爱华网读书志第一千四百八十一部·《详解九章算法》
《详解九章算法》，《详解九章算法》，是一部数学著作，为南宋末年杨辉所撰。
杨辉，字谦光，钱塘(今浙江杭州》人，其生平事迹、生卒年月则无可详考。只能由一些有关著述推测其某些行踪。杨辉《日用算法》之陈几先序称：“钱塘杨辉以廉饬已，以儒饰吏，吐胸中之灵机，续前贤之奥旨。”依此可知，杨辉可能在南宋担任过某些地方官吏，又由《田亩比类乘除捷法》卷上五次引用台州(今浙江临海县)量田图来猜测．杨辉可能在台州工作过。再根据杨辉《续古摘奇算法》卷上称：“辉伏睹京城见用官斛号杭州百合，浙郡一体行用。”其卷下称：“辉因到姑苏，有人求三七差分，继答之。”可见杨辉足迹曾遍历苏、杭。
杨辉生平事迹虽然知道甚少，但其著作流传至今者却较磊，共有五种二十一卷，即：《详解九章算法》十二卷，宋理宗景定二年(1261年)；《日用算法》二卷，宋理宗景定三年(1262年)；《乘除通变本末》三卷，宋度宗咸淳十年(1274年)；《田亩比类乘除捷法》二卷，宋恭宗德祜元年(1275年)；《续古摘奇算法》二卷，宋恭宗德韦占元年(1275年)。其前两种乃是杨辉早年著述，其后期所作三种一般称之为《杨辉算法》。
杨辉《详解九章算法》序称：“辉虽慕此书，未能贯理，妄以浅也。聊为编述，择八十题以为矜式，自余一百六十六问，无出前意，不敢废先贤之文，删留题次，习者可以闻一知十，……，凡题法解白不明者，别图而验之，编乘除诸术，以便入门，篡法问类次见 之章末，总十有二卷”。可见现传本已面目全非，除保留有“篡类”外，而“篡类”虽附合杨辉原意，但其“图”及“乘除算法”今已不存，且次序也非原貌。从杨辉《详解九章算法》编排上看，首先，是解题，即是对《九章》原题作详细解释，有的则辅以评论和校勘；其次，即是细草，或叫图草，先列算法，后列算草，有图附图，有表附表，如杨辉说“以图参法，取用可知”；最后，即是比类，一方面列出与原算法相同的例题，一方面列出与原算法可比拟的例题。例如在商功章给予六道比拟的垛积题，即
S=a×b+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+……+c×d.
=h／6E(2b+d)a+(2d+b)c]+h／6(c—a)．
S=12+22+32+……+n2一n／3(n+1)(n+1／2)．
S=a2+(a+1)2+(a+2)2+……+b2
=h／3{a2+b2十ab+(b—a)／2}．
S=1+3+6+10+……+n(n+1)／2.
=1／6n(n+1)(n+2)．
等。虽然杨辉给出六道垛积题，但基本上都是沈括“隙积术”的特例。在杨辉其他算书中，也有垛积题即高阶等差级数求和的问题，如清代顾观光说：“堆垛之术详于杨氏(杨辉)、朱氏(朱世杰)二书，而创始之功，断推沈氏(沈括)。”
杨辉《详解九章算法篡类》序说：“向获善本，……，以魏景元元年刘徽等……注释，圣宋右班(殿)直贾宪撰草。”可知杨辉曾参考过刘徽及李淳风对《九章》的注文，也参考过贾宪的著作《黄帝九章算法细草》。贾宪是北宋天算家楚衍之弟子，活动于北宋乾兴、皇祐年间，著有《算法敦古集》二卷和《黄帝九章算法细草》九卷，此二书均已失传，幸喜杨辉在《详解九章算法》引录贾宪之说，才使贾宪学说得以流传。
杨辉在《篡类》中所引贾宪之说有：“贾宪立成释锁平方法”，“增乘开平方法”，“贾宪立成释锁立方法”，“增乘(开立)方法”。其中“释锁”可能是宋元数学家解数字方程的代名词，而“立成”，可能是根据某种数表进行计算的意思。“立成释锁平方法”和“立成释锁立方法”可能是依据某种数表解方程的方法。在杨辉《篡类》中，记载有贾宪“开方作法本源”图，一般称为“贾宪三角”。杨辉注说：“出《释锁》算书，贾宪用此术”。依此推断所谓“释锁开平方法”，“释锁开立方法”实际就是传统开方法，而“增乘开方法”，是引进新开平方、开立方法，也就是随乘随加的开方法；其解法理论、步骤与英国数学家霍纳(W．G．Horner)于一八一九年提出的解法完全一致。贾宪却比霍纳早七百多年，而秦九韶在《数书九章》中系统总结的增乘开方法，也比霍纳早五百余年。
至于“开方作法本源”图，是中国古代传统数学的一项重要组成部分，不但可以进行高次开方运算，在后世从而导出许多垛积问题。因此，应该称为“贾宪三角”。而伊斯兰国家数学家阿尔·卡西(A1一Kashi)在其《算术之钥》(1427年)曾记录这一三角；在西方，德国阿披亚纳斯(P．Apianus)于1527年也记录这一三角；法国数学家巴斯嘉(B．Pascal)于1653年才记载这一三角，而西方一般称之为“巴斯嘉三角”，这是一种误称，理应予以纠正。
评：《详解九章算法》出，杨辉数学贡献殊。
五种著作传后世，“贾宪三角”幸引录。
六道比拟垛积题，发展沈括“隙积术”。
“开方作法本源”图，垛积问题多导出。
