爱华网自行车里的数学
背景分析：数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事情中提供观察和操作的机会，使他们感受到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，对数学产生亲切感。自行车是日常生活中最常见的交通工具之一，但是很少有人知道自行车里到底有哪些数学问题。“自行车里的数学”这个课题是义务教育课程标准实验教科书第12册里的一节综合应用课，让部分有研究能力的学生通过亲自动手、观察、体验，解决生活中常见的有关自行车里的问题，了解数学与生活的广泛联系，经历发现问题—提出问题—分析问题—建立数学模型—求解—解释与应用”的解决问题的基本过程，获得运用数学解决实际问题的思考方法，充分调动学生的观察能力、总结能力、运用已有知识解决问题的能力，并加深对所学知识及其相互关系的理解。
活动一（课下研究）
1、 周五：确定研究人员，布置研究任务，学生自愿结合成立三个研究小组（每组5人）。
2、以小组为单位，利用周末两天时间进行研究、交流。（观察自行车，了解自行车的结构和行进的基本道理；收集一些自行车的相关数据等。）
3、 次周二：集合研究人员，交流研究情况，进行课前准备。
活动二（课上展示交流）
一、导入 （电脑出示不同的自行车图片）
师：同学们，自行车是日常生活中最常见的交通工具，大多数同学应该都会骑。可是，自行车里有什么奥秘呢？自行车里有哪些数学问题呢？课下时间，研究小组的同学对不同品牌、不同型号的自行车进行了研究，那他们到底有什么发现呢？今天，就让我们一起来分享他们的研究成果吧！
二、汇报展示。
第一小组汇报。
刘懿心：大家好！星期六，我和爸爸一起推着我的自行车来到小区里的空地上。通过观察，我发现我的自行车有两个齿轮，一个大，一个小，小的在后，大的在前，这两个齿轮由一条链子相连；蹬踏板一圈，大齿轮也转动一圈，链子上的小孔和齿轮上的齿相吻合，由此带动小齿轮转动。而且，大齿轮转一圈，小齿轮不止转一圈；小齿轮转一圈，车轮也转一圈。我想：蹬一圈踏板，自行车到底能走多远呢？于是，我记好起点，骑上自行车蹬了一圈后，量得起止点之间相距大约3.3米，也就是330厘米。之后，我便开始数齿轮上的齿数，得知：前齿轮有44个齿，后齿轮有16个齿，它们的比是11：4，比值是2.75。量得车轮直径是38㎝，周长大约119.32㎝ 。通过计算：330÷ 119.32≈2.75，即：120×2.75=330。从中，我得到一个结论：蹬踏板一圈自行车前进的距离=车轮周长×前后齿轮齿数的比值。 为了更好地证实这个结论，我又用同样的方法研究了姐姐的自行车，得出的结论是相同的。
《评析：从生活实际出发，通过实践、观察、测量、计算得出结论，在过程中体验数学与生活的密切联系，这是教师单纯地教所达不到的教学效果。》
王书涵：我对刘懿心同学的发言作一下补充。我上网查了有关自行车的资料得知：前面的大齿轮学名叫牙盘，后面的小齿轮叫飞轮，牙盘齿数与飞轮齿数的比值叫传动比。由此，我的研究结论是：1、蹬踏板一圈自行车前进的距离=车轮周长×传动比。2、传动比一定，牙盘齿数与飞轮齿数成正比例关系。
《评析：研究同伴及时补充，使研究成果更加完善，更加通俗易懂。》
吕宏宇：我和同伴分别研究了两辆不同型号（22和26）的自行车。22型号车的传动比的比值是2.8，26型号车的传动比的比值也是2.8，但蹬踏板一圈，22型号车的前进距离大约是490厘米，26型号车的前进距离大约是580厘米。由此得出的结论是：在传动比相同的情况下，自行车的轮胎直径越大，蹬一圈踏板自行车前进的距离越远。
非研究小组的同学质疑：22和26是指什么？
吕宏宇：22和 26是指自行车车轮的钢圈直径。22就表示车的轮胎钢圈直径是22英寸。我上网查过资料，1英寸=2.54厘米。因此，只要知道自行车的型号，我们就可以很轻松地计算出它的轮胎钢圈直径和车轮的周长。
