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——《圆的认识》教学案例与反思
【背景分析】
《圆的认识》是小学数学教材中非常传统的一个内容，许多名家将它作为典型研究课例，以不同视角作过精彩演绎。朱乐平老师巧用“脸部整圆术”教学圆的知识，利用两课时的时间让学生逐步感知圆的特征；潘小明老师创设现实中投圈是否公平这一问题情境，展开对圆的探索；张齐华老师运用数学文化的视角为圆的认识打开另一片天空。其实对于圆的认识这样一节研究课，已经被上课者挖掘得非常彻底了，甚至于老师们欣赏圆的认识这节课也已经达到了相当高的水准了。我们知道，圆的科学定义是：在平面内，到达一个定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆。但是很少人尝试着从圆的本质属性出发，教学圆的认识。所以我尝试着从圆的本质属性出发，引领学生用“点的轨迹”的思想去感悟、体验和理解圆的本质属性，实现深入浅出的教学圆的认识。
所以我提出了对《圆的认识》教学的几点思考：
1、教学圆的特征时，能否在小学阶段就让学生领悟“圆是平面内到定点距离相等的点的集合”这一本质特征，为学生后续学习和今后有效发展铺设奠基石？
２、探究圆的特征时，除了借助探究材料和有效的实践操作，是否可以利用想象、推理有价值的数学思考方式来学习圆的特征？
３、圆具有深厚的文化内涵，是否可以将圆的文化融合在数学学习过程之中，实现数学知识与数学文化水乳相溶，使数学课堂显得丰满而圆润？
【过程描述】
一、课前游戏：
师：在规定的时间内看谁画的点多。规则：先在白纸上画一个点，然后再画一些点，要求到第一个点的距离都是3厘米。
师：如果有时间给你画，你能画多少个点？
生：可以画无数个点。
师：这些点将会成为什么图形？
生：圆形。
师：我能在很短的时间内画无数个这样的点。你信吗？
（老师用圆规将图画成圆形，板书课题：圆的认识）
二、教学新课
师：你能把刚才自己画的那幅图补充成圆形吗？
师：这是我们第一次用圆规画圆，你觉得哪儿最容易出问题？
生：圆画到最后可能会合不拢。
师：为什么会合不拢？是什么原因呢？
生：圆规两只脚忽大忽小就会这样。
师：就是说圆规两只脚距离不能改变。还有其他情况吗？
生：也有可能针尖动了，也会画不圆。
师：针尖也不能动，看来我们要把重心放在针尖这一边，固定好两脚尖的距离，旋转一周后就可以得到圆形，这些都是画圆的技巧。
师：同学们，看到这个圆，让你联想到生活中的哪些物体？
生：硬币、月饼、钟面……
生：篮球
师：真是很厉害，能把平面图型想象成立体图形，不过老师要告诉你，球形与圆形还是有很大区别的。能说完吗？老师也带来了一些。瞧！（美丽的圆形图片）就连大自然对圆也是情有独钟！（欣赏美丽的光环、绽放的向日葵等）
师：圆美吗？
生：美！
师：难怪古希腊有位数学家说：“在一切平面图形中，圆是最美的。”
师：圆看似简单其实一点也又不简单！在圆里，还隐藏着许多数学知识！
三、圆的各部分名称与圆的特征
师：在这个圆里，中间的这个点叫圆心，用字母O表示，你还知道哪些数学知识？
生：半径ｒ。
师：能上来画一条半径吗？（生上来画半径）还有哪些知识？
生：直径ｄ。
师：请你也上来画一条，好吗？（生上来画直径）
师：用自己的话说一说什么是半径？
生：圆心到圆边的线段。
师：圆边在数学上叫做圆上。那什么叫做直径呢？
生：路过圆心，两个端点在圆上的线段叫直径。
师：这只是我们感性的认识，要想得到更科学的概念，我们还得请教书本。
（自学书本第135页找到半径与直径的概念，并读一读。）
师：半径是连接圆心到原上任意一点的线段，这“任意一点”你是怎么理解的？
