数与代数内容分析与建议 财务分析报告建议

　　数与代数部分是小学数学课程的重要内容。在小学数学学习中占比例是最大的，更重要的是这部分学习内容是整个数学学习和学习其他的学科的基础，这部分内容主要包括数的认识、概念、数的运算、数量的估计等。数的概念是学生认识和理解数的开始，数的运算伴随着数的形成与发展而不断丰富，从自然数逐步扩充到有理数，从自然数的四则运算扩展到了有理数的运算。总之，小学是以数的运算为主，但在第二学段中也有正反比例的初步学习。因此，对课程标准中数与代数内容的分析,可使教师了解小学阶段数与代数内容的本质与发展，从整体上把握相关概念和数的发展脉络，促使数与代数内容的教学设计和教学目标的实现。

专题一 数与代数内容结构分析

　　《课程标准》较《课程标准实验稿》在“数与代数”部分，在内容结构上没有大的变化，小学第一学段是“数的认识、数的运算、常见的量、探索规律。”第二学段是“数的认识、数的运算、式与方程、正比例和反比例、探索规律。”按照课程标准的设计，数与代数在小学阶段的主要内容有数的认识，数的运算，常见的量，式与方程和正比例反比例及探索规律。其中数的概念从自然数扩充到有理数，会使学生不断增加对数的理解和运用。数的运算也伴随着数的形成与发展不断丰富，从最基本的自然数的四则运算，扩展到有理数的运算及正比例和反比例。
　　《课程标准》较《课程标准实验稿》在具体内容上略有修改，例如：第一学段在数的认识中新增“知道用算盘可以表示多位数和能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小”，在数的运算中新增“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用。”第二学段内容虽然总的条目数没有变化，但具体的内容还是有一些重要的调整。主要包括：小数、分数、百分数，重点强调理解它们的意义及会进行小数、分数和百分数的转化。在转化的过程中，学生必然要了解它们之间的关系，所以不再要求探索小数、分数和百分数之间的关系。把养成估算的习惯，会口算百以内一位数乘、除两位数移至第一学段。增加了“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价＝单价×数量、路程＝速度×时间，并能解决简单的实际问题。”《课程标准》中增加这一要求，将为小学数学课程与教学中的问题解决提供了一个重要基础。小学阶段数与代数内容的具体结构如下。
　　 1. 数的形成---从量到数的抽象（自然数）
　　 自然数形成包括两个方面，一是与生活密切相关的数字(0～9)的形成；二是计数单位（十百、千等）的建立。
　　（1）教字的形成。自然数具有基数和序数的性质，基数是表示数量的多少，从一些动物具备多少的概念，可以判定人具备这种先天的“多与少”的概念，只是这种先天的概念比较薄弱，这种“多与少”的概念是在长期的生活与活动中逐渐培育并发展的。如在人类生活的过程中，人们会根据事物数量的变化，逐一地创造出数字，从1开始，每次增加1个，将各个数字进行有序的排列，形成从小到大的排列，而且，相邻两个数之间可以通过添“1”的方法进行转换，便形成不同的用符号0，1，2，3，4.，5，6，7，8，9等数字表示的数。
　　（2）计数单位的产生。计数单位的产生应该有两个阶段。首先是自然形成阶段，“很多事情要从原本思考，想法要自然，要符合逻辑。”计数单位的产生不是人类的主观臆造，而是与人类活动密切相关。当人们通过添加“1”可以方便地进行事物数量转换的时候，就产生了自然数的基本单位“1”。随着人类活动能力的不断增强，产生表示更多数量的需求，计数的方式就由“个的计数”进入到“群与个相结合的计数”。人们自然就会对事物的“群体数量”进行约定。在数的发展过程中，人们针对不同的生活事件和自然景象，这种群体数量的约定也逐渐多种多样的，例如：有罗马的“5(V)”，有时间“60（分、时）”，有“24（天）”，有“12（月）”，还有“16（两）”……形成了多种多样的记数方法。而在诸多的记数方法中，将10作为一个表示数的单位“十”，成为被人们普遍采用的方法。“十进制”记数法是在“十”为单位的基础上，再形成“百”“千”“万”等单位，可以表示任意大的数。
　　 2.数的表示：数位与记数法
　　(l)多位数的表示。在计数单位“十”的基础上，形成更大的计数单位。九个“十”添加1个“十”就是“百”，九个“百”添加1个“百”就是“千”……十个“千”形成了一个新的计数单位“万”。在我国记数方法中，把“万”又当作一个新的“单位一”，就可以获得一组新的计数单位“个（万）、十（万）、百（万）、千（万）”。同理，当“千万”满十个的时候，再次作压缩处理，把十个“千万”形成的新的计数单位“亿”当作“一（个）”，又可获得一组新的计数单位“个（亿）、十（亿）、百（亿）、千（亿）”，……
　　(2)记数法的含义及刻画方式。记数法主要是指提取与刻画事物数量信息的方法。一般情况下，一种记数法应该包含提取数量信息的法则（俗称：二进制、十进制等），以及分别用语言与符号刻画数量信息的法则（俗称：读法与写法）。例如：“十进制记数法”提取数量信息的法则是“满十进一，四位一级”；用语言刻画数量信息的法则是“从高位读起，四位一级，每级按照个级的方法，在级尾给出级名，级首有零一定唱、级中有零一个算，级尾有零全不管”（不同的母语读数方法是不一样，英语采用三位一级）；用符号刻画数量信息的法则是“哪个数位上有几个计数单位就写‘几’，一个计数单位也没有就写‘0’。”记数法的刻画方式。在我国自然数的符号刻画方式有两种：一是位值原则记数法（罗马数字是加减法则），即利用数位表进行计数，一个数字不仅有本身的值还有位置的值，平时见到的自然数都默认其对应于隐性的数位表，如：98765432；二是科学记数法，将“位置值与自身值”以捆绑的形式来刻画数量信息，即写成不同的计数单位的数的和的形式，如：98765432=9×107+8×106+7×105+6×104+5×103+4×102+3×101+2×100等。
　　 3．数的扩充----分数和小数
　　（1）分数的扩充。分数的扩充一般是由两种需要而产生的：一是分东西的过程中，需要对一个物体进行切割与分配时，整体中的“部分”无法用自然数来表示，就需要有刻画“部分”的方式方法；二是计算过程中，2÷3＝？无法用自然数表示计算的得数，就需要有刻画这类除法运算结构的方式。如若将一张饼平均分成两部分，你获得了其中一部分，用数学语言刻画就是“部分与整体的关系”，即把一个单位（整体）平均分成两份，其中的一份（部分），就是1／2。
　　（2）小数的扩充。小数产生的两个前提：一是十进制记数法的使用；二是分数概念的完善。小数的产生有两个动因：一是十进制记数法扩展完善的需要；二是分数书写形式的优化改进。小数的出现标志着十进制记数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。我们现在的小数定义就是根据这种形式变换过程来定义的，将十进分数改写成不带分母形式的数就叫做小数。其中小数与百分数，在形式上不同于分数，但是，它们都是从分数中分离出来的。分数中分离出十进分数，将其改写成不带分母形式的数（按计数原则进行计数）就是小数；分数中分离出分母是100(10n，n≥l)的分数，将其改写成带有百分号(%)形式的数就是百分数（十分数、百分数、千分数、万分数……）。其中，在小数部分新增加能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小，可让学生在小数初步认识中，就对小数的比较提出具体要求，可使学生能较准确把握有关小数的问题，也为后续的学习做准备，但这一学段只要求同分母的分数比较。
　　 4.数的扩充---有理数
　　负数的产生。“负数”是一个与“正数”的意义相反的数学概念，它的形成源于对生活中完全相反的事物数量的刻画。如进与出、上与下、进与退等。我国数学家刘徽在两千多年前就给出负数的定义及刻画方法，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之”“正算赤，负算黑，否则以斜正为异。”我国古代数学专著《九章算术》中就提到了正负数加减法运算法则：“同名相除（两个符号一致的数相减），异名相益（两个符号不一致的数相加），正无人负之，负无入正之；其异名相除（两个不同符号的数相减），同名相益（两个相同符号的数相加），正无人正之，负无人负之。”
　　什么是有理数？有理数就是一切形如m∕n（m，n∈Z，n≠0）的分数。一切分数都可以化为有限小数或无限循环小数，因此，我们可以基于小数来定义有理数：“有理数是有限小数或者无限循环小数（无理数是无限非循环小数）。”
　　有理数的扩充过程，一般经历了自然数（零与正整数）集合(N)中添加负数形成整数集(Z)，在整数集体中添加分数形成有理数集(Q)。
　　 5．数的运算---四则运算的含义与运算律
　　数（自然数）是刻画一个集合中事物数量信息的符号，数的运算（整数四则运算）则是刻画多个集合中事物数量信息之间关系的符号（组合）。
　　（1）四则运算的形式及含义。从数学发展的逻辑体系来看，加法运算是四则运算的基础，减法是加法的逆运算，乘法是一种特殊的加法，除法是乘法的逆运算。首先要掌握加法的定义：对于a，b∈N，规定运算a+b表示在a的后面增加b个的序数，如果这个序数为c，那么，称c为a与b的和。求和的运算叫做加法，记作：a+b＝c。显然，加法运算满足封闭性、交换律、结合律。其次，关于减法的定义，因为减法是加法的逆运算，所以减法是通过加法来定义的。由于减法将出现负整数，因此，运算的集合需要从自然数集合(N)扩展到整数集合(Z)，整数集合包合正整数、0、负整数。对于a，x，b∈Z，如果a+x＝b，则称x为b减a的差，求差的运算叫做减法，记作：b－a＝x。显然，整数集对于减法运算是封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得a+0=a，a+（-a）=0。对于乘法的定义，由于乘法在本质上是一类特殊的加法，乘法是数自相加的缩写。一般地，对于a，b∈N，规定乘法运算a·b表示a个b相加。显然，乘法运算满足封闭性、交换律、结合律、分配律。对于除法的定义：由于除法是乘法的逆运算，所以除法是通过乘法来定义的。又由于除法将出现分数，因此运算的集合需要从整数集合(Z)扩展到有理数集合(Q)。这样除法的定义为对于a，x，b∈Q，如果a·x＝b．则称x为a与b的商，求商的运算叫做除法，记作：a∕b＝x或a÷b＝x。显然，有理数集对于除法运算是封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得a×1＝a，a÷a＝1。
　　(2)运算定律。加减乘除运算定律是指在运算过程中被事实所证明的四则运算变化发展的基本规律。加法运算定律有加法交换律、加法结合律，乘法运算定律有乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。值得注意的是，在数的运算中增加了“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”这一内容，这样可使估算的要求更加具体、明确。有助于清楚地认识和理解估算的价值与意义。因为估算的内容是本次数学课程改革重点强调的内容之一。而在实际教学中，教师对估算价值的理解，以及对估算内容的要求和应用仍然存在一些困惑。这次修改强调了“选择适当的单位进行简单估算”，明确估算的重点一是要有具体的情境，二是在一个确定的情境中，注意要根据实际选择单位进行估算。
　　 6.用字母表示数（式与方程）
　　用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，为以后数学的学习奠定基础。用字母表示数最先体现在第二学段的式与方程部分，因为方程是刻画数量关系的重要数学模型，研究方程是为了解决实际问题的需要而逐步形成和完善的数学知识和方法，有着极其广泛的应用，是代数的核心内容之一。在第二学段，学生将学习方程的初步知识，如用方程表示简单情境中的等量关系（3x+2=5,2x－x=3），了解方程的作用，等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。在这一过程中，学生将掌握等量关系、方程、等式与方程的解等与方程有关的常识及解简单方程的方法。对于方程作为刻画现实情境中数量关系，沟通已知数和未知数的一种数学模型提供了一些素材，留下了初步的印象；进而通过解方程求得未知数的值，对实际问题作出合理解答，初步领会方程的意义。因此，《课程标准》增加了“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价＝单价×数量、路程＝速度×时间，并能解决简单的实际问题。”学生对这些常见数量关系的了解，特别是运用这些数量关系解决问题，是小学阶段问题解决的核心。特别是“总价＝单价×数量、路程＝速度×时间”是小学阶段最常用的数量关系，多数实际问题都可以归结为这两类数量关系。《课程标准》中增加这一要求，为小学数学课程与教学中的问题解决提供了一个重要基础。
　　以前，在小学阶段教学简易方程，方程变形的主要依据是四则运算各部分间的关系，这实际上是用算术的思路求未知数。这是利用了学生已有的知识，因而易于理解，但是却不易与中学的教学衔接，等到了中学还需要重新依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程。现在，根据《课程标准》的要求，在小学起就学习等式的基本性质，了解常见的数量关系，并以此为基础导出解方程的方法，不仅有利于加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展。
　　 7. 正比例与反比例
　　在第二学段，将引入正比例与反比例，让学生初步认识对成正比例的量和成反比例的量，以及正比例关系和反比例关系的实质。《课程标准》也规定了相关的学习内容与要求：如在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题；能通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量；会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上面图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值；能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。对成正比例的量和成反比例的量做了这样的表述：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x，y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：y=kx（k一定）。对成反比例的量做了这样的表述：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x，y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例关系可以用下面的式子表示：x·y＝k（k一定）。这两个定义都渗透了变量的含义，为在初中学段学习正比例函数和反比例函数提供了必要的保证。

