“比的认识”教学实录与评析 比的认识优秀教学设计

“比的认识”教学实录与评析

(已发表)

浙江杭州市安吉路实验学校牛献礼执教

江苏南京市东方数学研究所陈今晨评析

教学内容:人教版课标实验教材小学数学六年级上册“比的认识”

教学目标:

1、经历从具体情境中抽象出比的过程,理解比的意义,认识比的各部分名称,会求比值,理解比和分数、除法的关系。

2、感受比在生活中的广泛应用,并能利用“黄金比”的知识解释一些简单的生活现象,解决有关比的实际问题,体会比的应用价值。

教学重、难点:理解比的意义。

教学过程:

一、观察比较,初步感知比的意义。

师:美丽的西湖是杭州的名片,苏东坡有诗赞美:“欲把西湖比西子,淡妆浓抹总相宜”。下面我们来看看三张不同的西湖图片(出示三张图片)

师:你觉得哪张图片看起来更美观、更舒服?

(全班统计,大多数同学喜欢图片 A。调查现场的听课教师,绝大多数也选择了图片A。)

师:看来不管是大人还是小孩,大家的感觉相同,在这三张图片中,大家都不约而同地选择了A。谁来说一说自己的想法?

生1:图片B太高了,显得很窄;图片C又太扁了,景物都看不清楚。

师:你的意思是图片B和C长和宽的长度不协调,是吗?

生1:是的。

生2:我觉得图片A的长与宽之间,比例比较匀称,看起来舒服。

师:看来长方形图片好看不好看还与它的长和宽有关。长方形A的长和宽之间到底有什么关系,才让大家都感觉它们比较美观呢?这节课我们就从数学的角度去探寻其中的奥秘,为自己的感觉寻找一个理性的解释。

(出示长方形A的长与宽的数据:长8厘米、宽5厘米)

师:怎样用算式表示这张图片长和宽的关系呢?

生1:8-5=3(厘米)

师:这是用减法表示长和宽相差多少,还可以怎么表示两者关系呢?

生2: 5÷8=5/8。

师:表示什么意思呀?

生2:表示宽是长的5/8。

师:对啊!这是用除法来表示两者之间的倍数关系。宽是长的5/8,长就是宽的——

生:8/5倍。

师:在数学上,两个数量之间的相除关系还有一种新的表示方法:比(板书)。比如说,在长方形A中,长是宽的8/5倍,可以说成长和宽的比是8比5;宽是长的5/8,可以说成什么?

生:可以说成“宽和长的比是5比8”。

师:说得好。不过,同样是比较长和宽的关系,为什么一个是5比8,另一个是8比5呢?

生:5比8是宽和长的比,8比5是长和宽的比,不一样。

师:看来,用比表示两个数的关系时,这两个数的位置能随意颠倒吗?

生:不能。

(评析:因地制宜地以学校所在名城、著名风景点和历史名人的著名诗句作为素材,引导比的概念,增添了所创设教学情境的人文化色彩,显得信手拈来,十分贴切自然。教者对比的意义讲解,适时地穿插在与学生的对话之中,发挥了说明、解释、强调、补充提醒具体意义等多种教学功能。

二、辨析质疑,归纳概括比的意义。

(投影出示如下两类组比的思考素材——:

①围棋小组有男生5人,女生4人。

②一辆汽车4分钟行驶了5千米。

  你认为以上哪一组中的两个数量之间的关系可以用比来表示?请写下这个比,并想一想比出来的结果表示什么意思?如果你认为不能用比来表示,也请写出理由。

(学生独立思考,动笔书写,相互交流。)

生1:第①组中的两个数量之间的关系能用比来表示,男生和女生人数的比是5比4,女生和男生人数的比是4比5。

师:同意吗?

生:(众人异口同声):同意。

师:第②组中路程和时间的关系呢?

生1:不能。

(全班大多数人认同这一意见,个别人面露困惑,但未表示反对。)

师:请说一说你是怎么想的,为什么不能用比来表示呢?

生1:因为这两个数量的单位不相同,所以不能用比表示。

师(有意挑起争端):听起来似乎有道理,而且大多数同学都支持这个观点,但真理有时候却掌握在少数人手里,难道没有人提出反驳意见吗?

生2:(鼓起勇气)我觉得这可以说成两个数量的比。因为以前我们发现比与除法有关嘛!5千米是路程,4分钟是时间,路程与时间也能相除呀!

生3:我反对,这里5÷4的得数表示什么呢?得数表示,每分钟的千米数,它是“速度”,不表示倍数关系啊?

(生2无语、坐下。)

师:看来大家对第2题还是有争议的。路程和时间这两个数量跟前面的一组数量有很多的不同:单位不同、除得的结果不同,但是它们有没有相同之处?

