数方法分别建立问题的算术模型和代数模型。
从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段．算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等。算术模型是一串“数字”的运算流程。代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象：符号。代数模型是方程或函数，包含未知数符号的等式关系。
代数建模的核心思想是“文字参与运算”。一个习惯的说法是：“代数就是用文字代表数”。 其实不然。 小学里讲乘法的交换律，就写了AB =BA, 这里， 用A,B代表任意的自然数，可是和代数无关。代数的实质是用文字代表未知数，而且由文字代表的“未知数”和已知数可以进行运算，即进行“式”的运算。
学生从“数的运算”过渡到“式的运算”，好象人发明了汽车那样，运行速度大幅提高。 代数运算的通性通法，取得了极高的思维效率。但是， 人不能每时每刻都在坐车，走路仍然是必须的、基本的。这就是说，算术方法依然有其重要的存在价值。
1.算术建模与代数建模的区别
在小学数学教学中，用列方程的方法解应用题和用算术方法解应用题，都
以四则运算和常见的数量关系为基础，都需要分析题里的数量关系，根据四则运算的意义解答，这是它们的共同之处。但用代数的方法解决问题和用算术的方法是不同的建模过程。让我们看下面的例子：
例1用100元钱买8元一本的书和4元一本的书共17本，你知道两种书各有多少本吗？
（1）利用算术的方法：
解法一：
(8×17－100)÷(8－4)=36÷4=9，17-9=8．
解法二：
(100－4×17)÷(8-4)=32÷4=8，17-8=9．
解法三：若100元钱都买4元一本的书，可以买100÷4=25（本）．少买2本4元的书，就可以买一本8元的书，因此可以列出如表1所示的数目与价值关系表．
只有买4元的书9本，8元的书8本才合题意．
（2）利用代数的方法，可以设买8元一本的书x本，4元一本的书y本，列方程组
利用消元法，解得x=8，y=9．
这两种方法是有区别的：
（1）用算术的方法寻求问题的结果，是从具体问题的已知数出发，通过对已知数或计算产生的中间数进行一系列的计算而达到问题的解，并不将问题形式化．这里，“=”用来表示计算结果．利用算术的方法，思考的过程往往是从已知数出发，最后达到未知数。算术方法建立在数的运算之上。
（2）用方程的方法，则是从设立未知数出发，根据未知数所应满足的条件，把问题表示为含有未知量的等式关系（建立数学模型）。然后利用等式的性质对方程进行恒等变形，在变化的过程中始终保持方程两端对称的等量关系，利用程序化的方法求得x=8．从表示等量关系、保持等量关系，到求得方程的解，体现了方程的结构特点．用方程的方法解决问题，建立在“式”的运算之上。
打个比方， 如果未知数在对岸， 那么算术方法， 好象摸着石头过河找到未知数，代数方法好象用绳索将对岸的未知数捆好拉过河来，二者的思考方向刚好相反。
（3）从解决问题方法多样性的角度来看，算术的方法、列表的方法都不失为解决问题的途径．但是从思维发展的角度来说，代数的思考是在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，是通性通法，属于较高层次的思维．按照维果茨基（Vygotsky，1962）的说法，代数对算术就像书面语言对口头语言．因此，我们的教学应该引导学生从算术的思考逐步地过渡到代数的思考，逐步地从非形式化的水平上升到形式化的水平。
2 算术方法在应用题求解中的独特作用
在面对现实问题时， 我们首先使用算术方法思维。简单的问题用算术模型就解决了。例如我们到商场购物，自然用算术方法计算付款找零。这是一切数学问题求解的基础。对于比较复杂的应用性问题，代数方法开始显示优势，但是算术方法在训练学生独特思维，承担分析数量关系的基础方法上，其作用仍然不可替代。以大家熟悉的我国古代数学名题“鸡兔同笼”为例来说明。
“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94脚，问鸡兔各几何?”