专题二 整数内容分析与教学建议

　　整数的认识分散安排在两个学段，主要内容在第一学段完成，第二学段重点梳理十进制记数法。《课程标准》中与整数的认识有关的内容在第一学段要求如下。
　　 ·在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。
　　 ·能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数（参见《课程标准》例1）。
　　·理解符号<，＝，>的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小（参见《课程标准》例2]。
　　 ·在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计（参见《标准》例3）。
　　 第二学段要求如下。
　　 ·在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制记数法，会用万、亿为单位表示大数。
　　 ·结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计（参见《标准》例23）。
　　“万以内数的认识”。它是整数认识的主要内容，学生认识数从“一”到“万”是一个完整的数级，包含了整数认识的所有要素，如数字的表示，数位，各个数位上数字所表示的值。第一学段万以内数的认识在实际教学中分几个阶段完成，这里是对第一学段结束时对学生的要求。在实际教学中，教师一般将万以内数的认识分为几个阶段来安排，较为普遍的安排方式是，“20以内数的认识”→“百以内数的认识”→“万以内数的认识”，也可以在百以内数的认识后，安排一次千的认识。在这几个阶段中，“20以内数的认识”是学生的认数、读数、写数的重要阶段，涉及几乎所有的整数认识中的要素，如数的抽象，数字的表示与书写，数位与相应的数值等。
　　“能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置”。这部分内容教学重点在于使学生从数量抽象到数。如从具体的2匹马、2棵树、2头牛、2个人，抽象为2这个数。用一个数字（特殊的符号）来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。反过来，这个2可以表示任何具有2这样数量特征的事物。这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就要强调，直到认识较大的数。学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。而自然数的基本特征是后一个数比前一个大1，从具体的数量抽象出这数后，学生可能通过自然数的这一特征认识更大的数。2后面加1就是3，再加1就是4。在这个过程中，学生很自然地理解自然数的大小关系。

