爱华网张齐华《圆的认识》课堂实录
南京市北京东路小学 张齐华
一、整体感受
师：今天这节课，我们研究时正是圆。瞧，(教师出示一个．信封)这信封里就装有一个圆，想看看吗?
生(齐)：想!
师(从中摸出一个圆)：是圆吗?
生：是。
师：现在，老师把它重新放回信封里，有信心把它从信封里摸出来吗?
生：有!
师：那当然，如果信封里只有这一个图形，谁都能摸出来。(生笑。)但问题是，信封里除了这个圆以外，还有其他平面图形。想看看吗?
生：想!
教师先后从信封中取出一些图形(如图1)，让学生一一辨认。
师：现在，要从这一堆平面图形中把圆摸出来，有难度吗?
生(齐)：没有!
师：为什么?
生：很简单呀，圆是弯弯的，而其他图形的边都是直直的。
生：圆没有角，而其他图形都有角。
师：奇怪，为什么这些图形都有角，而圆却没有呢?
生：因为这些图形都是由直线围成的……
师：不够专业。
生：哦，是由线段围咸的。
师：这就对了!我们把这些由线段围成的平面图形，叫做直线图形。直线图形都有角。圆是直线图形吗?
生：不是，它是由曲线围成的。
师：所以，圆看起来特别一
生：光滑。
生：圆润。
师：感觉真好!那么，该给这类由曲线围成的，光滑、圆润的平面图形，取个怎样的名称呢?
生：曲线图形。
师：没错!那现在，要从这一堆直线图形中把圆这个唯一的曲线图形摸出来，难不难?
生：不难。
生：找最光滑的摸就行了。
师：不过，问题可不像你们想象的那么简单。因为信封里，还有几个图形呢。 (生颇感意外。)
教师出示图2。
师：怎么样，它也是由曲线围成的吧?
生：是呀。
师：看起来也特别光滑?
生：是的。
师：看来，你们一定会把它也当做圆模出来。
生：不会!不会!
师：为什么?
生：因为圆很圆，但它不那么圆。
生：因为它有的地方凹，有的地方凸。
师：噢，这个图形看起来有些凹凸不平。而圆呢?
生：圆不会凹进去，一直向外凸着。
生：圆看起来特别饱满。
师：这个词儿好!不过(教师接着从信封里取出图3)，这儿还有一个图形，它可没有凹凸不平。怎么样，够光滑、够饱满吧?
生：嗯。
师：看来，这一回你们一定会把它当做圆摸出来了。
生：也不会!
师：为什么?
生：因为这个图形看起来扁扁的，不像圆那么鼓。
师(将椭圆旋转90°后)：现在看起来呢?
生：感觉这个图形瘦瘦的。
师：那圆呢? (教师出示圆片，并不停旋转。)感觉怎么样?
生：怎么转，看起来都一样。
生：而且，圆看起来特别匀称。
师：小小的一个游戏，无非是为了让大家认识到，和其他平面图形相比，圆的确—生：很特别。
师：没错，和这些直线图形相比——
生：圆是一个曲线图形。
师：但是，和这些曲线图形相比，圆看起来又特别——
生：光滑、饱满、匀称……
师：难怪2000多年前，伟大的古希腊数学家毕达哥拉斯在研究完大量的平面图形后，发出这样的感慨：在一切平面图形中，圆最美。而且，2000多年过去了，这一观点得到了越来越多的数学家乃至普通大众的认可。那么，圆究竟美在哪儿?更进一步地，究竟是什么内在的原因，使得圆这种平面图形看起来这样光滑、饱满、匀称，以至于成为所有平面图形中最美的一个?就让我们一起带着问题，深入地认识圆；研究圆。
二、寻根究底
师：圆的美，光靠看是不够的，咱还得动手来画。因为，画圆的过程，正是我们体会它的特点、发现它的美的过程。(教师简单介绍圆规的构造后)课前，老师布置同学们试着用圆规画过圆。现在，请大家试着在白纸上画一个圆。(学生用圆规画圆，教师巡视。)
师：应该说，绝大多数同学画得都很棒。不过，也有失败的作品。瞧，这个圆显然变形了，这个则咧着嘴。大胆地猜一猜，这些同学之所以没能成功地用圆规画出一个圆，可能在哪儿出问题了?
生：可能是画圆时，圆规的脚移动了。
师：不动，怎么画出圆呀?
(生笑。)
生：是装有针尖的脚动了!
