张齐华《圆的认识》 张齐华圆的认识教案

张齐华《圆的认识》课堂实录

南京市北京东路小学 张齐华

一、整体感受

师:今天这节课,我们研究时正是圆。瞧,(教师出示一个.信封)这信封里就装有一个圆,想看看吗?

生(齐):想!

师(从中摸出一个圆):是圆吗?

生:是。

师:现在,老师把它重新放回信封里,有信心把它从信封里摸出来吗?

生:有!

师:那当然,如果信封里只有这一个图形,谁都能摸出来。(生笑。)但问题是,信封里除了这个圆以外,还有其他平面图形。想看看吗?

生:想!

教师先后从信封中取出一些图形(如图1),让学生一一辨认。

师:现在,要从这一堆平面图形中把圆摸出来,有难度吗?

生(齐):没有!

师:为什么?

生:很简单呀,圆是弯弯的,而其他图形的边都是直直的。

生:圆没有角,而其他图形都有角。

师:奇怪,为什么这些图形都有角,而圆却没有呢?

生:因为这些图形都是由直线围成的……

师:不够专业。

生:哦,是由线段围咸的。

师:这就对了!我们把这些由线段围成的平面图形,叫做直线图形。直线图形都有角。圆是直线图形吗?

生:不是,它是由曲线围成的。

师:所以,圆看起来特别一

生:光滑。

生:圆润。

师:感觉真好!那么,该给这类由曲线围成的,光滑、圆润的平面图形,取个怎样的名称呢?

生:曲线图形。

师:没错!那现在,要从这一堆直线图形中把圆这个唯一的曲线图形摸出来,难不难?

生:不难。

生:找最光滑的摸就行了。

师:不过,问题可不像你们想象的那么简单。因为信封里,还有几个图形呢。 (生颇感意外。)

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教师出示图2。

师:怎么样,它也是由曲线围成的吧?

生:是呀。

师:看起来也特别光滑?

生:是的。

师:看来,你们一定会把它也当做圆模出来。

生:不会!不会!

师:为什么?

生:因为圆很圆,但它不那么圆。

生:因为它有的地方凹,有的地方凸。

师:噢,这个图形看起来有些凹凸不平。而圆呢?

生:圆不会凹进去,一直向外凸着。

生:圆看起来特别饱满。

师:这个词儿好!不过(教师接着从信封里取出图3),这儿还有一个图形,它可没有凹凸不平。怎么样,够光滑、够饱满吧?

生:嗯。

师:看来,这一回你们一定会把它当做圆摸出来了。

生:也不会!

师:为什么?

生:因为这个图形看起来扁扁的,不像圆那么鼓。

师(将椭圆旋转90°后):现在看起来呢?

生:感觉这个图形瘦瘦的。

师:那圆呢? (教师出示圆片,并不停旋转。)感觉怎么样?

生:怎么转,看起来都一样。

生:而且,圆看起来特别匀称。

师:小小的一个游戏,无非是为了让大家认识到,和其他平面图形相比,圆的确—生:很特别。

师:没错,和这些直线图形相比——

生:圆是一个曲线图形。

师:但是,和这些曲线图形相比,圆看起来又特别——

生:光滑、饱满、匀称……

师:难怪2000多年前,伟大的古希腊数学家毕达哥拉斯在研究完大量的平面图形后,发出这样的感慨:在一切平面图形中,圆最美。而且,2000多年过去了,这一观点得到了越来越多的数学家乃至普通大众的认可。那么,圆究竟美在哪儿?更进一步地,究竟是什么内在的原因,使得圆这种平面图形看起来这样光滑、饱满、匀称,以至于成为所有平面图形中最美的一个?就让我们一起带着问题,深入地认识圆;研究圆。

二、寻根究底

师:圆的美,光靠看是不够的,咱还得动手来画。因为,画圆的过程,正是我们体会它的特点、发现它的美的过程。(教师简单介绍圆规的构造后)课前,老师布置同学们试着用圆规画过圆。现在,请大家试着在白纸上画一个圆。(学生用圆规画圆,教师巡视。)

师:应该说,绝大多数同学画得都很棒。不过,也有失败的作品。瞧,这个圆显然变形了,这个则咧着嘴。大胆地猜一猜,这些同学之所以没能成功地用圆规画出一个圆,可能在哪儿出问题了?

生:可能是画圆时,圆规的脚移动了。

师:不动,怎么画出圆呀?

(生笑。)

生:是装有针尖的脚动了!