　　“理解各数位上的数字表示的意义”。为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。数位的含义是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。让学生清楚地了解，同样一个数字“3”，在个位上表示3个一；在十位上表示30，即3个十；在百位上表示300，即3个百。第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而理解十进制记数法。我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。
　　“知道用算盘可以表示多位数”。这是《课程标准》新增加内容，增加这一要求主要考虑中国文化的因素，以及许多专家学者和一线教师对珠算在小学数学教学作用问题提出的建议。由于算盘代表了中国传统文化，在相当长的一段时间内作为常用的运算工具，特别是随着现代科学技术的发展，计算机和计算器的广泛应用，算盘作为运算工具的功能虽然逐渐消失，但在算盘上表示数，具有直观形象、体现数位特征的特点。因此，在学习整数时，让学生“知道用算盘可以表示多位数”，有利于学生对多位数的认识，也使学生进一步了解中国传统文化。
　　“理解符号<，＝，>的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小”。数与数之间最重要的是大小关系，数的大小关系包括大于、小于和等于。让学生了解数和数之间的关系，就是让学生可以用自然语言描述，也可以用符号语言描述了，而用符号语言描述具有一定的抽象性，是培养学生的符号意识的开始。用符号“>”或“<”表述的是数量间的大小关系，学生在完成这个问题过程中，需要理解符号的含义，并能合理使用，这个过程可以帮助学生建立数感和符号意识。例如：将数50，98，38，10，51排序，用“>”或“<”表示。学生将这些数排序，可能会有不同的排序方法。如先找到最小（大）的，然后在剩余的数中再找到最小（大）的，依次将5个数按从小（大）到大（小）的顺序进行排序；或者先固定一个数（如50），拿第二个数(98)与之比较，然后取第三个数与前两个数比较，根据它们之间的大小关系决定位置，这样继续下去，最后将5个数排序。因此，无论学生的出发点如何，只要思路清晰、排序正确即可。需要注意的是用语言描述几个数之间的大小关系时，结论是相对的。如可以说51比50大一些，98比10大得多；而50比38是大一些，还是大得多，可能会有不同看法，但不应当出现逻辑上的混乱，说出“50比10大一些，50比38大得多”的结果。
　　“感受大数意义和对大数进行估计”，在第一、第二学段都提出了要求。第一学段是要求在生活情境中感受大数的意义，第二学段是要求在现实情境中感受大数的意义，本质是相同的，都是希望通过具体的情境让学生对大数加以感受，增加学生的数感。感受大数与情境的具体内容有关，如1200张纸大约有多厚？你的1 200步大约有多长？1200名学生站成做广播体操的队形需要多大的场地？学生可以通过实际操作和观察，有时还要加入想象的成分，对大数有切身的感受。对1200名学生站成做广播体操的队形需要多大场地，有些学校可能没有这么多学生，学生就需要先了解自己的学校有多少学生，占多大地方，再想象1200名学生站成做广播体操的队形会占多大地方。而在对大数进行估计的时候，选择合适的单位很重要。教室到学校体育馆有多远，就应当选用米作单位。而从家到学校有多远，就要选择千米作单位。太阳到地球的距离就要用光年作单位。