这一问题的代数模型是解二元一次联立方程。小学生不可能用这样高年级才能掌握数学知识来解题。 即使成人已经掌握了求解联立方程的知识和技能，也喜欢用算术模型来求解。
国内外许多数学家与数学教育家对中国的古算题鸡兔同笼问题情有独钟。波利亚在其名著《数学的发现》中写道：“鸡兔同笼问题曾在好几个世纪里引起了人们的兴趣，今天它还会引起一些聪明小朋友的兴趣”他列举了鸡兔同笼问题的四种解法，并特别欣赏“金鸡独立”这一解法。金鸡独立解法的思路是，如果笼中的鸡全部独立单脚着地，做“金鸡独立”状，而这时笼中所有兔也学鸡立起前两脚而只有后两脚着地，那么这时，地上的脚比原先少了一半，只有47只，35个头。为什么有47只脚在地上呢?一只鸡对着一只脚着地，而这时一只兔却对着两只脚着地。每多一只脚，说明就有一只兔。原来有(47—35=)12只兔，鸡就有(35—12＝)23只了。
有种设想是， 完全抛弃算术方法解应用题，一开始就向小学生介绍方程解法。事实证明，这样学习的代数将成无源之水！正如双脚走路是基础，驾驶汽车不能取代走路。你总不能把车停在床边。你总要走到车库里去嘛！实际上，列方程时的数学思维， 主要还是用的算术方法。没有算术的第一步，就难有代数的第二步。如果使得算术与代数完全脱离，使得学生没有对比，看不出算术的缺点和代数的优点，体会不到代数方法的优越性，那么代数也是很难学好的。
七、 小学数学里的三种基本代数模型
小学里的数学应用题的本质， 在于建立一类特殊的数量关系。 体现这些数量关系的模型，是许多彼此类似的现实问题或者具体问题的数量概括。
小学里的数学知识有限， 没有乘方、开方， 指数、对数、 三角比等概念。因此，从代数和函数的观点来看，所涉及的数学模型都是“线性关系”，和“反比关系”。 即问题中的未知量或者自变量x都是一次的，或者是线性的正比例关系， 或者自变量x出现在分母上， 呈现反比例关系。
归纳起来，小学应用题的代数型的数学模型，主要有以下三种。
1．线性组合式。ax + by = c,其中5 个不同的量，有些已知，有些未
知， 通过各种不同的组合形成具体问题的数学模型。
2．一次函数式。s = vt 这是反映速度、时间、距离关系的行程问题， 单
位产量、时间数、总产量之间关系问题等的模型。当未知数于分母地位，y = a/x , 时引发的数量关系，是线性函数式的反用。
3．倍数比例式。数目的扩大缩小，本质上是乘除关系， 但是以正反比例的方式呈现，如工程问题等。
各种小学数学应用题所使用的数量关系， 无非是这些关系的特殊形式， 以及各种基本关系的组合和变式。
（一） 线性组合式的模型
形如ax +by =c 的模型，运用很广泛。我们分成几个层次来认识。
1．作出乘积ax的归一模型
看以下的三个例子：
（1）一辆客车2小时行驶180千米，照这样计算，5小时行驶多少千米？
（2）3瓶饮料27元，5瓶这样的饮料要多少元？
（3）旅游纪念品厂3小时生产60个产品，照这样计算，8小时可以生产多少个产品？
此例通过先后安排三个不同问题的解决，试图引导学生发现各个问题之间的异同，不同的数量关系，（分别从单价数量总价、速度时间路程和工作效率工作时间工作总量来描述）却有相同的问题结构，有同样的问题解决的策略，都要先求出单一量，再根据数量求出相应的总量，也就是初步构造一个“归一”的模型。
这三个问题的模型都是作乘积ax ， 问题在于a怎样确定。三个问题的答案分别是180/2； 27/3； 60/3。小学生不知道“单位”时间，单位产量， 单位工时的概念， 所以觉得困难。我们就要给予单独的 “归一”训练，掌握这一乘积的取得方法。应用题分散教学必须有些小集中。
复杂的归一方法， 也用于非常规数学问题， 属于“问题解决”的范围。但其模型，仍是线性组合。
问题1：小瓶饮料90克，倒进空瓶占3格。大瓶饮料300克，倒进空瓶（8格）装得下吗？ （每一格质量相等）学生思考后，出现了不同的解答方法：
生1：90÷3×8＝240（克），240<300；装不下。
生2：300÷（90÷3）＝10（格），10>8；装不下。
生3：300÷90＝3（倍）……30（克）；3×3＝9（格），9>8；装不下。
教师引导发现解决方法的共同点：通过不同的方法，得到了相同的结果，虽然方法不同，但都是先求出每格装多少？也就是都是应用了归一的模型方法。即便是：最后一种方法没有求出一格是多少，但实质上思考过程中学生把三格当作一份来思考了。某种意义上来说也是“归一”。
问题2：组织课外实践活动：怎样能知道打开一个水龙头1个小时会流出多少水？
教师引导：总不能在家里放1小时水然后进行测量吧，有学生迫不及待：开1秒钟就够了。生补充：那么快，来得及吗？
