条件概率的经典习题

一个部件经销商从仓库购买部件。这些部件要么由A供应商生产,要么由B供应商生产,但部件上没有标识出是哪家供应商供应的。每次发货或每一批的所有零件都是由一个供应商生产的。平均来看,A供应商生产的产品中有2.5%的不合格品,B供应商生产的产品中有5.0%的不合格品。

仓库声称70%的部件是A供应商生产的,30%的部件是B供应商生产的。如果经销商随机地从一批产品中抽取4个部件并发现有一个部件是不合格品,问:这批产品是A供应商生产的概率是多少?

问题:对于给定的批,随机抽取4个部件包含一个不合格件时,该批来自A供应商的概率是多少?

A. 0.4422;B. 0.5580;C. 0.6915;D. 0.3085

本题的答案为:B

解答这道题需要正确地确定几个事件。这道题中涉及到三个基本事件,事件A:“所抽取批来自于供应商A”、事件B:“所抽取批来自于供应商B”、事件D:“从一批中抽取4个部件刚好有一个不合格品”。事件A发生的概率为P(A)=0.7,事件B发生的概率为P(B)=0.3。事件D发生的概率为P(D),事件A发生的条件下事件D发生的概率以及事件B发生的条件下事件D发生的概率分别为条件概率P(D/A)和P(D/B),事件A和D同时发生的概率为P(AD),事件B和D同时发生的概率为P(BD)。

P(D/A)=P(AD)/P(A),P(A/D)=P(AD)/P(D);P(D/B)=P(BD)/P(B),P(B/D)=P(BD)/P(D)。

需要理解的是:事件A和B是互斥事件,事件D发生的概率应为P(D)=P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B),另外,在事件A发生的条件下事件D发生的条件概率P(D/A)服从二项式分布,P(D/A)=4C1 (2.5%)1×(1-2.5%)4-1=4×0.025×0.9753=0.092686,同理,P(D/B)=4C1(5%)1×(1-5%)4-1=4×0.05×0.953=0.171475。

因此:P(D)= P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=0.092686×0.7+0.171475×0.3=0.116323。

现在我们再回头看看这道题所要求计算的概率是什么。需要理解的关键点在于:这道题要求计算的是在事件D发生的条件下,事件A发生的概率,也就是要求计算条件概率P(A/D)。

由此:P(A/D)=P(AD)/P(D)=(P(D/A)P(A))/P(D)=(0.092686×0.7)/0.116323=0.5580

  

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