专题三 数的认识内容分析与教学建议

　　小学阶段数的认识内容主要包括整数、小数、分数、百分数和负数的认识，以及与数的理解和数的特征有关的数整除性方面的内容。对这部分内容的理解和把握重点在于数的概念形成的过程和数感的建立及两个学段相关内容的递进与衔接。有关数的认识，《课程标准》在第一学段设计了7条内容，在第二学段设计了9条内容。主要可以分为以下几个方面的内容：整数的认识；分数、小数和百分数的认识；负数的认识；数的整除性相关的内容；数的简单应用。
　　 1.整数的认识
　　整数的认识分散安排在两个学段，主要内容在第一学段完成，第二学段重点梳理十进制记数法。《课程标准》中与整数的认识有关的内容在第一学段要求如下。
　　 ·在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。
　　 ·能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数（参见《课程标准》例1）。
　　·理解符号<，＝，>的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小（参见《课程标准》例2]。
　　 ·在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计（参见<标准》例3）。
　　 第二学段要求如下。
　　 ·在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制记数法，会用万、亿为单位表示大数。
　　 ·结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计（参见《标准》例23）。
　　“万以内数的认识”。它是整数认识的主要内容，学生认识数从“一”到“万”是一个完整的数级，包含了整数认识的所有要素，如数字的表示，数位，各个数位上数字所表示的值。第一学段万以内数的认识在实际教学中分几个阶段完成，这里是对第一学段结束时对学生的要求。在实际教学中，教师一般将万以内数的认识分为几个阶段来安排，较为普遍的安排方式是，“20以内数的认识”→“百以内数的认识”→“万以内数的认识”，也可以在百以内数的认识后，安排一次千的认识。在这几个阶段中，“20以内数的认识”是学生的认数、读数、写数的重要阶段，涉及几乎所有的整数认识中的要素，如数的抽象，数字的表示与书写，数位与相应的数值等。
　　“能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置”。这部分内容教学重点在于使学生从数量抽象到数。如从具体的2匹马、2棵树、2头牛、2个人，抽象为2这个数。用一个数字（特殊的符号）来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。反过来，这个2可以表示任何具有2这样数量特征的事物。这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就要强调，直到认识较大的数。学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。而自然数的基本特征是后一个数比前一个大1，从具体的数量抽象出这数后，学生可能通过自然数的这一特征认识更大的数。2后面加1就是3，再加1就是4。在这个过程中，学生很自然地理解自然数的大小关系。
　　“理解各数位上的数字表示的意义”。为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。数位的含义是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。让学生清楚地了解，同样一个数字“3”，在个位上表示3个一；在十位上表示30，即3个十；在百位上表示300，即3个百。第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而理解十进制记数法。我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。
　　“知道用算盘可以表示多位数”。这是《课程标准》新增加内容，增加这一要求主要考虑中国文化的因素，以及许多专家学者和一线教师对珠算在小学数学教学作用问题提出的建议。由于算盘代表了中国传统文化，在相当长的一段时间内作为常用的运算工具，特别是随着现代科学技术的发展，计算机和计算器的广泛应用，算盘作为运算工具的功能虽然逐渐消失，但在算盘上表示数，具有直观形象、体现数位特征的特点。因此，在学习整数时，让学生“知道用算盘可以表示多位数”，有利于学生对多位数的认识，也使学生进一步了解中国传统文化。
　　“理解符号<，＝，>的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小”。数与数之间最重要的是大小关系，数的大小关系包括大于、小于和等于。让学生了解数和数之间的关系，就是让学生可以用自然语言描述，也可以用符号语言描述了，而用符号语言描述具有一定的抽象性，是培养学生的符号意识的开始。用符号“>”或“<”表述的是数量间的大小关系，学生在完成这个问题过程中，需要理解符号的含义，并能合理使用，这个过程可以帮助学生建立数感和符号意识。例如：将数50，98，38，10，51排序，用“>”或“<”表示。学生将这些数排序，可能会有不同的排序方法。如先找到最小（大）的，然后在剩余的数中再找到最小（大）的，依次将5个数按从小（大）到大（小）的顺序进行排序；或者先固定一个数（如50），拿第二个数(98)与之比较，然后取第三个数与前两个数比较，根据它们之间的大小关系决定位置，这样继续下去，最后将5个数排序。因此，无论学生的出发点如何，只要思路清晰、排序正确即可。需要注意的是用语言描述几个数之间的大小关系时，结论是相对的。如可以说51比50大一些，98比10大得多；而50比38是大一些，还是大得多，可能会有不同看法，但不应当出现逻辑上的混乱，说出“50比10大一些，50比38大得多”的结果。
　　“感受大数意义和对大数进行估计”，在第一、第二学段都提出了要求。第一学段是要求在生活情境中感受大数的意义，第二学段是要求在现实情境中感受大数的意义，本质是相同的，都是希望通过具体的情境让学生对大数加以感受，增加学生的数感。感受大数与情境的具体内容有关，如1200张纸大约有多厚？你的1 200步大约有多长？1200名学生站成做广播体操的队形需要多大的场地？学生可以通过实际操作和观察，有时还要加入想象的成分，对大数有切身的感受。对1200名学生站成做广播体操的队形需要多大场地，有些学校可能没有这么多学生，学生就需要先了解自己的学校有多少学生，占多大地方，再想象1200名学生站成做广播体操的队形会占多大地方。而在对大数进行估计的时候，选择合适的单位很重要。教室到学校体育馆有多远，就应当选用米作单位。而从家到学校有多远，就要选择千米作单位。太阳到地球的距离就要用光年作单位。
　　 2.分数、小数和百分数的认识
　　分数、小数的认识分散安排在两个学段，第一学段是分数和小数的初步认识，第了二学段是认识分数和小数概念。百分数的认识安排在第二学段。《课程标准》中与分数、小数和百分数的认识有关的内容要求如下。
　　 ·能结合具体情境初步认识分数和小数，能读、写分数和小数。（第一学段）
　　 ·能结合具体情境比较两个一位小数大小，能比较两个同分母分数大小。（第一学段）
　　·结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义(参见《标准》例25)；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）。（第二学段）
　　 ·能比较小数的大小和分数的大小。（第二学段）
　　“初步认识分数和小数，能读、写分数和小数”。分数、小数是数的概念在小学的一次重要扩充，从整数扩充到分数是人们认识现实世界数量关系的需要，也是数学用来表征现实事物、解释现实世界复杂性的功能的扩展。与学习整数相比，学生对于分数、小数的学习要困难得多。分数、小数无论在意义、书写形式、计数单位、计算法则等方面，还是在学生的生活经验等方面，都与整数有较大差异。
　　“理解小数和分数的意义，理解百分数的意义”。分数有两个含义，一是表示部分与整体的关系，是一个比率，1/3表示的是把一个单位平均分成3份，取其中的一份。这一份的大小取决于被分的单位的大小。一个苹果的1/3和一个篮球的1/3显然是不一样的。这时的分数1/3具有无量纲性，它只是表示一个比率。分数的另一个含义是表示一个具体的量，如1/3米，1/3千克等。分数在大多数情况下是用来表示一个比率。因此，分数的第一种表示在实际教学应当成为重点。小数表示的是具体的数量，和整数一样是数量的抽象。分数、小数的学习重点在于，结合学生的生活经验，初步理解分数、意义，能认识小数，能够认、读、写小数和简单的分数了。在分数的意义中，分数单位很重要。3／5的分数单位是1/5，是3个1/5。3/5与5/8之所以不能直接相加，是因为分数单位不同，把他们转换成相同单位的分数就可以直接相加了，24/40和25/40就是24个1/40和25个1/40相加，结果是49个1/40即49/40。小数的表征形式与整数相似，都是十进制。如果以个位为基础，向右扩展就是十位、百位、千位；如果向左扩展就是十分之一位（十分位），百分之一位（百分位）等。从这个意义上说，对小数的理解比对分数的理解要容易一些。百分数是特殊的分数，其数量上的意义与分数完全相同。由于百分数在实际应用中的特殊性，所以将百分数作为一个专门的内容学习，学习百分数的重点在于应用，即用百分数表示现实生活中的实际问题。
　　小数和分数的学习分为两个学段，第一学段是小数和分数的初步认识，第二学段是较为准确地认识小数和分数的意义。两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也应有区别。第一学段的初步认识在于从实际情境中具体地了解小数和分数，重在现实情境的选择和运用。如小数的认识一般从物品的标价引入。以元为单位，3.5元就表示3元5角。分数的初步认识是从分物体出发，把一个饼，一个苹果平均分成5份，一份就是它的1／5。第一学段的初步认识可以先认识分数，再认识小数。知道1/10，再理解0.1就更容易一些。而在第二学段也可以先认识小数的意义，再认识分数的意义。
　　在学习了小数、分数和百分数之后，要让学生了解它们之间的关系。可以通过具体的问题帮助学生了解小数、分数和百分数的含义以及它们的联系。
　　 例1（《课程标准》例25）　说明1∕4，0.25和25%的含义。
　　在这个例子中，是让学生了解分数、小数和百分数都是有理数的常用表示方法，但含义有所不同的。真分数通常表示部分与整体的关系，如全班同学人数的1∕4；小数通常表示具体的数量，如一支铅笔0.25元；百分数是同分母（统一标准）的比值，便于比较，如去年比前年增长21%，今年比去年增长25%。要让学生理解它们的含义，在生活中合理使用。
　　 3.负数的认识
　　负数的引入是数的概念的进一步扩充，根据小学生的思维发展水平，《课程标准》只是在第二学段对负数提出简单的要求，“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。”当然，对于小学生来讲，理解负数的意义是有一定难度的。教师要把握《课程标准》对负数提出的要求，一是限定在了解的层次，并且要在具体的生活情境中使学生了解。如可以利用气温的变化来体会负数，“零上5摄氏度”用+5℃表示，“零下5摄氏度”用-5℃表示。也可以把收入的钱用正数表示，支出的钱用负数表示。“收入200元”就是+200元，或200元，“支出100元”就是-100元。
　　 4.数的整除性相关的内容
　　 在第二学段安排了数的整除性及其相关的内容，具体要求有3条。
　　 ·知道2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在1～100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。
　　 ·了解公因数和最大公因数；在1～100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。
　　 ·了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数。
　　总体上看，这部分内容与以前相比有许多变化，减少了内容，降低了要求。在实际教学中应当注意以下几个方面：一是理解《课程标准》的要求，把握具体内容的尺度，几个具体概念的要求都是了解。如公倍数和最小公倍数等，学生知道什么是公倍数和最小公倍数就可以，而求公倍数和最小公倍数要限制在10以内的自然数。二是与有关内容结合。数的整除性的相关内容不是单纯为了学习数的特征的内容而设，是与一些内容的学习密切相关，或为学习某些内容做准备，如分数计算时要运用最小公倍数进行通分，解决一些实际问题时要用数的公因数等。三是体现数学思想方法，培养学生能力，在学习质数与合数时，运用数学史上一些经典的方法探索问题，如用筛法找出一定范围内的质数，或在认识2，3，5的倍数特征时，可以创设数学情境，在探索的过程中培养学生能力。
　　 5.数的简单应用
　　对于数的简单应用，《课程标准》在第一、第二学段各有一条内容要求：“能运用数表示日常生活中的一些事物，并能进行交流。”（第一学段）“会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用。”(参见《标准》例24)（第二学段）
　　数的运用有两种情况：一是表示数量，如个数、体重、身高等，表示数量的数具有大小并且可以进行运算；二是数仅仅作为符号来使用，此时数没有大小和运算功能。一些没有数量特征的事物也可以用数字进行表示，比如赞成用1，反对用0，还有一些事物的编码等。前一种是常见的，在小学阶段大多数情况是用数的这种表示方式。后一种在生活中也有许多应用，教学中应重视数的这一表示方式。
　　《课程标准》给出了一个这类应用的例子（《标准》例24）。某学校为学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生，例如，200903321表示“2009年入学的三班的32号同学，该同学是男生”。那么，201004302表示什么？
　　这个例子可以启发学生思考，编号提示给我们一些什么信息。比如，一个年级最多有多少个班，一个班最多有多少名学生。可以引导学生设计本学校的学生编号方案。还可以启发学生通过观察学生证的编号估计学校的学生数。类似这样的应用还有身份证编号、汽车牌号等。通过这方面内容的教学，可以增加学生对“数”的应用意识，培养学生的数学交流能力，更深刻地理解数的意义，逐步建立数感。