《评析：对于自行车的型号这个问题，凡是会骑车的人都知道，但并不一定理解具体的含义，研究成员通过研究，把生活中最常见的问题用数学知识、数学语言解释的简单、明了。》
师：这个问题的答案我也是刚刚知道，吕宏宇同学真的了不起！同学们给予掌声鼓励！
第二小组汇报。
赵诗涵：大家好！我通过上网查资料得知：过去的老式自行车基本上就三种尺寸：前面带杠子比较高的是男士自行车，它的钢圈尺寸是28英寸；前面没杠子（也有带杠子的）稍矮一点的是女式自行车，它的钢圈尺寸是26英寸（26圈的车现在比较多）；还有一种车比26圈的车再矮一点（当时中小 学生用的比较多），他的钢圈尺寸是24英寸的。而后来出的赛车大多是27英寸的钢圈，山地车中26圈的较多，现在花样更多，有20的，22的，甚至还有更小的。而且这几天我发现，小区里好多叔叔阿姨放着汽车不开，骑上了自行车，这说明自行车不仅是很好的代步工具，而且还能锻炼身体。我想：如果大多数上班路程不是很远的人如果都能改骑自行车上班，不仅能节约能源，保护环境，还能锻炼身体，这是多么美好的事情啊！
师：说得非常好！你可以在网络上发个帖子提倡一下，我想一定会引起好多人的关注。
刘凤起：星期天，我和同伴一起研究了自己的自行车，解决了以下几个问题。问题一：所有自行车中，是前轮带动后轮，还是后轮推前轮呢？经过仔细研究发现，我们俩的自行车都是后轮推动前轮，前轮起着诱导转向的作用。大多数自行车都是这样的吗？于是我们到自行车行问售车的叔叔。他说，除了早期的自行车外，目前几乎所有自行车都是后轮驱动，前轮诱导转向。
问题二：是牙盘带动飞轮，还是飞轮带动牙盘？针对这一问题，我仔细研究发现，是牙盘带动飞轮。其原因是牙盘和中轴同轴，踏板带动中轴旋转时也带动了牙盘旋转，牙盘通过链条把动力传到了飞轮，使其旋转，也就是牙盘带动了飞轮。
问题三：齿轮的大小和链条有什么关系？带着这一问题，我仔细观察发现：牙盘或飞轮的大小和链条无关，链条只是单纯起到传动作用。
问题四：踏板转一圈，牙盘转几圈？轮胎转几圈？和所行的路程有什么关系呢？带着一系列问题，我仔细研究分析发现：踏板、中轴、牙盘都在一个轴心上，所以踏板转一圈，牙盘也跟着转一圈。牙盘齿数是飞轮齿数的N倍，那么牙盘旋转一圈飞轮就旋转N圈。飞轮、后轴、后轮在同一个轴心上，飞轮转一圈后，轮子也转一圈。我门还得出一个结论：牙盘齿数×牙盘转的圈数=飞轮齿数×飞轮转的圈数。如果传动比一定，牙盘齿数与飞轮齿数成正比例关系。
《评析：先确定要研究的问题，然后通过实践活动得出结论，并且密切联系了已有的数学理论知识，做到了学以致用。》
师：很好 ！能在自行车里发现学过的比例知识！可见，生活中处处有数学。
第三小组汇报。
董丰硕：星期天，我和同学进行自行车比赛。赛道上有上坡、下坡、弯道、平地等车道。我们俩经过二十几分钟的比赛，最终他赢了，我输了。我累得气喘吁吁，而他，好像一点也不费力。这是为什么呢？我对此感到迷惑，最终我发现他骑的是变速车。于是我对变速自行车展开了详细研究。
变速车的牙盘组由多个大小各异的牙盘组成，飞轮组也由多个大小各异的飞轮组成，不同大小的牙盘带动不同大小的飞轮，就会有不同的速率，就起到了变速作用。（电脑出示图片）原来我同学的变速自行车就是根据这个原理设计的。详细数据如下：
牙盘齿数：大盘44、中盘32、小盘22。
飞轮齿数：小飞11、八飞12、七飞14、六飞16、五飞18、四飞21、三飞24、二飞28、大飞32。
外胎周长：206厘米。
速率比如下图所示：（电脑出示）
| 11 | 12 | 14 | 16 | 18 | 21 | 24 | 28 | 32 | ||||||||||
44 | 4:1 | 11：3 | 22：7 | 11：4 | 22：9 | 44：21 | 11：6 | 11：7 | 11：8 | ||||||||||
32 | 32：11 | 8：3 | 16：7 | 2：1 | 16：9 | 32：21 | 4：3 | 8：7 | 1：1 | ||||||||||
22 | 2：1 | 11：6 | 11：7 | 11：8 | 11:9 | 22:21 | 11:12 | 11:14 | 11:16 |