师：那你得说清楚呀。同学们，你们觉得，针尖所在的脚能随便动吗?
生：不能!一动，画出的圆一定会咧开嘴巴。
师：你试过?
生：是的!我失败过好几次呢。
师：经验之谈呀!当然，也有同学画圆时，圆规两脚都没动，但也画出圆来了，你们猜——
生：我知道!一定是圆规不转，纸转。
师：奇怪，你怎么知道?
生：我就这么试过。
师：看来，用圆规画圆时，针尖得固定，这是宝贵的经验。还有其他可能吗?
生：也可能是他们画圆时，圆规两脚的夹角的角度变了。
师：角度变了，也就意味着——
生：圆规两脚之间的距离变了。
师：看来，用圆规画圆时，两脚之间的距离不能变。现在，掌握了这些要求，有没有信心比刚才画得更好?
生：有! (不少学生拿起圆规急着要画。)
师：别着急!数学学习光会动手还不够，咱还得——
生：动脑。
师：心有灵犀呀!第二次用圆规画圆时，请大家边画边思考：如果方法完全正确，用手中的圆规会不会画出这样一会儿凹、一会儿凸的曲线图形?或者是扁扁的椭圆?
(教师依次指图2、图3。)
生：不会!
师：先别忙着下结论，还是带着这些问题，边画边细细体会吧!
(学生操作。教师巡视，了解学生的感受与思考。)
师：为什么画不出这样的曲线图形，相信不少同学已经有了答案。不过，为了使大家感受更鲜明，我打算在黑板上也来画一个。(教师画完半个圆后，停下。)想象一下，照这样画下去，会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形吗?
生：不会。
师：会画出扁扁的椭圆吗?
生：也不会。
师：为什么?
生：因为圆规两脚间的距离没有变。
师：哪儿到哪儿的距离没有变?
生：就是从这儿(手指圆上的点)到这儿(手指圆心)的距离没 有变。只要距离不变，就不会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形了。
师：光这样说好像有点抽象。你能不能把这一不变的距离用一条线段表示出来? (学生上台，连接圆上任选一点与圆心，得到一条线段。)
师：可别小看这条线段，在这个圆里，它可是起着至关重要的决定性作用。有谁了解这条线段?
生：这条线段叫做半径，可以用小写字母r表示。
(教师板书，并引导学生在自己的圆内画出一条半径，标上字母r。)
师：有没有补充?
生：半径的一端连着圆心，另一端在圆上。
师：说得好!圆心是圆规画圆时针尖留下的，可以用字母O示。更准确地说，半径的另一端在圆上。(教师板书，并引导学生在自己的圆上标出圆心及字母O。)
师：关于半径，你们还知道些什么?
生：圆应该不只有一条半径。
生：圆有无数条半径。
生：半径的长度都相等。
师：看来，关于半径，同学们的发现还真不少。但是，没有经过思维考量的数学直觉，算不上真正的数学知识。刚才有人说，圆有无数条半径，同意的请举手。
(全班学生都举起了手)不过，为什么呢? (一只只举起的手慢慢放了下来。)
师：原来，大家都是蒙的!不过还好，至少还有几只手直到现在还举着。要不，先来听听他们的声音，或许你会从中受到启发。
生：刚才我只画了一条，但如果我们继续画下去，永远也画不完，所以应该有无数条。
师：都同意?
生：同意!
师：有人就不同意。这是我自己班上的小陈同学在学完《圆的认识》后回去做的一次小实验(教师呈现在半径5厘米的圆上画得密密麻麻的半径)。瞧，他在这么大的圆里画满了半径，最后一数，才524条。不对呀，不是说无数条吗?
生：我觉得他的圆太小了，要是再大一点，那么画的半径就更多了。
师：哦，你是说大圆的半径有无数条，而小圆的半径则未必?(生一时语塞。)
生：不对，大圆小圆的半径都应该是无数条。我想，主要是这位同学用的铅笔太粗了。如果用细一半的铅笔画，应该可以画一千多条；如果用再细一半的铅笔画，半径就有两千多条。这样不断地细下去，最终可以画出无数条半径。
师：多富有想象力呀!半径可以不断地细下去，直到无穷无尽。这样想来，半径当然应该有——
生：无数条。
生：我还有补充。因为半径是从圆上任意一点发出的，所以圆有无数条半径。
师：什么叫任意?
生：随便。
师：那么，在一个圆上有多少个这样随便的点?