师:那你得说清楚呀。同学们,你们觉得,针尖所在的脚能随便动吗?

生:不能!一动,画出的圆一定会咧开嘴巴。

师:你试过?

生:是的!我失败过好几次呢。

师:经验之谈呀!当然,也有同学画圆时,圆规两脚都没动,但也画出圆来了,你们猜——

生:我知道!一定是圆规不转,纸转。

师:奇怪,你怎么知道?

生:我就这么试过。

师:看来,用圆规画圆时,针尖得固定,这是宝贵的经验。还有其他可能吗?

生:也可能是他们画圆时,圆规两脚的夹角的角度变了。

师:角度变了,也就意味着——

生:圆规两脚之间的距离变了。

师:看来,用圆规画圆时,两脚之间的距离不能变。现在,掌握了这些要求,有没有信心比刚才画得更好?

生:有! (不少学生拿起圆规急着要画。)

师:别着急!数学学习光会动手还不够,咱还得——

生:动脑。

师:心有灵犀呀!第二次用圆规画圆时,请大家边画边思考:如果方法完全正确,用手中的圆规会不会画出这样一会儿凹、一会儿凸的曲线图形?或者是扁扁的椭圆?

(教师依次指图2、图3。)

生:不会!

师:先别忙着下结论,还是带着这些问题,边画边细细体会吧!

(学生操作。教师巡视,了解学生的感受与思考。)

师:为什么画不出这样的曲线图形,相信不少同学已经有了答案。不过,为了使大家感受更鲜明,我打算在黑板上也来画一个。(教师画完半个圆后,停下。)想象一下,照这样画下去,会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形吗?

生:不会。

师:会画出扁扁的椭圆吗?

生:也不会。

师:为什么?

生:因为圆规两脚间的距离没有变。

师:哪儿到哪儿的距离没有变?

生:就是从这儿(手指圆上的点)到这儿(手指圆心)的距离没 有变。只要距离不变,就不会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形了。

师:光这样说好像有点抽象。你能不能把这一不变的距离用一条线段表示出来? (学生上台,连接圆上任选一点与圆心,得到一条线段。)

师:可别小看这条线段,在这个圆里,它可是起着至关重要的决定性作用。有谁了解这条线段?

生:这条线段叫做半径,可以用小写字母r表示。

(教师板书,并引导学生在自己的圆内画出一条半径,标上字母r。)

师:有没有补充?

生:半径的一端连着圆心,另一端在圆上。

师:说得好!圆心是圆规画圆时针尖留下的,可以用字母O示。更准确地说,半径的另一端在圆上。(教师板书,并引导学生在自己的圆上标出圆心及字母O。)

师:关于半径,你们还知道些什么?

生:圆应该不只有一条半径。

生:圆有无数条半径。

生:半径的长度都相等。

师:看来,关于半径,同学们的发现还真不少。但是,没有经过思维考量的数学直觉,算不上真正的数学知识。刚才有人说,圆有无数条半径,同意的请举手。

(全班学生都举起了手)不过,为什么呢? (一只只举起的手慢慢放了下来。)

师:原来,大家都是蒙的!不过还好,至少还有几只手直到现在还举着。要不,先来听听他们的声音,或许你会从中受到启发。

生:刚才我只画了一条,但如果我们继续画下去,永远也画不完,所以应该有无数条。

师:都同意?

生:同意!

师:有人就不同意。这是我自己班上的小陈同学在学完《圆的认识》后回去做的一次小实验(教师呈现在半径5厘米的圆上画得密密麻麻的半径)。瞧,他在这么大的圆里画满了半径,最后一数,才524条。不对呀,不是说无数条吗?

生:我觉得他的圆太小了,要是再大一点,那么画的半径就更多了。

师:哦,你是说大圆的半径有无数条,而小圆的半径则未必?(生一时语塞。)

生:不对,大圆小圆的半径都应该是无数条。我想,主要是这位同学用的铅笔太粗了。如果用细一半的铅笔画,应该可以画一千多条;如果用再细一半的铅笔画,半径就有两千多条。这样不断地细下去,最终可以画出无数条半径。

师:多富有想象力呀!半径可以不断地细下去,直到无穷无尽。这样想来,半径当然应该有——

生:无数条。

生:我还有补充。因为半径是从圆上任意一点发出的,所以圆有无数条半径。

师:什么叫任意?

生:随便。

师:那么,在一个圆上有多少个这样随便的点?