这样，一共能组成27组速率。因此得出结论：牙盘个数×飞轮个数﹦速率种数。
非研究小组的同学质疑：我发现表格中展示的传动比有4个是相同的，那还能说是27种吗？
董丰硕：一般情况下，牙盘个数×飞轮个数﹦速率种数。如果传动比的比值出现相同情况，也可以减掉。也就是说，27组速率也可以说成23种。
我经过亲自骑车试验和计算，得出了最省力和最费力的2组所走的路程。
最省力：（小牙盘带大飞轮）22÷32×206﹦142.14（厘米）。
最费力：（大牙盘带小飞轮）44÷11×206﹦824（厘米）。
由此得出结论：在相同的踏板频率下，传动比越大，骑行速度越快，但是也越费力，适合平地冲刺；同样的道理，传动比越小，速度越慢，也越省力，适合爬坡。
《评析：通过一个简单的骑车比赛发现了问题，并且以研究者的身份去解决问题，获取知识，研究成员亲历研究过程，体验了成功解决问题的愉悦情感。研究成果科学性强，具有说服力。》
师：研究得非常好！同学们以后在骑变速自行车的时候就有了理论基础了，掌声感谢董丰硕同学！非研究小组的同学有什么收获吗？
生1：通过这节课我知道了，看似很普通的自行车里原来有这么多的奥秘！而且从中发现了很多的数学问题，同时我也很佩服研究小组的同学，能研究出这么多的数学问题，以后我也要学习他们的探究精神！
生2：通过这节课，我找到了原来不明白的问题的答案。比如：自行车的型号表示什么意思？牙盘与飞轮的作用是什么？变速自行车是怎样变速的？我觉得，只要用心发现，用心研究，就会在生活中发现更多的数学问题，解决更多的数学问题。
师：说得很好！研究小组的同学还有什么要说的吗？
郑文敏：既然同学们都有了收获，现在我就来出几道题目考考大家。
1、传动比一定，牙盘齿数与飞轮齿数成（）比例关系。
2、自行车行进距离一定，车轮周长与传动比成（）比例关系 。
3、一辆自行车的车轮直径是0.7米，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，蹬一圈自行车前进多少米？
4、一辆前齿轮有28个齿，后齿轮有14个齿，蹬一圈自行车前进5米。求自行车的车轮直径。（保留两位小数） [教学目标]：&nbs
先让学生根据所学知识独立解答，然后集体订正。（订正时，指名说一说解题思路）
点评总结：同学们真是了不起，在研究中发现了自行车里的这么多的奥秘，有的知识就连老师也是第一次知道。其实，我们学数学就是希望它能帮助我们解决实际问题。只要我们大家肯动脑筋，主动去研究、探索，就会发现生活中处处有数学.。同时，数学会使我们的生活更加精彩。有兴趣的同学课下可以继续对自行车进行研究，也许会有更大的收获！
教学反思：1、这堂课基本体现了学生自主研究数学的思想。首先从生活入手，让学生在实际生活中发现问题、提出问题。然后通过给学生提供材料，让学生在操作中自行车特性增加感性认识，发现特性。学生的问题意识和构建知识的能力得以培养。知识的获得能从感性上升为理性，这最符合学生的认知规律。利用已知，在充足的时间和空间里自主思考、合作探讨，学习新知，学生独立思考问题和小组合作学习的能力得以提高。
2、本节课上的比较成功，研究小组的成员从不同角度出发，发现了自行车里的许多的数学问题，并清晰地、有条理地进行了展示。作为教师，有的问题答案我也是第一次知道，虽然也曾经迷惑过，但不曾去研究过。最精彩的应该是第三小组的研究成果，他们甚至研究出了自行车在什么情况下最省力和最费力，这充分体现了研究成员的才智。在展示的同时，学生的语言表达能力较以前有了很大的提高。
课后研究的延续情况：1、各小组对于其他小组所研究的问题感兴趣的，课下继续进行进一步的研究。
2、非研究小组的成员选择自己感兴趣的问题进行研究。
研究成果展示：1、各小组互评研究报告，分别找出自己和别人的优点与缺点。
2、 在班级中展出研究报告，全班同学互动交流。
3、各小组将研究成果汇总整理，以电子形式存档。
4、选出优秀研究报告，参加全市小课题研究报告的评选。