专题四 数的运算内容分析与教学建议

　　数的运算内容贯穿于整个第一、第二学段，是这两个学段数学学习分量比较重、占用学习时间最多的内容。对于数的运算首先要使学生理解为什么要运算，要达到什么目的，这决定学生选择什么运算方式和要达到什么精度的要求。因此，教师首先要让学生理解面对具体问题的情形，确定是否需要计算。然后再确定需要什么样的计算方法。当然教师要重视学生对算理的理解和掌握，按照《课程标准》把握运算的熟练程度的要求，教师教学中要鼓励学生用自己的方法去尝试运算，选择合适的方法进行运算。理解常见的数量关系，并运用常见的数量关系解决问题。
　　 1.整数运算
　　 对于整数的运算，《课程标准》在第一学段提出具体的内容要求如下。
　　 ·结合具体情境，体会整数四则运算的意义。（参见《标准》例5）
　　 ·能熟练地口算20以内的加减泫和表内乘除法，能口算百以内的加减法和一位数乘除两位数。
　　 ·能计算三位数的加减法，一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法，三位数除以一位数的除法。
　　 ·认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）。
　　 《课程标准》在第二学段提出具体的内容要求如下。
　　 ·能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。
　　 ·认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。
　　 ·探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。
　　 ·在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。
　　学习整数的运算首先要使学生理解算理，把握四则运算的本质。如加一个正数比原数大，学习加法时，必须使学生理解这个算理。减法是加法的逆运算，减去一个正数就比原来的数小。乘法是加法的简便运算，是求相同加数的和，这是乘法的本质特征。除法是乘法的逆运算。教学中要强调让学生理解四则运算并了解它们之间的关系。
　　对于运算的难度和熟练程度，《课程标准》针对不同的内容作出了明确的要求。限制运算的步骤是为了控制繁杂的问题，四则运算的多步计算会出很繁杂的问题，对于每一步骤的计算学生可能都会做，但在若干步骤计算中，如果有一个地方出错，就会导致整个结果出错。在有了计算器之后，人们在现实生活中遇到繁杂的问题时，可以选择用计算工具，没有必要把用大量的时间用于繁杂的运算。而这种繁杂的运箅，稍不留意就会在某一个环节出错，也会导致学生失去学习数学的信心。
　　要淡化对运算的熟练程度的要求，要选择正确的计算方法，得到准确的运算结果，这比运算的熟练程度更重要。教师要重视学生是否理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，而不应单纯地看运算的速度。
　　 2.分数、小数和百分数运算
　　 《课程标准》在第一、第二学段规定的分数、小数和百分数运算如下。
　　 ·会进行同分母分数（分母小于10）的加减运算及一位小数的加减运算。（第一学段）
　　 ·能分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（第二学段，以两步为主，不超过三步）。
　　分数和小数的运算比整数运算更复杂，涉及百分数的运算相对要简单得多。运算的难易程度与参与运算的数的单位有关。在整数运算中，整数各数位上的数都是十进关系，处理好对应数位上的数就可以正确进行计算。小数虽然也是十进关系，但有一个小数点的处理，就比整数要复杂一些。而分数运算由于分数单位的不确定性，导致运算的复杂程度有所提高。必要的时候要进行通分和约分。对于百分数没有专门提出运算的要求，百分数的运算只是在解决相关的问题过程中用到，百分数的单位就是1/100，对于运算来讲并不难。
　　第一学段分数和小数初步认识中的运算比较简单，分数仅限在同分母的加减法，并且分母不超过10。重点是让学生体会分数加减法的意义，了解分数加减法与整数加减法的差异，帮助学生理解分数的意义。
　　第二学段分数和小数的运算相对要求比较高，不仅要学习分数、小数的加、减、乘、除四则运算，并且要进行必要的混合运算。

