因式分解的十二种方法 因式分解的方法

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下:
1提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x3-2x2-x
x3-2x2-x=x(x2-2x-1)
2应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互 逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2+4ab+4b2
解:a2+4ab+4b2=(a+2b)2
3分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m2+5n-mn-5m
解:m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n
= (m2-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=qac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x2-19x-6
分析:1×7=7,2×(-3)=-6
1×2+7×(-3)=-19
解:7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x2+6x-40
x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40
=(x+ 3)2-(7 )2
=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]
=(x+10)(x-4)

6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
例7、分解因式2x4–x3-6x2-x+2(也叫相反式,在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的,如四次项与常数项对称,系数相等,解法也是把对称项结合在一起)
解:2x4–x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2
=x2
{2[x2+()2]-(x+)-6}
令y=x+,

x2{2[x2+()2]-(x+)-6}
= x2
[2(y2-2)-y-6]
= x2
(2y2-y-10)
=x2
(y+2)(2y-5)
=x2
(x++2)(2x+-5)
=
(x2+2x+1)(2x2-5x+2)
=
(x+1)2(2x-1)(x-2)
8求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)(一般情况下是试根法,并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根)
例8、分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6
解:令f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1 ,
2x +7x -2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9图象法(这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容,它和第八种方法是类似的)
y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为

f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)
例9、因式分解x3+2x2-5x-6
解:令y=x3+2x2-5x-6
作出其图象,可知与x轴交点为-3,-1,2
x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
例10、分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
解:a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)
=(b-c) [a2-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11利用特殊值法将2或10(或其它数)代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。例11、分解因式x3+9x2+23x+15
解:令x=2,则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5
12、待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x4–x3-5x2-6x-4
如果已知道这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
解:设x4–x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4
因式分解的十二种方法 因式分解的方法
所以解得
x4–x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)

来源:因式分解的十二种方法
http://www.hanlinyuan.org/show.asp?id=1225

  

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