信道容量和注水定理_杨学志 信息论 注水定理

信道容量就是下面这个公式:

C=log(1+P/N)

其中C是信道容量,P是信号功率,N是噪声功率。这几个字母,是香农老人家最牛逼的成果,指引着通信技术的发展方向。

如果信号的功率为P=P1+P2,可以验证一个公式:

C=log(1+(P1+P2)/N)=log(1+P1/N)+log(1+P2/(P1+N))=C1+C 2。

C1=log(1+P1/N)可理解为信号功率P1,噪声为N时的容量,C2=log(1+P2/(P1+N))可理解为信号功率P2,噪声为(P1+N)时的容量。有人把这个叫superposition coding。

也就是说,这两份功率,第一份功率产生了一个容量,同时等效成了对第二份功率的噪声。

了解了这个结论,我们来想,如果有N个并行的信道,这N个信道上已经有一些噪声或者信号的功率。如果我再有一小份功率,把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量呢?从上面的分析我们知道,已经存在的功率,无论是噪声还是信号,对后来的信号来说都是噪声,因此,这一小份功率分配到累计功率最小的信道上获得的容量最大。这样分配的结果就是N个信道上的功率是相同的,就是注水定理。

注水定理可以看作是信道容量的动态过程。

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