卷积积分
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一、 定义 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
设有两个任意的时间函数,例如 和(α为大于零的实常数),其波形分别如图2-12(a),(b)所示。利用图解法进行如下五个步骤的运算,从而引出卷积积分的定义。
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(1) 将函数 , 中的自变量 改换为 ,从而得到 ,,这并不影响函数的图形,因为函数的性质和图形与自变量的字母符号无关,故其波形仍如图2-12(a),(b)所示。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) 将函数 以纵坐标轴为轴折叠,从而得到折叠信号,如图2-12(c)所示。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3) 将折叠信号 沿 轴平移 , 为参变量,从而得到平移信号,如图2-12(d)所示。 t>0时为向右平移, t<0时为向左平移。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4) 将 与 相乘, 从而得到相乘信号 ,其波形如图2-12(e)所示。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(5) 将函数 在区间(-∞, ∞)上积分得 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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由于积分变量为τ,其积分结果必为参变量 的函数,故用 表示。该积分就是相乘函数曲线下的面积(图2-12(e)中画斜线的部分)。上式所表述的内容即称为函数 与 的卷积积分,用符号“*”表示,即 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2-15)
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读作 与 的卷积积分,简称卷积。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
观察图2-12(e)可见,当τ<0-和τ>t时,被积函数 ,这是因为 ,均为因果函数的缘故。故式(2-15)中的积分限可改写为(0-, t),即 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2-16)
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但要注意,卷积积分的严格定义式仍然是式(2-15),即积分的上下限仍然是(-∞, ∞)。 若将 , 代入式(2-16)中,并积分即得
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y(t)的曲线如图2-12(f)所示,称为卷积积分曲线。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
求卷积积分时,积分上下限的确定是关键,也是难点,读者应通过做题仔细揣摩。
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*二、 卷积积分上下限的讨论
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卷积积分的严格定义应如式(2-15)所示,其积分的上下限应为区间(-∞,∞)。但在具体计算时,积分的上下限可视函数 与 的特性而做些简化。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) 若 和 均为因果信号,则积分的上下限可写为(0-, t),即 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(2) 若 为因果信号, 为无时限信号,则积分的上下限可写为(0-,∞),即 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(3) 若 为无时限信号, 为因果信号,则积分的上下限可写为(-∞,t),即 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(4) 若 和均为无时限信号,则积分的上下限可写为(-∞, ∞),即 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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三、 运算规律
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卷积积分的运算遵从现代数学中的一些运算规律。关于这些运算规律,留给读者自己证明(可参看工程数学书籍)。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) 交换律 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(2)分配律 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(3) 结合律 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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四、 主要性质
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卷积积分有一些重要性质,深刻理解和掌握这些性质将对卷积的计算带来极大简便。关于这些性质,也留给读者自己证明(可参看工程数学书籍)。
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1. 积分 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2. 微分 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3. 的微分与 的积分的卷积 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
应用性质2, 3的充要条件是必须有 。证明如下: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
因有 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
可见,只有当 时才会有 。
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对 要求的条件也是一样,即 。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. 与 的卷积 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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推论 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5. 与 的卷积 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6. 与 的卷积
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推论 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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7.时移性 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
设 ,则有 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
证明 因有 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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故
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证毕
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最后需要指出,上面所研究的卷积积分,其前提是卷积积分必须存在,即必须有。若卷积积分不存在,即当 时,则卷积积分就没有意义了。
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五、 常用的卷积积分表
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常用的卷积积分如表2-2所列。
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表2-2卷积积分表
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例2-13求图2-13(a), (b)所示两函数的卷积积分 ,并画出的波形,其中 。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
解因 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
当t<0时 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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当t>0时 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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故得 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y(t)的波形如图2-13(c)所示。
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例2-14求图2-14所示两函数的卷积积分 。
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解
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例2-15已知 。求 。
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解将原式等号两端同时求一阶导数得 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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即
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再将原式代入上式并计算即得 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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例2-16求图2-15(a),(b)所示两函数的卷积积分 ,并画出的波形。 解 )称为单位冲激序列,其函数表示式为 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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其中T为周期。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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若τ<T,则y(t)的波形如图2-15(c)所示,可见y(t)的波形是f(t)波形的周期性延拓,延拓的周期为T。若τ=T,则y(t)的波形如图2-15(d)所示。若τ>T,则y(t)的波形如何?请读者画出。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(c) τ<T时;(d) τ=T时
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例2-17求图2-16(a), (b)所示两函数的卷积积分 。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
解根据卷积的微分积分性质有 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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在上式中
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和 的波形分别如图2-16(c), (d)所示。于是可得 和的曲线分别如图2-16(e), (f)所示。进而可得 的波形如图2-16(g)所示。可见, 的波形为“三角形”,宽度为,幅度为τ=1×1×τ。
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