生:无数个。

生:有一个点,就能连出一条半径。有无数个点,就能连出无数条半径。

师:回过头来看看,同样是无数条半径,经过我们的深入思考,大家感觉怎么样?

生:我觉得更清楚了。

生:原来只是—种感觉,现在真正理解了。

师:数学学习可不能只浮子表面,或停留于直觉,还得学会问为什么。只有这样,数学思考才会不断走向深入。关于半径,还有其他新的发现吗?

生:它们的长度都相等。

师:同意的举手。 (全班学生又一次都举起了手。)了不起!不过——

生:为什么? (话还没说完,一大半学生就放下了手。听课教师大笑。)

师:有这样的追问意识挺好!不过,光等着别人来回答也不是个办法。这样吧,我稍作提醒:课前,数学老师让咱们都带了直尺,猜猜为什么?

生:可以量。 (学生操作后,发现圆的半径的确都相等。)

生:其实根本不用量。因为画圆时,圆规两脚的距离一直不变,而两脚的距离其实就是半径的长,所以半径的长度当然处处相等。

师:多妙的思路1看来,画一画、量一量是一种办法,而借助圆规画圆的方法进行推理,同样能得出结论。通过刚才的研究,关于半径,我们已有了哪些结论?

生:半径有无数条,它们的长度都相等。

师:其实,关子圆,早在2000多年前,我国古代伟大的思想家墨子也得出过和我们相似的结论。只不过,他的结论是用古文描述的,不知道你们能不能看懂? (课件出示: “圆,一中同长也。”)生:一中,应该是指圆心。

师:没错。圆心,正是圆的中心。那同长——

生:应该是指半径同样长!

师:这样看来,墨子得出的结论和我们刚才得出的——

生:完全一样。

师:不过,也有人指出,这里的“同长”除了指半径同样长以 外,还可能指——

生:直径同样长。

师:没错。 (板书:直径。)连接圆心和圆上某一点的线段叫半径。那么,怎样的线段叫直径呢?(少数学生举手。)我猜,多数同学不是不知道,而是不会用语言来描述,是这样吗? (多数学生连连点头。)那么,你们能用手比画出一条直径吗? (学生比画。)

师:刚才的半径是同学们画的。这回,我自己来试试。 (教师故意将直尺摆放在偏离圆心的位置,提笔欲画。)

生:老师,您的直尺放错位置啦,应该放在圆心上。

师:哦,,原来是这样。 (教师调整好直尺的位置,并从圆上某点开始画,画到圆心时停下。)

生:错!

生:这是一条半径呢,还得继续往下画。

教师继续往下画,眼看就要画到圆上时,不露痕迹地停下了笔。

生:对!

生:不对!是错的。我们上当了。

师:怎么又反悔了?

生:还没到头,还得再往前画一点点。

教师继续往下画。就在学生喊“对”时,教师又悄悄地往前画了一小段。

生:对!

生:不对!出头啦。

师:一会儿对,一会儿错,都给你们弄糊涂了。画直径到底得注意些什么呢?

生:得通过圆心。

生:两头都要在圆上。

生:还不能出头。

师:这就对啦!数学上,我们把通过圆心、两端都在圆上的线段叫做直径。直径通常用字母d表示(板书:d)。请在你的圆上画出一条直径,标上字母d。 (学生操作。)

师:半径的特点已经研究过了,直径又有哪些特点呢?大家可以和半径比较着研究。半径有无数条,那么——

生:直径也有无数条。

师:半径的长度都相等,那么——

生:直径的长度也都相等。

师:直径有无数条,我们就不必去探讨了,原因和半径差不多。直径的长度都相等,为什么呢?

生:我们是量的,发现直径的长度都是6厘米。

师:瞧,动手操作又一次帮助我们获得了结论。

生:不用量也行。我们发现,每一条直径里面都有两条半径,半径的长度都相等,那么,直径的长度当然也都相等。

师:在我们看来,这只是一条直径,但在他的眼里,还看出了两条半径,多厉害!尤其是,他的发现还帮助我们获得了一个新的结论,那就是,在同一个圆里,直径和半径是有关系的。谁能用最简洁的语言描述出它们之间的关系?

生:直径是半径的两倍。

师:挺好。还能更简洁吗?