生：先放1分钟，然后测量出有多少克水，然后再求出1小时的水量；
生：15秒也可以，先求出每秒钟放多少克水，或者乘4先求出1分钟的水量，然后求出1小时的水量；
生：我们家附近有游泳池，他们本来就要放水的，并且一次可能有很多水笼头开着，还要放几小时呢，我去问一下，如果知道2小时放多少，那也能知道1小时的水量。
学生在解决问题的过程中，对于归一的理解就比较灵活了。根据实际情况1可能是1秒，是1分，是1时，也可能是15秒……不变的是归一模型。
2．两积之和的模型
小学数学里， 大量出现 ax + by 的模型。到商场购物，买两样东西， 单价为 x,y.数量分别是 a,b那么总付款数就是ax +by。
鸡兔同笼里的代数关系也是 （x,y分别是鸡数和兔数）
2 x + 4y = 总脚数
x+y= 总头数
在高等数学中， 向量的数量积也是这样的形式。
3．两商之差的模型
（1）甲车4小时行驶600千米，乙车5小时行驶500千米，甲车每小时比乙车多行驶多少千米？（600÷4－500÷5）
（2）玩具加工车间工作时间5小时，甲车间生产了300个玩具，乙车间生产了280个玩具，甲车间每小时比乙车间要多多少个玩具？（300÷5－280÷5）
（3）有一个皮鞋店，原来计划12天生产120双皮鞋，实际10天完成，实际每天比计划多多少双？（120÷10－120÷12）
（4）有一个煤矿，原来计划上半年66万吨，实际每个月比计划多2.2万吨，实际多少月完成？（66÷x－66÷6＝2.2）
（5）有一笔钱，可以买奶糖5千克，如果买单价贵2元的棒棒糖就要少买
1千克，这笔钱有多少元？
当看到这些应用问题的时候，要求学生能够去除一些非本质的属性，触及数量之间的基本结构：两商之差。无论是速度、单价、还是工作效率，上述三个问题在代数思维的训练基础上，其数学模型都是a÷b－c÷d＝f。
两商之差的模型， 从数学上看， 依然是线性组合的样式（系数是分数），只不过求单位时用除法，比较大小时用减法而已。
（二） 一次函数式的数学模型
小学数学应用题中最令人头疼的是行程问题。但是行程问题的数学模型无非是 s = vt这样的函数关系，以及它们的组合。以下是一个比较复杂的行程问题。
例甲乙两车同时分别从东西两站出发对开．在相距中点6千米处相遇，巳知乙车速度是甲车速度的5／6．求两站相距多少千米?
这道应用题既没有给出其中一车的具体速度．也没有给出两车的运行时间，题中给出的两个条件似乎没有什么关系。但是，用s =vt的模型表示甲乙两车，就可以看得比较清楚：
甲车s1 = v1t1;
乙车：s2 =v2 t2；
在相遇处， t1 =t2， 所以s2/s1= v2 /v1= 5/6。（*）
但是相距中点处相遇， 意味着甲车比乙车多走了6千米的2 倍（即12 千米）， 于是s1 -s2 = 12。
将（*）代入得 s1 ·[1- （5/6）]= 12， 求得， s1 = 72，s2 = 60。 两站距离为 132 千米。
这种代数方法的建模， 是一种普遍适用的通性通法。
现在再来看这种代数模型的算术解法的步骤。
1．根据乙车速度是甲车速度的5／6，那么两车从开始行驶到相遇时行驶的时间相同，所以它们行驶的速度比就是行驶的路程比(将乙车速度是甲车速度的5／6转化为5：6)；
2．这样可知．甲乙相遇时，甲车行驶了全程的6／11，而乙车行驶了全程的5／11．由此可知甲车比乙车多行驶了全程的(6／11—5／l1)题中相遇点距中点6千米，实际上就是甲车比乙车多行驶了(6x2)千米，如下图可清楚的表达出来
3．列式为（6×2）÷（ = 132千米。
对于算术解法，画线段图可以把问题的内容具体化、形象化，对我们理解题意，明确数量关系，理清解题思路，十分有益。
如果比较这两种方法，自然是代数方法比较自然，容易理解。因此， 代数方法逐渐渗入小学， 是不可阻挡的趋势。 以小学6年级学生的认知水平，少量的符号运算是不难理解的。 当然， 把图画出来，再用代数方法解， 将会更加有效。
（三） 倍数比例式模型
小学数学的乘法和除法， 其实就是倍数的问题， 乘大于1正整数是放大，除大于1的正整数是缩小。 乘一个正分数， 就是放大“分子”倍，缩小“分母”倍。比例式a/b = c/d 是普遍出现的形式。
例1一个工程，甲队工作 5天完成， 若由乙队工作，7天完成，若甲乙两队一起工作，几天完成？
这是典型的工程问题。算术解法是先用归一法， 得到甲乙两队每天分别完成 1/5和1/7。若一起合作。 每天完成（1/5+ 1/7），于是答案是
1 ÷ （1/5 + 1/7） = 12/35 天完成。
代数模型是: 设x是合作完成天数， 则有
（1/5）x + (1/7) x = 1,于是 x = 12/35.