专题五 估算内容分析与教学建议

　　为什么要教估算，我们如何把握好估算的教学内容和要求，用什么样的方式能够更好地培养学生的估算的意识和能力，《课程标准》分别在第一、第二学段提出估算的要求以及交流算法的要求。
　　 ·能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（第一学段，参见《标准》例6）。
　　 ·经历与他人交流各自算法的过程。（第一学段）
　　 ·经历与他人交流各白算法的过程，并能表达自己的想法。（第二学段）
　　 ·在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（第二学段，参见《标准》例26，例27）。
　　 ·能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律(第二学段，参见《标准》例28)。
　　估算在解决实际问题中经常用到，估算与精算相互补充，在实际运用中有不同的功能。对于一些问题可能只需要估算，没有必要一定要精算。如购物时，选择一些物品后，先估计一下大约需要多少钱，自己带的钱是否足够。《标准》中例26就是这样的例子。
　　李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？
　　 在估算时首先判断选择元做单位估计就可以，没有必要精确到角（0.1元）。
　　第一问，“够不够买小鱼？”可以这样估算：买一袋面不超过31元，两袋面不超过62元；买牛肉不超过20元；买小鱼不超过16元；总共不超过62+20-1-16=98（元），李阿姨的钱是够用的。
　　第二问，“能不能买大鱼？”可以这样估算：买一袋面至少要30元，两袋面至少要60元；哭牛肉至少要19元；买大鱼至少要25元；总共至少要60+19+25＝104元，已经超过100元了，李阿姨不能再买大鱼了。
　　 同时，两个学段对于估算的要求侧重点是不同的。
　　第一学段的估算强调在具体的情境中选择合适的单位，上例中是选择了元作单位。一般来说，估计教室的长度时，通常以“米”为单位，如教室到学校的体育馆有多远，这个时候我们就可以选择米为长度单位，选择厘米就显得不合适了；估计书本的长度时，通常以“厘米”为单位，选择米也显得不合适了。在日常生活中，可以用身边熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等。进而体会估算在生活中的作用。
　　第二学段强调学生在解决问题的过程中，选择合适的方法进行估算。这个问题可以是实际问题，也可以是数学本身的问题。《课程标准》中的两个例子，一个是现实问题，一个是纯数学问题。例27就是一个纯数学问题。
　　 例3（《课程标准》例27）　9. 9×6.9比70小吗？ 1∕2十4∕7比1大吗？
　　 解这个问题时，可以把9.9放大为10，因为10×6. 9=69，估算结果比70小。
　　 解另一个问题时，可以把4∕7缩小为1∕2，估算1∕2十4∕4比1∕2+1∕2＝1大。
　　在上面解题过程当中，说明估算先有一个规划，想一想怎么估，然后要选择合适的单位，选择单位以后，要用什么方法，是大估一些，还是小估一些，如在解决例3第1个问时，就用了大估的方法，解决例3第2个问时就用了小估的方法。只要对学生通过较多的估算教学训练，就能对学生思维的发展，起到一个促进的作用。
　　在具体的教学中，教师不应单纯地让学生去记住某一种估算方法，而是要使学生逐步地去理解估算的意义和价值，因此在教学中要注意以下几点。一是要引导学生在问题情境的对比中选择估算方法，二是要帮助学生进行整体的规划，先做什么，再做什么，选择好合适的估算单位；三是要选择好素材，提出好问题；四是要鼓励学生，用自己的方法去进行估算，鼓励算法的多样化，重视同学之间的交流；五是要鼓励学生，用估算去验证计算的结果，养成好的估算习惯；六是要教师重视估算，要把估算意识的培养作为一个重要的教学目标；最后一点就是对估算要做好评价，包括对估算意识的评价。

专题六 常见量内容分析与教学建议

　　常见量的内容，在小学也是一个重要的内容，它是和数量关系有密切联系的，也是和学生的生活实际密切联系的，这个活题要重点介绍怎么样理解常见量的教学目标，怎么样设计和组织常见量的教学，怎么样在常见量的教学中体现一些数学基本思想，常见的量在《课程标准》第一学段中有关的规定如下。
　　 ·在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。
　　 ·能认识钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短（参见《标准》例8）。
　　 ·认识年、月、日，了解它们之间的关系。
　　 ·在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算。
　　 ·能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。
　　 1.常见量的教学目标
　　上面《课程标准》里关于常见量的要求，教师应该从两个方面分析，一是规定的结果性目标，它包括认识了解元﹑角﹑分﹑年﹑月﹑日等，使学生知道它们各自表示的是什么，它们之间关系，如1元等于多少角，一年有多少个月，一个月有多少天，一天有多少个小时，知道这种关系，这就是认识，即知道它的含义。二是过程性目标，即经历体验﹑感受的过程目标，它包括时﹑分﹑秒﹑克、千克、吨等，其实体验﹑感受过程是非常重要的，如体验时间的长短，学生不仅要知道1分钟等于多少秒，要知道1小时是多少分钟，还要体验一下1分钟到底有多长。又如1千克，让学生知道1000克等于1千克也不够，还要知道1千克到底有多重，可让学生用手掂一掂，切实感受1000克有多重。总之，这两类目标对常见量的认识是非常重要的。
　　 2. 常见量的教学设计和组织
　　一般常见的量在数量运算和几何测量中都有所体现，而与几何测量有关的单位都安排在“图形与几何”内容中，这里涉及的都是与数量运算有关的计量单位。主要有货币单位、时间单位和质量单位。教师在设计和组织这些常见量的教学中要强化以下几点。
　　 （1）常见量要在现实生活情境中引入。上面介绍的常见量无论是货币单位认识，时间单位的认识，还是重量单位的认识，都与现实生活有密切的联系，这些单位的建立也是在人们认识的过程中，逐步建立起来的。因此，教师在教学中，要用现实的情境来让学生去感知这些常见量的来龙去脉，如这些单位它是怎么样建立起来的，单位之间有怎样的一种关系，然后在这里渗透一种探索的创造的并且了解人类文明的一个过程。比如说1年，1年有多少天，这不是简单的一个规定，而是有一个认识的过程。一位教师在关于秒的认识教学中，该教师为了引进秒这个时间的基本单位，他在进行教学设计时，经常是先让学生通过听觉，或者视觉来判断出某个动作过程时间的长短，，比如说举一下手，或者说敲一下东西，让学生领会到时间虽然看不见也摸不着，但是它一旦依附于某一过程，就能感觉到时间的存在，也能感觉到这个时间存在的长短，在此基础上再设计用数一数的方法，来测量时间的长短，使学生意识到数一次就是一个单位，同时也使学生认识到统一这个单位的必要性，从而引出秒的单位。这种引入的方法，也同样适用于分、时，还有克。总之，这些计量单位都和实际问题紧密联系，教师需要结合现实情境引入，让学生在解决问题的过程中理解和掌握。
　　（2）常见量要在实践活动中加强直观教学。常见量中的数量单位、特别是计量单位的学习和掌握，一般是从具体的思维到认识抽象的一个过程，而中间的桥梁就是实践活动。比如说认识重量的教学，不能简单地说这个是1克，这个是1千克，而是要让学生去掂一掂，用肌肉的感觉，来体验出1千克物品的实际重量。再如上面时间的教学，也是让学生先去体验一下，数一数后再让学生看一看钟表，通过学生的实践操作，使学生逐步从感性的思维上升到理性思维，再如有的洗衣粉1袋是1千克，精盐1袋是1千克，奶粉1袋是1千克，都可以让学生来看一看，来掂一掂，这样就为学生形成1千克重量观念提供了一个形象的支持。还有一个较大的重量单位吨，学生没有办法去直接感受，此时，老师可组织一些活动，通过让学生抬一抬10千克重的物品，并且告诉学生，100个10千克合起来就是1吨，还可以根据当地的情况，让学生看一看成袋的大米，水泥和面粉，然后想一想，多少袋相同重量的物品才是1吨，通过这样的间接手段，使学生体验到较大重量单位吨的感受。所以常见量要在实践活动中加强直观教学。
　　（3）常见量的教学要密切联系学生的生活实际。《课程标准》中介绍的常见量都与人们的实际生活相联系，教师要结合学生的实际情况进行教学，如时间单位的教学，教师可让学生记录出日出日落的时刻，他上学从家到学校要用多长时间，上间操的时间有多长，一节课有多长，让学生记录下来，记录下来他就有一个感受，因此，在学习时也就会有意识地去了解时间单位，有意识了解周围与时间有关系的一些现象，也就会逐步地熟悉了这个时间单位。在进行年﹑月﹑日的教学时，因为学生在生活中每天都要接触到，对年﹑月﹑日的知识有了一些认识，积累了一定的经验，所以，在教学的起始学时，就应该安排学生观察一些年历卡，以激发学生的学习兴趣，让学生从这个年历当中，观察出一年多少个月，每个月的天数，然后探索出大月小月。再如对人民币的认识，因为学生从小就知道买东西需要花钱，特别是对一年级学生，他已经有了一种很朴素的观念，就是用钱才能买到东西。因此，教师应该先了解学生对于人民币的认识程度，然后教学中再认识不同人民币的面值，明白人民币单位之间的十进位的关系，最后再开展元﹑角﹑分之间的换算，使学生很自然地接受了货币单位。总之，这些常见量的教学都是借助学生已有的知识经验和实际的生活体验，把数学知识还原到生活当中，让学生经历知识，体验知识形成的过程，最后掌握知识。
　　 3.常见量的教学要体现数学的基本思想
　　《课程标准》的一个重要理念，就是让学生掌握基础知识，基本技能，基本思想和基本活动经验。数学的基本思想主要包括抽象的思想，推理的思想﹑模型的思想，如何在常见量的教学中体现这些数学的基本思想。前面介绍了感知抽象的过程，而在常见计量单位中，存在一个很重要的模型的思想，即要找到一个循环的过程，如在认识时间单位教学时，为什么要规定年月日呢，教师要讲明其实年月日是人们在长期的积累过程里边，建立的一个关于时间的模型，它是和太阳月亮地球它们的自转公转有直接关系的，人类经过长期的观察发现，黑天白天交替变化是地球自转的结果，自转1周就变成1天，地球绕太阳公转1周就是1年，一年有多少天，人们在这个转的过程中，又经过长期的摸索实践知道，1年有365天多一点，这样，人们才慢慢地建立起日月年这样的一些概念。而不是简单地告诉学生1年有多少天，1天有多少小时，而是让学生初步知道，人们是怎么去探索这样一种规律的，在这个规律中，我们用一种计年这种方法，计时的方法，其实是建立一种数学模型，让学生形成这种模型的思想。
　　特别是货币单位的认识和时间单位的认识，与学生生活经验的积累关系十分密切。教学中更要体现数学的基本思想，如《课程标准》的一个例子说明如何帮助学生体现和理解1分钟有多长。
　　 例4（《课程标准》例8） 估计每分钟脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。
　　本例既可以帮助学生体验1分的长短，也是一个估计问题，需要实际测量，在测量的基础上进行简单计算。那么这个题可以用三类方法进行实际测量：先测量半分钟，然后用测得的数据乘2；测量1分；测量2分，然后用测得的数据除以2。对于学有余力的学生，可以引导他们感悟第一种方法省事，但可能不够准确；第三种方法费事，但可能更准确一些。学生通过比较，就有一种优化的思想，可能认为第二种方法比较好，那么实质上在这个过程当中，就是一种估计的策略，是这种思想的一种渗透，可以帮助学生建立选择策略的思想。