生：无数个。
生：有一个点，就能连出一条半径。有无数个点，就能连出无数条半径。
师：回过头来看看，同样是无数条半径，经过我们的深入思考，大家感觉怎么样?
生：我觉得更清楚了。
生：原来只是—种感觉，现在真正理解了。
师：数学学习可不能只浮子表面，或停留于直觉，还得学会问为什么。只有这样，数学思考才会不断走向深入。关于半径，还有其他新的发现吗?
生：它们的长度都相等。
师：同意的举手。 (全班学生又一次都举起了手。)了不起!不过——
生：为什么? (话还没说完，一大半学生就放下了手。听课教师大笑。)
师：有这样的追问意识挺好!不过，光等着别人来回答也不是个办法。这样吧，我稍作提醒：课前，数学老师让咱们都带了直尺，猜猜为什么?
生：可以量。 (学生操作后，发现圆的半径的确都相等。)
生：其实根本不用量。因为画圆时，圆规两脚的距离一直不变，而两脚的距离其实就是半径的长，所以半径的长度当然处处相等。
师：多妙的思路1看来，画一画、量一量是一种办法，而借助圆规画圆的方法进行推理，同样能得出结论。通过刚才的研究，关于半径，我们已有了哪些结论?
生：半径有无数条，它们的长度都相等。
师：其实，关子圆，早在2000多年前，我国古代伟大的思想家墨子也得出过和我们相似的结论。只不过，他的结论是用古文描述的，不知道你们能不能看懂? (课件出示： “圆，一中同长也。”)生：一中，应该是指圆心。
师：没错。圆心，正是圆的中心。那同长——
生：应该是指半径同样长!
师：这样看来，墨子得出的结论和我们刚才得出的——
生：完全一样。
师：不过，也有人指出，这里的“同长”除了指半径同样长以 外，还可能指——
生：直径同样长。
师：没错。 (板书：直径。)连接圆心和圆上某一点的线段叫半径。那么，怎样的线段叫直径呢?(少数学生举手。)我猜，多数同学不是不知道，而是不会用语言来描述，是这样吗? (多数学生连连点头。)那么，你们能用手比画出一条直径吗? (学生比画。)
师：刚才的半径是同学们画的。这回，我自己来试试。 (教师故意将直尺摆放在偏离圆心的位置，提笔欲画。)
生：老师，您的直尺放错位置啦，应该放在圆心上。
师：哦，，原来是这样。 (教师调整好直尺的位置，并从圆上某点开始画，画到圆心时停下。)
生：错!
生：这是一条半径呢，还得继续往下画。
教师继续往下画，眼看就要画到圆上时，不露痕迹地停下了笔。
生：对!
生：不对!是错的。我们上当了。
师：怎么又反悔了?
生：还没到头，还得再往前画一点点。
教师继续往下画。就在学生喊“对”时，教师又悄悄地往前画了一小段。
生：对!
生：不对!出头啦。
师：一会儿对，一会儿错，都给你们弄糊涂了。画直径到底得注意些什么呢?
生：得通过圆心。
生：两头都要在圆上。
生：还不能出头。
师：这就对啦!数学上，我们把通过圆心、两端都在圆上的线段叫做直径。直径通常用字母d表示(板书：d)。请在你的圆上画出一条直径，标上字母d。 (学生操作。)
师：半径的特点已经研究过了，直径又有哪些特点呢?大家可以和半径比较着研究。半径有无数条，那么——
生：直径也有无数条。
师：半径的长度都相等，那么——
生：直径的长度也都相等。
师：直径有无数条，我们就不必去探讨了，原因和半径差不多。直径的长度都相等，为什么呢?
生：我们是量的，发现直径的长度都是6厘米。
师：瞧，动手操作又一次帮助我们获得了结论。
生：不用量也行。我们发现，每一条直径里面都有两条半径，半径的长度都相等，那么，直径的长度当然也都相等。
师：在我们看来，这只是一条直径，但在他的眼里，还看出了两条半径，多厉害!尤其是，他的发现还帮助我们获得了一个新的结论，那就是，在同一个圆里，直径和半径是有关系的。谁能用最简洁的语言描述出它们之间的关系?
生：直径是半径的两倍。
师：挺好。还能更简洁吗?