两种解法的思路相同，难易相仿。代数模型还是线性组合式， 不过用了分数。
以下的例子则要使用比例。
例2:某班上午缺席人数是出席人数的1/7,下午因又有一人请假，故缺席人数是出席人数的1/6，此班有多少人？
这一问题的代数模型是: 设x、 y 分别是上午缺席人数和出席人数， 那么我们有：
x/y = 1/7，(x+1)/ (y-1) = 1/6，
用y =7x 代入得 7x – 1 = 6x +6，知道 x =7, 于是 x + y = 56。
我们再看算术解法。分析：因为上下午出席人数起变化，解题遇到困难，对两个关系作恒等变形：上午缺席人数是全班人数的1/（7＋1）=1/8,下午缺席人数是全班人数的1/（6＋1）=1/7,这样，就能很快发现其本质关系：1/7和1/8的差是由于请假一人造成的，故全班人数为1÷(1/7-1/8)=56（人）。
这里的算术解法的特殊性和技巧性都太强， 超出一般小学生的思维能力。
简单的分数模型或者是简单的比例模型，也可能演绎出一些有挑战性的问题。
例3俄罗斯的古代名题：一个雇工每年的工钱是12卢布加上1件长袍，再工作7个月后，他离开的时候雇主恰好付给他1件长袍和5件卢布，这件长袍的价格是多少？
（12＋x）×7/12＝5＋x，实质就是分数模型或者比例模型的变式。从某种角度看来，如果用数学模型的方法来解决这些问题，自然也就不难了。
此外， 还有一些特殊的数学模型。例：某小组有8个同学，放假时一一握手告别，每两人都握手一次，而且只握手一次，问共握手多少次手？符合等差数列的模型，因此可以用相应的方法求出结果：7＋6＋5＋……＋1＝28次。
八、 一些优秀的新型的小学数学应用题
这里， 我们介绍一些国内外一些优秀的数学应用题的设计。
例1Freudenthal经典情景：巨人的手（通过“量”掌握比例的数学本质）黑板上留下巨人的手印， 请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。
活动设计：
1。用自己的手和巨人的手相比。
2。定下“比值”
3。量自己的书、桌子、椅子尺寸
4。用比例放大
过去总是用“照片放大”、“地图比例尺”等静态的 观察理解“比例”。 这里的实例， 则用学生自己的活动， 获得比例的 真实感受。 不过，“外星人”依然是虚拟的存在。
例2（荷兰）甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？
本题训练学生的表示能力。首先要问，甲、乙、学校在一条直线上？如果在一条直线上， 答案有两个。 如果不在一条直线上， 答案无限多，但都位于一个圆上。
例3（日本）设计一花坛， 使它的面积为矩形场地的一半。要求美观。
这是数学和艺术相结合的开放题。 开放度极大。1993年， 国际数学教育心理学组织（PME）在日本举行时，日本的一堂公开课上的就是这内容。日本学生当堂有13种解答。此题可以用作考题。例如，给出不同的5种设计， 每种2分。
例4身份证、书号、超市商品号的最后一位是检验码（可以算出来）。
现在是 数码时代。 学生生活实际中包括“数码”分析。以下是身份证第18位检验码的计算方法。
Ai:表示第i位置上的身份证号码数字值
Wi:表示第i位置上的加权因子
十七位数字本体码加权求和公式
（1）S = Sum(Ai * Wi), i = 0, ... , 16，先对前17位数字的权求和
Wi: 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 42
（2）计算用11除所得余数Y： Y = mod(S,11)
（3）通过模得到对应的校验码
Y: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
校验码 | 1 | 0 | x | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 1 |
举例如下：
北京市朝阳区: 11010519491231002X
7+9+0+5+0+20+2+9+24+27+7+18+30+5+0+0+4=167.167除以11，
余2， 对应 X。
例5（美国）瓷砖数。
这是美国2000年《数学课程标准》中的一个题目。已经知道游泳池内部的长度l和宽度w （都是自然数）， 用边长为1的瓷砖围成边，需要都少块瓷砖？
例6算法设计。
有一队士兵要过河，但当时只有一条小船，上面有两个小孩。小船至多可以载一个士兵或者两个小孩．请问这队士兵依照何种程序才能渡过此河?可以用流程图加以表示：