专题七 两个重要数量关系与解决应用问题

　　 常见数量关系与应用题解决是小学第一二学段数与代数中的二个重要问题，这里的常见数量关系和应用问题解决主要是是用数与代数知识中两个重要的数量关系，来解决实际中存在应用问题，而探索规律是解决蕴涵在问题情境中的变化规律或变化的趋努。
　　 1.常用数量关系与问题解决
　　引入常见的数量关系，运用这些数量关系解决实际问题是培养学生问题解决能力的重要途径。而应用问题解决是数学的核心。《课程标准》明确了问题解决能力的培养是数学课程教学的重要目标。问题解决能力的培养体现在几个领域中的不同数学知识与方法的学习过裎中，贯穿于数学学习的全过程。同时，《课程标准》在数与代数内容中分别在第一、第二学段做了相应的规定。
　　 ·能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释（第一学段参见《标准》例7）。
　　 ·在具体情境中，了解常见的数量关系：总价＝单价×数量、路程＝速度×时间，并能解决简单的实际问题。”（第二学段）
　　小学数学中的数量关系有两个基本的模型：一个是总体等于部分的和，即求和的模式，部分十部分＝和；另一个模型是乘积的模型，总价＝单价×数量和路程＝速度×时间，这两个常见的数量关系是乘积关系的模型。前者是一个经济模型，后者是一个物理模型，小学数学中大部分实际问题都可以用这两类模型来表示。
　　《课程标准》把这两个数量关系的模型明确提出来，说明在今后无论是在数学的学习中，还是在其他的学习中，特别是在解决实际问题中有着非常重要的作用。教师若进一步观察可发现，这两个基本的数量关系在结构上很相似，有些像小学时强调的每份数乘份数等于总数，那么现在学习了这两个常见的数量关系以后，还需要不需要进一步地提炼上面说的一份数乘以份数等于总数了。关于这个问题可以明确：小学阶段肯定还是以具体为好，只要同学们能在具体的情境中，把这个数量关系表示出来就可以了，没有必要一定要用抽象的份数这样的语言，来进行总的概括描述。所以，在内容中或者在教学中教师只要明确两个具体的数量关系，能解决简单的实际问题就达到了《课程标准》的要求。
　　实际应用问题的解决要明确以下步骤。一是遇到一个实际问题要理解这个题意，分析其中所蕴含的数量关系﹔二是恰当运用解决实际问题的策略，如画图的策略，列表的策略等找出所蕴含的数量关系,即符合常见两个重要数量关系中的那一个﹔三是进行认真的运算﹔四是仔细思考解得的结果是否符合实际意义，即进行解释检验。其中理解题意和分析数量关系是核心。
　　 关于所蕴含的数学应用意识和模型思想，前面专题已经有详述。
　　 2.规律探索
　　 探索规律的内容在第一、第二学段都有具体要求，《课程标准》的表述如下。
　　 ·探索简单情境下的变化规律（第一学段.参见《课程标准》例9，例10）。
　　 ·探索给定情境中隐含的规律或变化趋势（第二学段.参见《标准》例30，例31）。
　　 探索规律的内容重点在于探索的过程，在于使学生在具体情境中，通过观察、计
　　 算、操作、思考等方式，了解蕴涵在问题情境中的规律，学会思考问题的方法。
　　第一学段的简单情境一般是较为直接的变化特征。第二学段的情境会更复杂一些，或具有一些隐蔽性。下面是《课程标准》中的两个例子。
　　 例5（《课程标准》例9）在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由。
　　 1，1，2；1，1，2；__________；__________； __________；
　　 A，A，B；A，A，B；________；__________；___________；
　　 口，口，　　；口，口， 　 ；__________；____________；____________。
　　上面三个具体问题虽然分别是数字、字母和图形，但其中表现的规律具有共同的模型。启发学生在探索规律的过程中能够感悟到：对于有规律性的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。
　　例6（《课程标准》例30）联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？
　　 [说明]希望学生能够通过所给条件，发现规律，进一步了解规律可以借助各种符号表示（参见《标准》例9）。
　　在解决这个问题时，学生可以有多种方法。例如，用A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气琼，则按照题意气球的排列顺序可以写成
　　 A　A　A　B　B　C　A　A　A　B　B　C　……
　　 从中找出第1 6个字母，由此推出第16个气球的颜色。

