几何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明 毕达哥拉斯定理证明

几何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明

　　几何学中，有着无数定理，毕达哥拉斯定理是其中最诱人的一个。毕达哥拉斯定理的历史最悠久、证明方法最多、应用最广泛，它是人类科学发现中的一条基本定理，对科技进步起了不可估量的作用。中世纪德国数学家、天文学家开普勒称赞说：“几何学中有两件瑰宝，一是毕达哥拉斯定理，一是黄金分割律。”

毕达哥拉斯的百牛宴

　　早在公元前2000多年的巴比伦的泥版书中，有一块泥版上刻着这样一个问题：“一根长度为30单位的棍子靠墙角直立，当其上端下滑6个单位时，其下端离开墙角有多远？”这表明当时的古巴比伦人已经发现了直角三角形三边长之间的关系，距今至少有4000多年了。

　　毕达哥拉斯定理揭示了一条自然界简明而又基本的科学规律：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。它最先是如何被发现的，无从考证，但其证明的历程依然记录着一代又一代人的智慧与心血。

　　由于第一个给出证明的人是古希腊数学家毕达哥拉斯，因此称之为毕达哥拉斯定理。他于公元前572年出生于爱琴海的萨摩斯岛，住在离泰勒斯的故乡米利都城不远的地方，曾就学于泰勒斯。毕氏早年旅行于小亚细亚大陆，又到过非尼其、埃及。他几乎领略了一切希腊及外邦人的宗教秘法，并参加过埃及的宗教僧团和教派。后来定居于意大利南部的克罗它岛，在那建立了带有神秘性质的著名的毕达哥拉斯学派。

　　毕达哥拉斯

　　毕氏学派在几何学方面有许多重要的发现，如三角形三内角和等于两个直角、不可通约量（无理数）等。但使毕达哥拉斯最为得意的还是证明毕氏定理。当他找到了证明这一定理的方法以后，欣喜若狂，令手下人宰了100头牛来祭神，并大摆宴席，以示庆贺。由此，后人也将此定理称为“百牛定理”。

　　毕达哥拉斯证明这一定理的故事，最早是由公元1世纪的希腊学者普鲁塔克讲述的，公元5世纪另一位希腊学者普罗克鲁斯又把它写在欧几里得《几何原本》评注中。遗憾的是，毕达哥拉斯是如何证明的，书中却无记载。人们对毕氏可能曾提出的证明，有过许多猜测，一般认为可能是对正方形作剖分式证明的。现在有案可查的最早证明要算公元前3世纪欧几里得在《几何原本》中的证明。《几何原本》中的证明就是利用面积来做的。

商高定理

　　科学是没有国界的，科学发现也是如此。往往会有不同的科学探险家，在不同的时间、地域独立地作出同一发现。中国古代数学就是独立于西方而发展起来的，与西方数学的思想方法迥然相异，代表着中国古代数学的辉煌。有许多数学发现都是领先于国外好多年。毕达哥拉斯定理就是一例。事实上，在毕达哥拉斯之前，这一定理早已被中国古代数学家商高发现了。

　　公元前1100多年，还是在我国周朝初年的时候，有一天，周公把数学家商高叫来，两人作了一次切磋数学问题的对话。商高在回答周公所请教的问题中，明确提出了“勾三，股四，弦五”这一关系，就是说把直角三角形的两条直角边称之勾、股，斜边称为弦，那么勾为三，股为四，弦长就等于五。这是毕达哥拉斯定理的特例。周公与商高的对话，记载于约公元前1世纪的《周髀算经》一书之中。这说明我们祖先很早就发现了直角三角形三边之间的这一奇妙关系，因而中国人称之为商高定理，也叫勾股定理。从年代来看，虽然晚于汉谟拉比时代的巴比伦人900年左右，但比毕达哥拉斯却早了600年左右。

　　到了公元3世纪前后，我国数学家赵爽和刘徽分别在《周髀算经》和《九章算术》的注释中证明了勾股定理。赵爽利用“弦图”，将几何图形互相移补凑合，分段加以朱、青、黄诸色，以“出入相补、各从其类”，由此得出各图形间的关系，从而给出了我国古代关于商高定理最早的一个证明。这虽然是在毕达哥拉斯和欧几里得《几何原本》的证明之后，但它是运用中国古代证题术而独立于西方所做出的证明，代表着中国数学的光辉成就。

　　自赵爽、刘徽以后，我国古代数学家梅文鼎、李锐、项名达、华蘅芳等还创造了多种证法。经过千百年的不断探索，逐渐形成了一个以勾股定理及其应用为核心的中国式几何学。在该定理的应用方面有许多趣题，最著名的是《九章算术》中的“折竹问题”。这一趣题以后流传到国外。大约六七百年后，在印度出现了完全类似的问题，15世纪末，这一问题又出现在意大利。中国古代几何学在世界上的影响，由此可窥见一斑。

情有独钟的总统

　　历史上，印度、阿拉伯、日本、美国等许多国家和地区的数学家对毕达哥拉斯定理都有独到的研究。在探索定理证明的人海中，不但有数学家，还有物理学家、画家、政治家，甚至还有一位美国总统。美国第20届总统加菲尔德，在他当选总统的前5年还是一位议员。 1876年，他在和其他议员一起做“思维体操”时，想出了一种证明毕达哥拉斯定理的方法，他的这一证法后来发表在《新英格兰教育月刊》上。总统证明毕达哥拉斯定理，成了数学史上的一段佳话。

　　20世纪最伟大的科学家之一爱因斯坦，在中学时代对几何学也是情有独钟。18岁的时候，爱因斯坦找到了毕达哥拉斯定理的两种新证法。

　　毕达哥拉斯定理是自然界的一个最基本的规律，或许正是这个原因，才“条条道路通罗马”，其证明方法现在至少有360多种，真是科学史上的一大奇迹！而它的应用更是无处不有。许许多多的数学公式和命题的推证，都建立在这一定理基础之上，假若没有这一基础，数学就不会是今天我们所看到的这幅情景，将会严重影响数学的发展。尤其是这一定理为解决科学技术和实际中提出的大量问题提供了有力的工具。很难想象，没有这一发现，建筑、测量、机械制造等许多工程技术中涉及直角三角形度量关系的问题将如何解决，现在利用这一定理进行一个简单的推算，在那里也许就成了一个十分复杂的难题了，那将是多么不便啊。

　　为了纪念这一重大发现，1971年尼加拉瓜发行了一套世界上“十个最重要的数学公式”纪念邮票，其中有一枚就是毕达哥拉斯定理。英国也有纪念毕达哥拉斯的邮票，图案正是毕达哥拉斯定理的直观表达。科学家还把类似直观表达这一定理的几何图形发送到外星球上去，期望用这一科学的语言与外星人进行对话，揭开宇宙之奥秘。