生:半径x2:直径。

师:的确又简洁了些。还能更简洁吗? (无人举手。)想想它们的字母——

生:我知道了,d=2r。

师:这就是数学语言的魅力!同学们可千万别小看这个结论。(教师课件出示图4)试想一下,如果在一个圆里,圆的半径不是都相等的,而是有的长、有的短,最后连起来的还会是一个光滑、饱满、匀称的圆(指着图4)吗?

生:那样的话,就会凹凸不平了。

师:是什么内在的原因,才使得圆看起来这么光滑、饱满、匀称?

生:是半径的长度都相等。

师:正因为在同一个圆里,半径的长度处处相等,才使得圆看起来如此光滑、饱满、匀称。圆的美,其内在原因也正在于此。

三、沟通联结

师:在同一个平面图形中,具有这样等长线段的不是只有圆。瞧,这是一个正三角形(见图5中的第1个图形),从它的中心出发,连接3个顶点,这3条线段的长度——

生:都一样。

师:这样的线段一共有3条。再来看正方形(见图5中的第2个图形),这样的线段有几条?

生:4条。

师:正五边形(见图5中的第3个图形)呢?

生:5条。

师:正六边形(见图5中的第4个图形)呢?

生:6条。

师:正八边形(见图5中的第 5个图形)呢?

生:8条。

师:圆有多少条?

生:无数条。

师:难怪有人说,圆其实是一个——

生(底气不足):正无数边形。

师:多有意思的描述呀[刚才,我们是一个一个来观察的,下面,我们再完整地来看一看(呈现图5)。

……

师:从正三角形到正四边形、正五边形、正六边形、正八边形,随着正多边形边数的不断增加,你们发现了什么?

生:它们一个比一个更像圆。

师:哪个图形最像?

生:正八边形。

师:不过,毕竟离圆还有一些距离。要怎样,才能更接近圆?

生:边数要再多一些,一定会更接近。

师:真会这样吗?想不想通过实验来验证一下? (教师借助简化后的几何画板依次画出正十六边形、正三十二边形、正一百边形,并引导学生观察边的变化。当画出正一百边形时——)

生:哇,真是太圆了。

师:这才是正一百边形呢。想象一下,如果是正一千边形、正一万边形,甚至正二亿边形……直到无穷无尽,这时——

生:它就是一个圆了。

师:如果我们把这些正多边形排成一排,正三角形站第1个,正方形站第2个,正五边形站第3个……这样排下去,猜猜看,这个队伍的最远方站着的应该是谁?

生:圆。

师:不对呀,这些都是直线图形,圆是曲线图形,跑来干嘛?

(学生一时不知如何回答。)这里涉及更高深的数学知识,到了中学、大学,相信同学们一定会有更深入的了解。

师:这个圆片没有标出圆心。既然圆心都没有标,它的半径是多少呢?能想办法测量出来吗? (学生操作,随后交流。)

生:我们组把一个圆对折,折痕就是它的直径。量出直径的长度后再除以2,就求出了半径的长度。半径是3厘米。

师:可别小看这一方法。正是这一对折、一重合,还让我们在不经意间发现了圆的另一个秘密,那就是,圆其实还是一个——

生:轴对称图形。

生:而且,;圆还有无数条对称轴。

师:也就是说,和其他轴对称图形相比,圆还具有无穷对称性。还有别的方法吗?

生:我们组把一个圆对折后再对折,一展开,两条折痕的交点就是圆心,找出圆心后,半径就能量出来了。我手中的圆半径是5厘米。

生:其实不用展开,直接量出这条边的长,就是半径的长。我们组的圆半径正好是4厘米。

师:不是说圆的半径都相等吗?同学们手中的圆,半径有的是3厘米,有的是4厘米,还有的是5厘米。这是为什么?

生:说半径相等,指的是在同一个圆里,大家的圆大小不同,半径当然也就不等了。师:那么,同学们手中的圆,哪个最大,哪个最小?

生:半径5厘米的最大,半径3厘米的最小。

师:是不是这样呢?让我们举起来,互相看看,比比。 (生举起手中的圆)。看来,圆的大小和什么有关?

生:和半径有关。

师:半径越长,;圆——

生:越大。半径越短, 圆越小。,

师:刚才,有同学悄悄地说,这些圆的圆心都没标,应该不是用圆规画出来的。你们觉得呢?

生:是的,如果用圆规画的话,应该会留下一个针眼;

师:那不用圆规,我会是怎样画出这些圆的呢?