专题八 从算术到代数

　　在这个话题中，主要介绍三部分内容，一是字母表示数，二是方程，三是关于正反比例。学生将由算数的学习过渡到代数的学习。
　　 1.用字母表示数
　　 第二学段开始正式引入字母表示数，这是学生数学学习的又一次抽象。《课程标准》对于这方面的要求如下。
　　 ·在具体情境中能用字母表示数。
　　 ·结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。
　　字母表示数是数到代数的数学表征上一次飞跃，数对于它所代表的具体事物来说是抽象的，而用字母表示数是又一次抽象。从字母表示数开始，学生就进入到了代数的学习，对于小学生来说，初步建立代数的思想是具有一定挑战性的。教师在教学中要从具体的情境中使学生感知字母表示数的含义，并了解这种表示方法的作用，初步体验符号在数学表示中的作用，初步建立符号意识。这里有三点是需要注意的，一是让学生体会运用字母表示数是从具体到一般，概括性地表示规律的过程；二是通过一些情境让学生体会到字母表示数不仅仅是表示一个位置的数，同时它还可以代表一种关系；三是教师还要稍微有所渗透字母的取值范围，下面用一个具体例子说明。
　　某教师在讲授用字母表示数这一内容时，设计了一个魔盒游戏，任意输进一个数，转一转就会输出一个数，在这个过程中，学生已经发现输出这个数比进去数都多10，此时老师提出一个问题，能不能用一个方式来表示输进数和输出数，经过同学广泛讨论交流才得出，如果输进的数是x，那么输出的数就是x+10。
　　这个例子说明，以前算术的学习，是一个一个地去解决具体的问题，引进了字母表示数，就可以一堆一堆地解决问题，一类一类地解决问题，即用代数思维来表示一种关系，这种关系可能是等量的，也可能是一些变化的，从中突显字母表示数的作用。
　　关于等量关系并能用字母表示。教师可以设计学生熟悉的生活情境，让学生感受字母表示数和用字母表示某些数量关系。如下面案例。
　　 爸爸25岁时，小明1岁，爸爸26岁时，小明2岁。可以用下面的方式表示爸爸和小明年龄的关系：
　　 爸爸　　　　　 小明
　　 25　　　　　　1=25-24
　　 26　　　　　　2=26-24
　　 27　　　　　　3=27-24
　　 …　　　　　　…
　　 a　　　　　　 b＝a- 24
　　 用a表示爸爸的年龄，b表示小明的年龄。b=a-24表示爸爸的年龄和小明的年龄之间的关系。
　　 2.简易方程
　　 方程是一个相对比较传统的内容，《课程标准》中对于方程的要求如下。
　　 ·能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2=5, 2x-x=3），了解方程的作用。
　　 ·了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。
　　简易方程引入的价值在于，为学生提供用代数方法解决问题的途径。小学阶段解决问题的基本方式是算术方法。基本的数量关系模型是求和的关系（部分十部分＝整体）；二是求积的关系（每份数×份数＝总量）。具体的表现为加、减、乘、除的意义。算术方法解决问题基本上是根据加减乘除四则运算的含义，分析问题中的数量关系，列出一个算式。这个算式的基本特征是将已知的数量构成的算术式使其结果等于所求的数量。如下例。
　　 教室里有一些同学，又分2次，每次进来15个同学，现在教室里一共有45个同学。原来教室里有多少个同学？
　　 用算术的方法，一定要列出一个算术：45-15×2＝
　　 而用方程来解这样的题，可以先用字母x表示原来教室里有的人数。按照数量关系，可以列出方程：x+15×2=45。
　　后者是直接用“部分十部分＝总体”的思路，x在这里和其他的数一起在解题过程中运用。而前者是求和的逆运算，是已知和与一个部分，求另一个部分。在解决较为复杂的问题时，方程与算术的方法就有着明显的区别。
　　对于简易方程的学习，《课程标准》里更多的是凸显等量关系，刻画等量关系，并用方程表示。在教学这部分内容时，教师首先要结合简单的实际情境，了解等量关系，建立一个等量关系，并能用字母表示。其次，要让学生了解等式的性质，能用等式的性质来解简单的方程。同时，还要了解方程的作用，使学生真正理解什么是方程，什么是方程，可能都会说含有未知数的等式叫方程，这个定义没有错。但《课程标准》强调对它本源性的理解，理解方程它是一个刻画等量关系的一个模型，因为在方程中未知数和已知数具有同等的地位，只要能找到等量关系，把已知数和未知数代进去，就可以很简洁地且比较容易地列出一个方程，所以，更重要的是方程这种刻画等量关系的这个关系，而不是那句含有未知数的等式，要注意这是教学的重点。
　　对于解方程，《课程标准》明确“用等式的性质解简单的方程”。等式的性质反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待。这也是代数思维与算术思维的基本区别。在上面的例子中，解这个方程的过程就是：
　　 x+15×2=45．
　　 x+30=45．
　　 x+30-30=45-30．
　　 x=15。
　　从上面例子中可以看出，一开始从算术方法到代数方法可能显得比较烦琐，特别是对于简单的数量关系，算术的方法操作起来更容易一些。但在解简单方程时还是应当用等式性质，一方面体现代数方法的本质；另一方面是与初中学段学习方程的思路保持一致。
　　 3.正比例、反比例
　　 正反比例，实际是研究数量间的，一种变化规律，不管方程还是正反比例，它们凸显的还是一种模型的思想，正比例和反比例是一类常用的数量关系，这部分内容的学习是函数思想在小学的体现。《课程标准》中的要求如下。
　　 ·在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。
　　 ·通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。
　　 ·会根据给m的有正比例关系的数据在方格纸上面图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值（参见《标准》例29）。
　　 ·能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并迸行交流。
　　在现实中，有许多数量关系可以表示为成正比例的量和成反比例的量，其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例增加（减少），则两个量是成正比例的量。如果一个量增加（减少），另一个量按一定的比例减少（增加），则两个量是成反比例的量。如果分别用x和y表示两个量，前者可以表示成y＝ax(a>0)；后者可以表示成y= a/x，或xy＝a（a>0）。
　　正比例和反比例的关系本质上是函数关系，小学阶段并不出现函数的概念，而是让学生具体感知两个量之间的关系。一是使学生对数量关系的认识和理解更丰富；二是为初中学段进一步学习正比例函数和反比例函数，以及学习一般的函数知识做准备。教学中应与实际情境紧密联系，用具体的学生可以理解的方式呈现这个内容，引导学生从数量之间关系，两个量之间变化的规律的角度来理解和掌握这个内容。《课程标准》中的案例说明了教学中应关注的问题。
　　例7（《标准》例29）　彩带每米售价3.2元，购买2米，3米，…，10米彩带分别需要多少元？在方格纸上把与数对（长度，价钱）相对应的点描出，并且回答下列问题。
　　 (l)所描的点是否在一条直线上？
　　 (2)估计一下买1.5米酌彩带大约要花多少元？
　　 (3)小刚买的彩带长度是小红的3倍，他所花的钱是小红的几倍？
　　 [说明]希望学生感受成正比例关系的一组数对所对应的点在一条直线上，并且能够借助图形进行数据的估计。
　　教学中引导学生在描点之前，先建立下面的表格，有利于直观地理解正比例关系，并为描点作准备。