生：半径x2：直径。
师：的确又简洁了些。还能更简洁吗? (无人举手。)想想它们的字母——
生：我知道了，d=2r。
师：这就是数学语言的魅力!同学们可千万别小看这个结论。(教师课件出示图4)试想一下，如果在一个圆里，圆的半径不是都相等的，而是有的长、有的短，最后连起来的还会是一个光滑、饱满、匀称的圆(指着图4)吗?
生：那样的话，就会凹凸不平了。
师：是什么内在的原因，才使得圆看起来这么光滑、饱满、匀称?
生：是半径的长度都相等。
师：正因为在同一个圆里，半径的长度处处相等，才使得圆看起来如此光滑、饱满、匀称。圆的美，其内在原因也正在于此。
三、沟通联结
师：在同一个平面图形中，具有这样等长线段的不是只有圆。瞧，这是一个正三角形(见图5中的第1个图形)，从它的中心出发，连接3个顶点，这3条线段的长度——
生：都一样。
师：这样的线段一共有3条。再来看正方形(见图5中的第2个图形)，这样的线段有几条?
生：4条。
师：正五边形(见图5中的第3个图形)呢?
生：5条。
师：正六边形(见图5中的第4个图形)呢?
生：6条。
师：正八边形(见图5中的第 5个图形)呢?
生：8条。
师：圆有多少条?
生：无数条。
师：难怪有人说，圆其实是一个——
生(底气不足)：正无数边形。
师：多有意思的描述呀[刚才，我们是一个一个来观察的，下面，我们再完整地来看一看(呈现图5)。
……
师：从正三角形到正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，随着正多边形边数的不断增加，你们发现了什么?
生：它们一个比一个更像圆。
师：哪个图形最像?
生：正八边形。
师：不过，毕竟离圆还有一些距离。要怎样，才能更接近圆?
生：边数要再多一些，一定会更接近。
师：真会这样吗?想不想通过实验来验证一下? (教师借助简化后的几何画板依次画出正十六边形、正三十二边形、正一百边形，并引导学生观察边的变化。当画出正一百边形时——)
生：哇，真是太圆了。
师：这才是正一百边形呢。想象一下，如果是正一千边形、正一万边形，甚至正二亿边形……直到无穷无尽，这时——
生：它就是一个圆了。
师：如果我们把这些正多边形排成一排，正三角形站第1个，正方形站第2个，正五边形站第3个……这样排下去，猜猜看，这个队伍的最远方站着的应该是谁?
生：圆。
师：不对呀，这些都是直线图形，圆是曲线图形，跑来干嘛?
(学生一时不知如何回答。)这里涉及更高深的数学知识，到了中学、大学，相信同学们一定会有更深入的了解。
师：这个圆片没有标出圆心。既然圆心都没有标，它的半径是多少呢?能想办法测量出来吗? (学生操作，随后交流。)
生：我们组把一个圆对折，折痕就是它的直径。量出直径的长度后再除以2，就求出了半径的长度。半径是3厘米。
师：可别小看这一方法。正是这一对折、一重合，还让我们在不经意间发现了圆的另一个秘密，那就是，圆其实还是一个——
生：轴对称图形。
生：而且，；圆还有无数条对称轴。
师：也就是说，和其他轴对称图形相比，圆还具有无穷对称性。还有别的方法吗?
生：我们组把一个圆对折后再对折，一展开，两条折痕的交点就是圆心，找出圆心后，半径就能量出来了。我手中的圆半径是5厘米。
生：其实不用展开，直接量出这条边的长，就是半径的长。我们组的圆半径正好是4厘米。
师：不是说圆的半径都相等吗?同学们手中的圆，半径有的是3厘米，有的是4厘米，还有的是5厘米。这是为什么?
生：说半径相等，指的是在同一个圆里，大家的圆大小不同，半径当然也就不等了。师：那么，同学们手中的圆，哪个最大，哪个最小?
生：半径5厘米的最大，半径3厘米的最小。
师：是不是这样呢?让我们举起来，互相看看，比比。 (生举起手中的圆)。看来，圆的大小和什么有关?
生：和半径有关。
师：半径越长，；圆——
生：越大。半径越短， 圆越小。，
师：刚才，有同学悄悄地说，这些圆的圆心都没标，应该不是用圆规画出来的。你们觉得呢?
生：是的，如果用圆规画的话，应该会留下一个针眼；
师：那不用圆规，我会是怎样画出这些圆的呢?