生:用一只碗扣在白纸上,然后沿着碗边描一圈画出来的。

师:依葫芦画瓢?有想象力!但很遗憾,不对。

生:可能是用一根绳子的一端拴着铅笔,另一端固定,然后把铅笔绕一圈画出来的。

师:很有创意的想法,简直就是一把简易的圆规。但很遗憾,还是不对!

生:我知道了,你是先画一条线段,然后换一个方向再画一条同样长的线段,然后再换方向画下去,最后把这些线段的端点连起来,就画咸了一个圆。

师:你太有想象力了!待会儿的学习中;我们将一起来验证你的这一想法。行了,不用再猜了,答案其实就藏在这里。 (教师打开WORD文档,并利用画图工具画出了一个标准的圆。)

生(恍然大悟):哦,原来是用电脑画的!

师:可问题又来了。这样画圆,大小很随意,半径怎么可能正好是3厘米、4厘米或5厘米呢?难不成,我是用直尺在屏幕上量的?

生(笑):不可能!

师:别着急,继续往下看就知道了——(教师双击画图工具里的圆,出现了一个对话框,其中有高度和宽度两个项目。)想一想,对 于圆来说,高度意味着什么?

生:它的直径。

师:现在,要画一个半径3厘米的圆,高度得调整为多少?

生:3厘米。

生:不对,应该是6厘米。

教师将高度调整为6厘米,电脑里竟然出现了一个椭圆。

生:还得调整宽度。

教师将宽度也调整为6厘米,画出一个圆。

师:用同样的方法,能画出半径4厘米、5厘米的圆吗?

生:能,只要依次把高度和宽度都调整为8厘米、10厘米就行了。

师:古人云,“没有规矩,不成方圆”。最初的意思是说,没有圆规是画不出圆的。现在看来,不用圆规,真的就画不出圆了吗?

生:不对,画圆其实还有很多种方法。

师:当然,话还得说回来,在所有这些方法中,用圆规画圆仍然是最常用的一种。 (教师引导学生在用圆规画半径为3厘米、4厘米、5厘米的圆的过程中进一步体验“圆规两脚间的距离等于半径的长”。)

四、审美延展

师:最后,让我们再一次回到平面图形的世界,感受圆与其他图形错综复杂的关系。瞧,这里有一个正三角形,现在,我们沿着它的中心把它稍作旋转(出示图6)。旋转以后的三角形与原来的三角形有没有完全重合?

生:没有。

师:不行,我还得再旋转一次。

生:还是没有。

师:再来看圆。想象一下,如果我们沿着圆心把圆也旋转一下,情况又会怎样?

生:不管怎么转,都会重合。

师:是不是这样呢?来,拿出刚才的圆,用铅笔尖抵住圆心,并按在桌面上,轻轻转一转。(学生操作。)我们把圆的这一特点叫做旋转不变性。那么,三角形具有旋转不变性吗?

生:没有。

师:不过别遗憾。如果我们按照特定的角度继续把这个三角形旋转下去,情况又会怎样呢?让我们拭目以待。(课件演示,最终呈现图7。)

生(惊讶):哇,太棒了,居然是一个圆!

生:不对,是一个近似的圆。

师:瞧,直线图形转着转着,又回到了圆,真有意思。不过,刚才我们是绕着平面图形的中心点旋转的。如果绕着其他点旋转,还会出现这样近似的圆吗?

生:应该不会?

生(声音很小):可能会。

师:会还是不会,还是用事实来说话吧[瞧,这是一个正方形。现在,我们绕着它的一个顶点旋转(课件演示旋转过程,最终呈现图8)

生(不可思议):居然也行!

生:好漂亮!

师:更漂亮的还在后面呢!

(课件呈现图9、图10。)

生:哇!

师:别光顾着感叹,能看出这两幅图是由什么图形旋转而成的吗?

生:椭圆。

生:线段。

师:想不想看看线段是怎样旋转成图10这样美妙的图案的?

生:想!

师:观察时,请大家牢牢盯住线段的两个端点,看看线段旋转时,这两个端点是沿着怎样的轨迹移动的。

教师利用课件演示线段旋转的完整过程,学生根据观察到的情形,用手比画线段端点移动的轨迹。

师:其实,所谓圆,就是某个点沿着特殊路线运动后留下的轨迹。到了中学,同学们就会明白。我们还接触了其他平面图形,如长方形、梯形、平行四边形,甚至还有不规则的曲线图。这些图形如果绕着其中的某一点旋转,会不会也出现和圆有关的美妙图案呢?课后动手去试一试吧!相信,一定会有更多的惊喜在等待着大家

  

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