《九章算术》简介 九章算术 全文

《九章算术》简介 九章算术 全文

《九章算术》简介


九章算术卷一方田

《九章算术》是中国古代数学专著,承先秦数学发展的源流,进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书,这大约是公元一世纪的下半叶。它的出现,标志着中国古代数学体系的形成。

后世的数学家,大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻,这是世界上最早的印刷本数学书。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

《九章算术》是中国古代数学专著,是算经十书中最重要的一种.《九章算术》上承先秦数学发展之源流,入汉之后又经许多学者的整理、删补和修订,大约于东汉初年(公元一世纪)成书,是几代人共同劳动的结晶,它的出现标志着中国古代数学体系的形成.后世的古代数学家,大都是从《九章算术》开始学习和研究数学的,许多人曾为它作过注释,其中最著名的有刘徽(公元263年)、李淳风(公元656年)等人.

现传本《九章算术》成书于何时,目前众说纷纭,多数认为在西汉末到东汉初之间,约公元一世纪前后,《九章算术》的内容十分丰富,全书采用问题集的形式,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤,但没有证明),有的是一题一术,有的是多题一术或一题多术.这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰(音崔cuī)分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章,它们的主要内容分别是:

  第一章“方田”:主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则,以及求分子分母最大公约数等方法。

  第二章“粟米”:谷物粮食的按比例折换;提出比例算法,称为今有术;衰分章提出比例分配法则,称为衰分术;

第三章“衰分”衰分术就是按已知的比例分配某物的方法;衰分章还介绍了开平方、开立方的方法,其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。

  第四章“少广”:已知面积、体积,反求其一边长和径长等;

  第五章“商功”:土石工程、体积计算;除给出了各种立体体积公式外,还有工程分配方法;

  第六章“均输”:合理摊派赋税;用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到十五世纪末以后才形成类似的全套方法。

  第七章“盈不足”:即双设法问题;提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题,以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果,传到西方后,影响极大。

  第八章“方程”:一次方程组问题;采用分离系数的方法表示线性方程组,相当于现在的矩阵;解线性方程组时使用的直除法,与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方,直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数,并提出了正负术——正负数的加减法则,与现今代数中法则完全相同;解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了正数的范围,扩展了数系。外国则到七世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。

  第九章“勾股”:利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式。在西方,毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况,直到三世纪的丢番图才取得相近的结果,这已比《九章算术》晚约三个世纪了。勾股章还有些内容,在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式,在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。

勾股定理即西方所指的毕达哥拉斯定理:就是在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理是初等几何中的一个基本定理。

在中国,这个定理的记载最早见于《周髀算经》(约公元前一世纪前的西汉时期),书中有一段商高答周公问中有“勾广三,股修四,经隅五”的话,意即直角三角形的两条直角边是3及4、则斜边是5;书中还记载陈子答荣方问:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之、得邪至日。”

到了三国的赵爽(赵爽,字君卿。生平不详,约生活于公元三世纪初),在他的数学文献《勾股圆方图》中,运用弦图,巧妙地证明了勾股定理的理论。他把三角形涂成红色,其面积叫“朱实”,中间正方形涂成黄色,叫做“中黄实”,也叫“差实”。又曰:“按弦图,又可勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差相乘为中黄实,加差实,亦称弦实”。

            弦图

赵爽在“勾股圆方图说--”中,结合几何与代数,利用面积的运算得出勾股形的证明如下:

赵爽首先以一直角三角形之弦为边长,做出一正方形,该正方形之面积称之为“弦实”,然后再以该正方形的四个顶点做出边长为“勾+股”长度之外接正方形,再利用“对称原理”,把外面的大正方形所残留的四个直角三角形,对称到弦实面积内,所得出的四个相同大小的直角三角形称为“朱实”。如此一来,弦实部分扣除朱实之后,剩余的小正方行为“黄实”。接下来,剩下的工作就是代数部分:

三国时期魏国人刘徽,在魏景元四年编写《九章算术注》,提出了“出入相补原理”,即把图形分割若干块后,各块面积和等于原图面积,他利用“出入相补原理”,成功地证明了勾股定理。

“出入相补原理”又称“以盈补虚”或“损广补狭”,(或称为割补术)是将平面图形或立体图形分割成若干部分,将它们重新拼合成其面积或体积为已知的图形,从而解决与面积、体积有关的问题,成为中国传统数学解决面积、体积和勾股、测望问题的重要方法。它起源于《算数书》、《九章算术》编纂的时代,不过现传最早的记载在赵爽《周髀算经注》的勾股圆方图说与刘徽《九章算术注》的方田、少广、商功、勾股等章中。它基于这样两个基本的前提:将一个图形分割成若干部分,则它们全体的面积或体积之和等于原图形的面积或体积;将一个图形平移或旋转不改变其面积或体积。这两个前提在中国传统数学著作中没有表述过,是当作不言自明的真理使用的。

刘徽在《九章算术》第九章“勾股”的勾股术“勾股各自乘、并而开方除之,即弦。”作注曰:“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也。合成弦方之幂,开方除之,即弦也。”

“股正方形”面积+“勾正方形”面积=“弦正方形”面积;即是:股的平方加上勾的平方等于弦的平方,这个证明的基本原理是利用平面图形的面积,巧妙加以移、合、拼、补之后,甚至无须代数运算,而突出勾、股、弦之间的关系,刘徽利用这种方法概括成一套基本原理,称为“出入相补原理”。这个原理是把一个平面图形从一处移置到另一处,面积不变;又若把图形分割成若干块,那么各部分面积的和等于原来图形的面积。

他以一直角三角形之三边为基准,分别作出三个正方形,如下图所示。以勾为边之正方形称为“朱方”,以股为边之正方形称为“青方”,以弦为边之正方形则为“弦方”。然后,将朱方与青方之区域,以出入相辅之道理拼成弦方,并依面积和之关系得出:弦方=朱方+青方也就是:


勾股定理由此得到了证明。

在《九章算术》对几何问题的处理上,可以看出我们祖先的不足,例如,“方田”里的圆面积计算公式表明,对圆周率的估算是3,这与巴比伦人的结果相当。而球体积的计算公式只有阿基米德所获得的精确值的一半,再考虑到圆周率取3,误差就更大了。不过,书中所列直线行的几何形的面积或体积的计算公式,基本上是正确的。《九章算术》的一个特色是,把几何问题算术化或代数化,正如《几何原本》把代数问题几何化。遗憾的是,书中几何问题的算法一律没有推导过程,因此只是一种实用几何。

《九章算术》总结了自先秦以来的中国古代数学,它既包含了以前已经解决了的数学问题,又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为,它在数学史上,标志着中国古代数学体系的形成,是中国古代数学体系的初期代表作。

《九章算术》问世之前的中国先秦典籍中,记录了不少数学知识,但是却没有《九章算术》的系统论述,尤其是由易到难、由浅入深、从简单到复杂的编排体例,从而形成中国传统数学的理论体系。因而后世的中国数学家,都是从此开始学习和研究,唐、宋时,为国家明令规定的教科书,北宋时由政府刊刻,又是世界上最早的印刷本数学书。

《九章算术》中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如,关于比例算法的问题,它和后来在十六世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题,在阿拉

  

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