设计思想:
孔子的“温故而知新”;
奥苏泊尔的“先行组织者”思想;
建构主义思想。
设计思路:
温故知新,做好铺垫;难点提前突破,水到渠成;错例分析,变式练习,加深理解,实现能力的提高。整体上,引导学生自我建构自己的知识结构。
教学难点:
主要等量关系:原数×(1±增长率)2=新数(在温故环节解决)
解方程(在学习直接开方法时提前解决)。
教学重点:
主要等量关系:
如果连续两次增长(减少),且增长率(降低率)相同,则:
原数×(1±增长率)2=新数
教学方法:
温故(复习法),引导探索(讨论法),错例分析(辨析法),变式应用(练习法)。
教学过程:
一、温故
1、小明上周花了10元钱,本周比上周多花10%,本周花了多 少钱?预计下周比本周多花10%,那么下周预计会花多少钱?
本周花的钱数为:10×(1+10%)=11元
下周预计花的钱数为:11×(1+10%)=12.1元
或10×(1+10%)2=12.1元
2、小强上周花了20元钱,本周比上周少花20%,本周花了多少钱?预计下周比本周少花20%,那么下周预计会花多少钱?
本周花的钱数为:20×(1-20%)=16元
下周预计花的钱数为:16×(1-20%)=12.8元
或20×(1-20%)2=12.8元
3、小结:
(1)若增长一次,则:
原数×(1±增长率)=新数
(2)如果连续两次增长(减少),且增长率(降低率)相同,则:原数×(1±增长率)2=新数
二、知新
1、学习例题:
某市为争创全国文明卫生城市,2009年市政府对市区绿化工程投入资金是2000万元,2011年投入的资金是2420万元,且从2009年到2011年,两年间每年投入资金的年均增长率相同。
(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年均增长率;
(2)若投入资金的年均增长率不变,那么该市在2013年投入多少万元?
分析:设年均增长率为x,由“原数×(1+增长率)2=新数”,得方程:
2000×(1+x)2=2420,运用直接开方法解方程: (1+x)2=1.21,1+x=±1.1,
所以x1=-2.1(舍),x2=0.1=10%,所以年均增长率为10%,若投入资金的年均增长率不变,那么该市在2013年投入资金为:2420×(1+10%)2=2662万元。
2、学习例题
某药品经过两次降价,现价格与原价格相比降低了36%,那么平均每次降低的百分率是多少?
分析:设平均每次降低率为x,由“原数×(1-降低率)2=新数”,得方程:
(1-x)2=64%,运用直接开方法解方程: 1-x=±0.8,
所以x1=1.8(舍),x2=0.2=20%,所以平均每次降低率为20%。
3、错例分析
为迎接“国庆节”,某电器销售点连续两次降价,原售价为2500元的电器现只售1600元,求这种电器的平均降价率。
错解:(2500-1600)/1600=9/16,(9/16)×(1/2)=9/32,所以这种电器的平均降价率为9/32。
分析:虽然这个平均降价率是相同的,但是它们对应的“单位1的量”(对比量)是不同的。若原售价为2500元,降价率为9/32,那么两次降价后售价应为2500(1-9/32)2≈1291.5元,所以不符合题意。
正解:设平均每次降低率为x,由“原数×(1-降低率)2=新数”,得方程:
2500(1-x)2=1600,运用直接开方法解方程: (1-x)2=16/25,1-x=±0.8,
所以x1=1.8(舍),x2=0.2=20%,所以平均每次降低率为20%。
4、变式练习
(1)某市去年9月招收区内初中班学生50名,并计划在明年9月招生结束后,使区内初中班三年招生总人数达到450名.若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同,求这个增长率.
分析:设平均增长率为x, 去年招收50名,则今年招收50(1+x)名,明年招收50(1+x)2名,根据“三年招生总人数达到450名”,可列方程:50+50(1+x)+ 50(1+x)2=450, 整理得:x2 +3x-6=0 解得:x1=(-3-根号33)/2(舍),x2=1.37=137%, 答:平均增长率为137%.
(2)一种电脑病毒,起初有一台感染,经过2轮感染后,将会有81台电脑被感染。平均每台电脑能感染多少台电脑,第三轮感染后,会超过700台吗?
分析:设平均每台电脑能感染x台电脑,一轮感染后,共有(1+x)台电脑感染者中病毒,两轮感染后,共有(1+x) 2台电脑感染者中病毒,可得方程:(1+x)2=81,解得:x1=-10(舍),x2=8,所以平均每台电脑能感染8台电脑,第三轮感染后,共有81(1+8)=729台电脑感染这种病毒,所以第三轮感染后,会超过700台。
5、课堂小结:
本节课,我们解决问题的关键是把握相等关系:
(1)若增长一次,则:原数×(1±增长率)=新数;
(2)如果连续两次增长(减少),且增长率(降低率)相同,则:原数×(1±增长率)2=新数。
课后记:
在温故环节,解决了一个增长率的关键点,也是难点:(1)若增长一次,则:原数×(1±增长率)=新数;(2)如果连续两次增长(减少),且增长率(降低率)相同,则:原数×(1±增长率)2=新数。这两个相等关系,既是学生知识的生长点,也是本节课的“先行组织者”,看到题目,学生就会自觉地用这个“先行组织者”来组织思路,也利于学生知识系统的结构化。
这样,“先行组织者”呈现之后,老师就不用讲了,一切题目都不需要老师讲了,学生会自主思考、独立解决。至于错例分析和变式练习是为了提高认知结构的区分度和概括度。
我很认同和崇拜“建构主义”思想,知识本无意义,是人用已有的观念赋予它意义,学生已有的相关知识是新知识的生长点,本节课的“先行组织者”就是学生知识的生长点,通过温故环节的概括,使学生的生长点更明确、更清晰、概括度更高,更利于学生建构自己的知识结构。
为什么有的学生学这类知识很容易?就因为他们的概括能力很强,先前的知识结构很明晰。所以我们要通过温故概括的环节,帮助更多的学生学习本节课,也使他们在耳濡目染中,学习自觉进行概括。
另外,本节课的一个难点(解方程),在学习直接开方法时已经提前解决,这样就可以在本节课中重点体会和把握本节课的关键相等关系:(1)若增长一次,则:原数×(1±增长率)=新数;(2)如果连续两次增长(减少),且增长率(降低率)相同,则:原数×(1±增长率)2=新数。这样就可以做到在教学中强干弱枝、突出重点,使学生的知识结构稳定而明晰。