生:有,它们都是用除法计算的。

师:说得真好!尽管它们有那么多的不同,但是都可以用除法比较它们之间的关系,除法运算的结果正如他说的那样,形成了一个新的量——“速度”,所以路程和时间之间的关系也能用比来表示。感谢几位同学的积极思考,大胆交流,促进了我们共同认识了比。

(学生都恍然大悟,教师继续揭示——

③物美超市的香蕉5元钱4斤。

师:请看这一组的两个数量,它们可以组成比吗?

生4:可以用比来表示,总价÷数量=单价。

师:比的结果表示什么?

生:表示“单价”。

师:你们很善于迁移思考,说得真好!刚才的几组数量,不管是两个同类的量,还是两个不同类的量,都能用比来表示它们之间的关系。请大家想一想,归纳一下:什么是比呢?

(学生小组讨论,然后汇报。)

生:比就是除法。

生:两个数量之间只要有相除关系,就能用比表示。

师:大家归纳得真好!在数学上,把两个数相除又叫做两个数的比。(板书)

(出示:④淘气买了5枝钢笔,每枝4元。)

师:这两个数量之间的关系能用比来表示吗?

生:单价和数量之间是相乘的关系,没有相除的关系,不能用“比”来表示它们的关系。

师:没错!你真棒!那么,能不能改换一下条件,使两个数量的关系能用比来表示呢?

生:可以算出总价20元,用它与数量5枝相比,或者用总价20元与每枝4元的单价相比。

师:说得真好!两个数量之间具有相除的关系,才能用比来表示。

评析:教师通过逐步揭示预设的四组数量,组织学生成功地探讨比的意义。集中力量解决学生的困惑之处,对于具有较好认识基础的同类数量的比较花费力气较少,而对于不同类的两个数量之比则舍得花大气力,认知过程组织得相当充分。其间教者引导有法,讲解有度,充分尊重学生意见,肯定其认识成果成为课堂讨论获得成功的策略保证。))

三、自学交流,认识比的各部分名称。

师:现在我们知道了比与除法联系密切,除法里有除号,比当然也要有——比号。有谁知道比号怎么写吗?(板书“:”)它与标点符号中的冒号类似。知道为什么这么写吗?其实这是一种人为规定。

(出示:十七世纪,德国数学家莱布尼兹认为,两个量的比,包含有除的意思,但又不能占用“÷”,于是他把除号中的小短线去掉,用“:”表示。后来,这种表示方法逐渐在全世界被采用。)

师:莱布尼兹的发明很有道理。比号从除号中变化出来表示了比与除法关系密切,又和除法有区别。其实,考察数学的发展历史可以发现,很多数学知识都是人为规定、约定俗成,经过某位数学家创造出来后,逐渐被大家认可,最后成为世界通用的数学语言。现在请同学们自己看书。

(学生看书自学,认识比的各部分名称,全班交流。)

1 :4= 1÷4 = 1/4

前项 比号后项比值

师:怎样求比值?

生:求比值就是用比的前项去除以后项。

师:比值通常用最简分数表示,能除尽时也可以用小数或整数表示。想一想,比的前项、后项和比值分别相当于除法算式或分数中的什么?

(小组讨论后全班交流。)

生:比的前项相当于除法算式中的被除数,也相当于分数中的分子;比的后项相当于除法算式中的除数,相当于分数中的分母;比值相当于除法中的商和分数中的分数值。

师:根据它们之间的关系,比也可以用分数的形式表示,比如:1:4可以写作1/4,读作一比四。3:5可以写作3/5,读作三比五。“分数、除法和比”的关系密切,那么,它们之间有什么区别呢?

生:分数是一种数,除法是算式,比表示相除的关系。

“比的认识”教学实录与评析 比的认识优秀教学设计

师:讲得很好!它们各有各的作用,彼此相互联系又有区别。分数是数,除法是一种运算,是求两个数的商的运算,可以用分数表示除法运算的结果。而比的定义是“两个数相除又叫做两个数的比”,表示的是一种关系。那么,为什么学了分数还要学“比”呢?这是因为分数刻画的是整体与部分量的关系,而比刻画的是部分量与部分量的关系。

评析:学生掌握的并非是一个个零散的概念,而应该是有着相互联系的一个整体。引导学生思考“除法”、“分数”、“比”这三个概念之间到底有着什么样的联系与区别,为什么它们有着这么密切的联系而还要区分理解等等。这样有利于使学生对三者之间关系更加清楚,同时也可加强对三者意义的再认识,让学生体会数学知识的紧密相连性,形成网络体系。)

四、应用拓展,深化理解比的意义。

师:在生活中,我们经常用比来表示两个数量之间的关系。

(出示:一瓶洗洁精,使用说明上写着:原液与水的比是1:2。)

师:你知道1 ∶ 2表示什么意思吗?