生：用一只碗扣在白纸上，然后沿着碗边描一圈画出来的。
师：依葫芦画瓢?有想象力！但很遗憾，不对。
生：可能是用一根绳子的一端拴着铅笔，另一端固定，然后把铅笔绕一圈画出来的。
师：很有创意的想法，简直就是一把简易的圆规。但很遗憾，还是不对！
生：我知道了，你是先画一条线段，然后换一个方向再画一条同样长的线段，然后再换方向画下去，最后把这些线段的端点连起来，就画咸了一个圆。
师：你太有想象力了!待会儿的学习中；我们将一起来验证你的这一想法。行了，不用再猜了，答案其实就藏在这里。 (教师打开WORD文档，并利用画图工具画出了一个标准的圆。)
生(恍然大悟)：哦，原来是用电脑画的！
师：可问题又来了。这样画圆，大小很随意，半径怎么可能正好是3厘米、4厘米或5厘米呢?难不成，我是用直尺在屏幕上量的?
生(笑)：不可能!
师：别着急，继续往下看就知道了——(教师双击画图工具里的圆，出现了一个对话框，其中有高度和宽度两个项目。)想一想，对 于圆来说，高度意味着什么?
生：它的直径。
师：现在，要画一个半径3厘米的圆，高度得调整为多少?
生：3厘米。
生：不对，应该是6厘米。
教师将高度调整为6厘米，电脑里竟然出现了一个椭圆。
生：还得调整宽度。
教师将宽度也调整为6厘米，画出一个圆。
师：用同样的方法，能画出半径4厘米、5厘米的圆吗?
生：能，只要依次把高度和宽度都调整为8厘米、10厘米就行了。
师：古人云，“没有规矩，不成方圆”。最初的意思是说，没有圆规是画不出圆的。现在看来，不用圆规，真的就画不出圆了吗?
生：不对，画圆其实还有很多种方法。
师：当然，话还得说回来，在所有这些方法中，用圆规画圆仍然是最常用的一种。 (教师引导学生在用圆规画半径为3厘米、4厘米、5厘米的圆的过程中进一步体验“圆规两脚间的距离等于半径的长”。)
四、审美延展
师：最后，让我们再一次回到平面图形的世界，感受圆与其他图形错综复杂的关系。瞧，这里有一个正三角形，现在，我们沿着它的中心把它稍作旋转(出示图6)。旋转以后的三角形与原来的三角形有没有完全重合?
生：没有。
师：不行，我还得再旋转一次。
生：还是没有。
师：再来看圆。想象一下，如果我们沿着圆心把圆也旋转一下，情况又会怎样?
生：不管怎么转，都会重合。
师：是不是这样呢?来，拿出刚才的圆，用铅笔尖抵住圆心，并按在桌面上，轻轻转一转。(学生操作。)我们把圆的这一特点叫做旋转不变性。那么，三角形具有旋转不变性吗?
生：没有。
师：不过别遗憾。如果我们按照特定的角度继续把这个三角形旋转下去，情况又会怎样呢?让我们拭目以待。(课件演示，最终呈现图7。)
生(惊讶)：哇，太棒了，居然是一个圆!
生：不对，是一个近似的圆。
师：瞧，直线图形转着转着，又回到了圆，真有意思。不过，刚才我们是绕着平面图形的中心点旋转的。如果绕着其他点旋转，还会出现这样近似的圆吗?
生：应该不会?
生(声音很小)：可能会。
师：会还是不会，还是用事实来说话吧[瞧，这是一个正方形。现在，我们绕着它的一个顶点旋转(课件演示旋转过程，最终呈现图8)
生(不可思议)：居然也行！
生：好漂亮！
师：更漂亮的还在后面呢!
(课件呈现图9、图10。)
生：哇!
师：别光顾着感叹，能看出这两幅图是由什么图形旋转而成的吗?
生：椭圆。
生：线段。
师：想不想看看线段是怎样旋转成图10这样美妙的图案的?
生：想!
师：观察时，请大家牢牢盯住线段的两个端点，看看线段旋转时，这两个端点是沿着怎样的轨迹移动的。
教师利用课件演示线段旋转的完整过程，学生根据观察到的情形，用手比画线段端点移动的轨迹。
师：其实，所谓圆，就是某个点沿着特殊路线运动后留下的轨迹。到了中学，同学们就会明白。我们还接触了其他平面图形，如长方形、梯形、平行四边形，甚至还有不规则的曲线图。这些图形如果绕着其中的某一点旋转，会不会也出现和圆有关的美妙图案呢?课后动手去试一试吧!相信，一定会有更多的惊喜在等待着大家
