爱华网问题简介
设G=(V,E）是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1,V2之并，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。则称图G为二分图。二分图也可记为G=(V1,V2,E）。
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximal matchingproblem)
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
算法描述
在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。
M-交错路：p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。如：路径（X3,Y2,X1,Y4），（Y1,X2,Y3）。
M-饱和点：对于v∈V(G），如果v与M中的某条边关联，则称v是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。
M-可增广路：p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。如（X3,Y2,X1,Y4）。（不要和流网络中的增广路径弄混了）
求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法（称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）。
增广路的定义（也称增广轨或交错轨）：
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
由增广路的定义可以推出下述三个结论：
1－P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2－将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
算法轮廓：
⑴置M为空
⑵找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M
⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止
时间空间复杂度
时间复杂度 邻接矩阵：最坏为O(n^3） 邻接表：O(mn)
空间复杂度 邻接矩阵：O(n^2） 邻接表：O(m+n)
格式说明
输入格式：
第1行3个整数，V1,V2的节点数目n1,n2,G的边数m
第2-m+1行，每行两个整数t1,t2，代表V1中编号为t1的点和V2中编号为t2的点之间有边相连
输出格式：
1个整数ans，代表最大匹配数
邻接矩阵-C
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int n1,n2,m,ans;
int result[101]; //记录V2中的点匹配的点的编号
bool state [101]; //记录V2中的每个点是否被搜索过
bool data[101][101];//邻接矩阵 true代表有边相连
void init()
{
int t1,t2;
memset(data,0,sizeof(data));
memset(result,0,sizeof(result));
ans = 0;
scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&m);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
scanf("%d%d",&t1,&t2）；
data[t1][t2] = true;
}
return;
}
bool find(int a)
{
for (int i = 1; i <= n2; i++)
{
if (data[a][i] == 1 &&!state[i]) //如果节点i与a相邻并且未被查找过
{
state[i] = true; //标记i为 已查找过
if (result[i] == 0 //如果i未在前一个匹配M中
|| find(result[i])) //i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路
{
result[i] = a; //记录查找成功记录
return true; //返回查找成功
}
}
}
return false;
}
int main()
{
init();
for (int i = 1; i <= n1; i++)
{
memset(state,0,sizeof(state)); //清空上次搜索时的标记
if (find(i)) ans++; //从节点i尝试扩展
}
printf("%dn",ans);
return 0;
}