生1:说明水是原液的2倍。

生2:表示1份原液要加2份水。

生3:原液是水的1/2。

生4:原液占1份,水占2份,一共是3份。

师:大家理解得很正确,1:2表示两个数量之间是1份与2份的关系。如果一瓶洗洁精的质量是600克,那么,原液和水各是多少克?

生1:原液是200克,水是400克。

师:你是怎么算的?

生1:600÷3=200(克)200×2=400(克)

(出示:在足球世界杯半决赛中,巴西队以1 :2不敌荷兰队,没能进入决赛。)

师:这个比赛中的1:2和洗洁精的成分中的1:2意义一样吗?为什么?

生:不一样,体育比赛中的1:2表示的是两个队的得分情况,巴西队进了1个球,荷兰队进了2个球。而洗洁精成分中的1:2表示原液占1份,水占2份。

师:说得好!体育比赛中的比表示得分的相差关系,而数学上的比表示相除关系。

4、师:我们回过头来看看刚才观察比较的西湖图片,为什么很多同学都感觉宽和长的比是5:8照片比较美观呢?

(出示:早在100多年前,德国著名心理学家费希纳就做过类似的实验。他设计了各种比例的长方形,先后请了592人来参观,并投票选出了最美的长方形。长8宽5,长34宽21、长13宽8、长21宽13的长方形被评为最美的长方形。结果发现:这些感觉最美的长方形的宽与长的比值都接近于0.618,0.618: 1就被称为“黄金比”。当一个物体的两个部分之间的比大致符合“黄金比”时,会给人以一种优美的视觉感受。)

师:我们来算一算这个长方形的长和宽的比值是多少,5:8=5÷8=0.625,非常接近于0.618这个黄金比的比值数,所以它看起来比较美观。明白了吗?我们运用数学知识为自己的感觉找到了一个理性的证明。其实,黄金比在生活中的应用很广泛,许多建筑作品、艺术作品为了给人以美感,都是按“黄金比”来设计的。请大家欣赏图片。

(出示五角星、维纳斯女神等图片,介绍黄金比的应用。)

评析:这个环节同样是教学亮点纷呈。首先,以比的生活化应用素材带领学生来探究其含义,体现应用价值。学生理解的多元化、个性化丰富了对比的具体意义认知。进而,推出“已知总量和有关比,求各个分量的问题”这真是“上坡不觉坡”——引领学生进入了按比例分配的问题境界,为后续的教学做了有效的孕伏与铺垫。其次,教者出示了体育比赛中的比分与数学上的比进行比较,探讨其形同而实异的区别,匡正易于混淆的生活概念。最后,安排“黄金比”知识拓展,调动故事史料、计算验证、极具美感的图片欣赏等手段,舒缓认知疲劳,造成课堂“后手翘”的感受效果。)

四、课末总结(略)。

【总评】

这节成功的概念教学公开课彰显的教学特色令人印象深刻:

一是积极引导学生自探自学数学。从引入图片的比较选择,到比的具体意义的探究理解;从比的各部分名称的领会,到根据比的意义和总量对组成比的各部份量进行推算,从比与除法与分数关系的探索,到黄金比的验证,都能让学生通过自我探索,自学课本,深度参与,自主地完成认知过程。学生在这样的课堂上多方面获得学习发展满足,成就了自主地位。

二是教学精力的“好钢用到刀刃上”。在学情调研的基础上,教者明确本课教学的接受障碍和认知症结所在,做出合乎学情的科学预设,重点对两个不同类数量之比的意义反复多角度探究,由认知的趋同引向不同,再经质疑、争辩达到新的认同。抓住比的意义理解这一重点,对于“洗洁精组成比”的理解,舍得花功夫让学生个性化地表达­——有的以倍数概念来说明,有的用分数形式去表示,有的则用份数思想作解释,确保落实到位。

三是选材上突出数学文化的渗透熏陶。杭州名城的西湖美景,著名诗人的吟咏名句,黄金分割的发现掌故,著名建筑、维纳斯等形象的审美展示,这些文化元素的添加使得数学课堂的理性幻化出人文化艺术风味。

四是对教材教法的创新性突破。用长方形长宽之比引导比的组成中,加进美景图片的形象包装,比号表征形式与除法符号间渊源联系的深度挖掘,黄金分割比的实验溯源,对数学符号知识人为规定性与合理性的双重启迪,不同类数量组比的关系探究,以及体育比分两数关系解释等多处富有新意,闪现了教者教学创造性光芒。

  

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