卷积积分转 卷积积分例题

卷积积分

 

一、 定义

设有两个任意的时间函数,例如 和(α为大于零的实常数),其波形分别如图2-12(a),(b)所示。利用图解法进行如下五个步骤的运算,从而引出卷积积分的定义。

 

(1) 将函数 , 中的自变量 改换为 ,从而得到 ,,这并不影响函数的图形,因为函数的性质和图形与自变量的字母符号无关,故其波形仍如图2-12(a),(b)所示。

(2) 将函数 以纵坐标轴为轴折叠,从而得到折叠信号,如图2-12(c)所示。

(3) 将折叠信号 沿 轴平移 , 为参变量,从而得到平移信号,如图2-12(d)所示。 t>0时为向右平移, t<0时为向左平移。

(4) 将 与 相乘, 从而得到相乘信号 ,其波形如图2-12(e)所示。

(5) 将函数 在区间(-∞, ∞)上积分得

 

由于积分变量为τ,其积分结果必为参变量 的函数,故用 表示。该积分就是相乘函数曲线下的面积(图2-12(e)中画斜线的部分)。上式所表述的内容即称为函数 与 的卷积积分,用符号“*”表示,即

(2-15)

 

读作 与 的卷积积分,简称卷积。

观察图2-12(e)可见,当τ<0-和τ>t时,被积函数 ,这是因为 ,均为因果函数的缘故。故式(2-15)中的积分限可改写为(0-, t),即

(2-16)

 

但要注意,卷积积分的严格定义式仍然是式(2-15),即积分的上下限仍然是(-∞, ∞)。

若将 , 代入式(2-16)中,并积分即得

 

 

 

y(t)的曲线如图2-12(f)所示,称为卷积积分曲线。

求卷积积分时,积分上下限的确定是关键,也是难点,读者应通过做题仔细揣摩。

卷积积分(转) 卷积积分例题

 

*二、 卷积积分上下限的讨论

 

卷积积分的严格定义应如式(2-15)所示,其积分的上下限应为区间(-∞,∞)。但在具体计算时,积分的上下限可视函数 与 的特性而做些简化。

(1) 若 和 均为因果信号,则积分的上下限可写为(0-, t),即

 

(2) 若 为因果信号, 为无时限信号,则积分的上下限可写为(0-,∞),即

 

(3) 若 为无时限信号, 为因果信号,则积分的上下限可写为(-∞,t),即

 

(4) 若 和均为无时限信号,则积分的上下限可写为(-∞, ∞),即

 

三、 运算规律

 

卷积积分的运算遵从现代数学中的一些运算规律。关于这些运算规律,留给读者自己证明(可参看工程数学书籍)。

(1) 交换律

 

(2)分配律

 

(3) 结合律

 

四、 主要性质

 

卷积积分有一些重要性质,深刻理解和掌握这些性质将对卷积的计算带来极大简便。关于这些性质,也留给读者自己证明(可参看工程数学书籍)。

 

1. 积分

 

2. 微分

 

3. 的微分与 的积分的卷积

应用性质2, 3的充要条件是必须有 。证明如下:

因有

可见,只有当 时才会有 。

 

对 要求的条件也是一样,即 。

4. 与 的卷积

 

推论

 

 

 

5. 与 的卷积

 

 

6. 与 的卷积

 

 

推论

 

 

7.时移性

设 ,则有

证明 因有

 

 

 

 

 

证毕

 

最后需要指出,上面所研究的卷积积分,其前提是卷积积分必须存在,即必须有。若卷积积分不存在,即当 时,则卷积积分就没有意义了。

 

五、 常用的卷积积分表

 

常用的卷积积分如表2-2所列。

 

表2-2卷积积分表

 

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 

例2-13求图2-13(a), (b)所示两函数的卷积积分 ,并画出的波形,其中 。

解因

当t<0时

 

 

当t>0时

 

故得

 

y(t)的波形如图2-13(c)所示。

 

例2-14求图2-14所示两函数的卷积积分 。

 

 

 

 

 

例2-15已知 。求 。

 

解将原式等号两端同时求一阶导数得

 

 

 

再将原式代入上式并计算即得

 

例2-16求图2-15(a),(b)所示两函数的卷积积分 ,并画出的波形。

解 )称为单位冲激序列,其函数表示式为

 

其中T为周期。

 

 

若τ<T,则y(t)的波形如图2-15(c)所示,可见y(t)的波形是f(t)波形的周期性延拓,延拓的周期为T。若τ=T,则y(t)的波形如图2-15(d)所示。若τ>T,则y(t)的波形如何?请读者画出。

 

(c) τ<T时;(d) τ=T时

 

例2-17求图2-16(a), (b)所示两函数的卷积积分 。

解根据卷积的微分积分性质有

 

 

 

在上式中

 

 

和 的波形分别如图2-16(c), (d)所示。于是可得 和的曲线分别如图2-16(e), (f)所示。进而可得 的波形如图2-16(g)所示。可见, 的波形为“三角形”,宽度为,幅度为τ=1×1×τ。

 

  

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