条件概率的经典习题

一个部件经销商从仓库购买部件。这些部件要么由A供应商生产，要么由B供应商生产，但部件上没有标识出是哪家供应商供应的。每次发货或每一批的所有零件都是由一个供应商生产的。平均来看，A供应商生产的产品中有2.5%的不合格品，B供应商生产的产品中有5.0%的不合格品。

仓库声称70%的部件是A供应商生产的，30%的部件是B供应商生产的。如果经销商随机地从一批产品中抽取4个部件并发现有一个部件是不合格品，问：这批产品是A供应商生产的概率是多少？

问题：对于给定的批，随机抽取4个部件包含一个不合格件时，该批来自A供应商的概率是多少？

A. 0.4422；B. 0.5580；C. 0.6915；D. 0.3085

本题的答案为：B

解答这道题需要正确地确定几个事件。这道题中涉及到三个基本事件，事件A：“所抽取批来自于供应商A”、事件B：“所抽取批来自于供应商B”、事件D：“从一批中抽取4个部件刚好有一个不合格品”。事件A发生的概率为P(A)=0.7，事件B发生的概率为P(B)=0.3。事件D发生的概率为P(D)，事件A发生的条件下事件D发生的概率以及事件B发生的条件下事件D发生的概率分别为条件概率P(D/A)和P(D/B)，事件A和D同时发生的概率为P(AD)，事件B和D同时发生的概率为P(BD)。

P(D/A)=P(AD)/P(A)，P(A/D)=P(AD)/P(D)；P(D/B)=P(BD)/P(B)，P(B/D)=P(BD)/P(D)。

需要理解的是：事件A和B是互斥事件，事件D发生的概率应为P(D)=P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)，另外，在事件A发生的条件下事件D发生的条件概率P(D/A)服从二项式分布，P(D/A)=₄C₁ (2.5%)¹×(1-2.5%)^4-1=4×0.025×0.975³=0.092686，同理，P(D/B)=₄C₁(5%)¹×(1-5%)^4-1=4×0.05×0.95³=0.171475。

因此：P(D)= P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=0.092686×0.7+0.171475×0.3=0.116323。

现在我们再回头看看这道题所要求计算的概率是什么。需要理解的关键点在于：这道题要求计算的是在事件D发生的条件下，事件A发生的概率，也就是要求计算条件概率P(A/D)。

由此：P(A/D)=P(AD)/P(D)=(P(D/A)P(A))/P(D)=(0.092686×0.7)/0.116323=0.5580

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