那么如何在计算机上实施这一算法呢？那就需要设计程序语言，上面的士兵过河问题，就需要机械地循环操作。新课程信息课程标准要求小学高年级要学生了解赋值、条件、循环等三种语句，并尽可能在计算机上进行实际操作，亲身体验由人指挥机器的效果。在信息时代，这是一种人人都需要具备的科学素养。
例7钟面问题（浙江）。
钟面数字问题：钟面上有12个数，请在某些数的前面添上加号或减号，使钟面上所有数之和等于零。
由于1＋2＋3＋…＋12＝78，因此本题相当于“将1，2，3，…，12这十二个数分成两组，使这两组数的和分别等于39，然后在任意一组的每个数的前面添加负号”。因此解题的关键在于从1，2，3，…，12这十二个数中取出若干个，使其和为39。
为防止遗漏和重复，取数时我们遵循“由大到小”的原则。
注意到这十二个数中最大的三个数。
12＋11＋10＝33<39
所以至少要取四个数，于是有：
?四数组
（12，11，10，6），（12，11，9，7），（12，10，9，8）。
注意到11＋10＋9＋8＝38<39，所以四数组中必须包含数12。每一个数组可以都添负号，也可以都不添负号（数组以外的数都添负[]号），因此一个数组代表两个解答。共得到六个解答。
?五数组
在四数组基础上考虑，使其前三个数不变，前两个数不变，等等，并保持由大到小的顺序。
（12，11，10，5，1），（12，11，10，4，2），（12，11，9，6，1），
（12，11，9，5，2），（12，11，9，4，3），（12，10，9，7，1），
（12，10，9，6，2），（12，11，9，5，3），（12，11，8，7，1），
（12，11，8，6，2），（12，11，8，5，3），（12，11，7，6，3），
（12，11，7，5，4），（12，10，8，7，2），（12，10，8，6，3），
（12，10，8，5，4），（12，10，7，6，4），（12，9，8，7，3），
（12，9，8，6，4）， （12，9，7，6，5）， （11，10，9，8，1），
（11，10，9，7，2），（11，10，9，6，3），（11，10，9，5，4），
（11，10，8，7，3），（11，10，8，6，4），（11，10，7，6，5），
（11，9，8，7，4）， （11，9，8，6，5）， （10，9，8，7，5）。
共得到60个解答。
?六数组
（12，11，10，3，2，1），（12，11，9，4，2，1），（12，11，8，5，2，1），
（12，11，8，4，3，1），（12，11，7，6，2，1），（12，11，7，5，3，1），
（12，11，7，4，3，2），（12，11，6，5，4，1），（12，11，6，5，3，2），
（12，10，9，5，2，1），（12，10，9，4，3，1），（12，10，8，6，2，1），
（12，10，8，5，3，1），（12，10，8，4，3，2），（12，10，7，6，3，1），
（12，10，7，5，4，1），（12，10，7，5，3，2），（12，10，6，5，4，2），
（12，9，8，7，2，1），（12，9，8，6，3，1），（12，9，8，5，4，1），
（12，9，8，5，3，2），（12，9，7，6，4，1），（12，9，7，6，3，2），
（12，9，7，5，4，2），（12，9，6，5，4，3），（12，8，7，6，5，1），
（12，8，7，6，4，2），（12，8，7，5，4，3）。
共得29个数组，这些数组每一个都包含数12。因为每个包含12的六数组都对应一个不包含12的六数组，反之亦然，如上述第四个六数组（12，11，8，4，3，1）对应的六数组是（10，9，7，6，5，2），因此，考虑了包含12的六数组，就不必再重复地考虑不包含12的六数组。于是我们得到58个解答。
又由于七数组、八数组分别与五数组、四数组重复，故不必再考虑。
综上所述，我们共得到6＋60＋58＝124个解答。（以上解法由戴再平教授提供）
例8简单邮路问题（原上海金汇学校）。
9个村庄位于正方形上，邮局在左上角。邮递员从邮局出发， 跑遍9点后回到邮局，有几种走法？
答案。共有8种不同开口的图形。其中四个由图形A旋转而得到。另外四个由A的关于对角线的反射图形B及其旋转得到（如图）。
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