生：就是随便哪一点都可以，圆上有无数个点，取一个点就可以。
师：现在请你在自己的圆内标出圆心，并画一条半径。
师：你还能画多少条半径（继续画）？画的完吗？
生：画不完，有无数条？
师：你是怎么想的？
生：因为圆上有无数个点，都可以连接圆心成为半径，所以有无数条半径。
师：量一量这些半径的长度，相等吗？
生：半径长度都相等，都是３厘米
师：你量了几条半径？
生：我量了２条。
师：凭什么说半径长度都相等。
生：我们可以通过测量半径是３厘米，而刚才的游戏规则就是要求每个点到到圆心的距离是３厘米。
生：我还可以用圆规来量（用圆规在圆上走一圈），两脚的距离没有变，所以说半径都相等。
师：掌声还在等什么？（众生鼓掌）
师：现在我们已经研究了半径的特征，现在可否想象一下直径有多少条，长度都相等吗？
生：直径也有无数条，长度都相等。
师：直径有无数条，我们可以借助半径有无数条类比推理。那么直径长度都相等，你是怎么知道的呢？
生：可以借助测量半径的经验，测的所有直径 的长度都是６厘米。
生：还可以看出直径是半径的两倍，半径都相等，直径肯定都相等。
师：直径是半径的２倍，你是怎么知道的？
生：直径可以分成２条半径呀？
师：真不错，半径和直径的关系的秘密竟一眼被你看出来了。不过呆会儿我们还要用多种方法来证明。
（半径与直径的辨析练习。教师适时点出圆内、圆外、圆上等名词）
师：拿出圆形纸片，怎样可以找到圆心的位置？（学生操作，指导）
师：这个同学用眼自信的找到了圆心，你们觉得对吗？
生：一看就知道圆心位置找偏了。
师：那该用什么方法来确定圆心的位置？
生：对折再对折的方法可以找到圆心。
师：所以我们还需要用更方便、更科学的方法寻找圆心。
师：同桌合作，通过折一折、量一量、比一比的方法研究圆的半径与直径的关系？并说明你是用什么方法来证明？
生：我是量一量的方法，半径是３厘米，直径６厘米，所以直径是半径的２倍。
师：用测量法证明，直径是半径的２倍，还可以说半径是直径的二分之一。
生：比一比的方法，一条直径可以看成２条半径，所以直径是半径的２倍。
师：用观察法证明，很不错。还有其他方法吗？
生：我是用折一折的方法，对折以后有一条直径，再对折变成了２条半径，所以直径是半径的２倍。
师：太了不起了，如此抽象的数学知识，在你们的手里竟如此简单地迎刃而解了。
师：难道圆规仅仅只能画半径是３厘米的圆吗？我想画的更大些，怎么办？
生：圆规的两角距离拉大。拉到４厘米。（师画了一个同心圆）
师：还能再大吗？（能）能比３厘米小一些吗？（能）
师：什么决定了圆的大小？（半径）
师：这两个圆虽然大小不同，什么是相同的？（指出数学上称为同心圆）
师：刚才得出结论半径都相等，这两条半径相等吗？（不相等）看来刚才的结论还需要增加一个条件。（同圆、等圆内）。
师：我想到其他的位置画圆，该怎么办？是什么决定圆的位置？（圆心）
四、巩固拓展
师：《周髀算经》里有这么一句话“圆出于方，方出于矩”，所谓“圆出于方”就是说最初的圆并不是由圆规画成的，而是由正方形不断的切割而成的。如果告诉你正方形的边长是10厘米，你能知道圆的半径与直径吗？
生：半径是５厘米，直径１０厘米。
师：到现在美术老师还会用这种方法教我们画圆。其实关于对圆的研究，何止只有一部《周髀算经》呢？二千多年前，我国古代思想家墨子就提出：圆，一中同长也。你知道一中什么意思？（一个圆心）同长呢？（半径同样长，直径同样长）这个发现比西方整整早了1000多年。你们感到自豪吗？
师：体育老师想在操场上画一个比较大的圆，难道还用圆规？
生：画个正方形，再切割成圆。
师：活学活用呀，不过太麻烦了。
生：用绳子固定在圆心。另一边旋转就可以画圆了
师：老师就准备了这样的钉绳工具，你们俩上来画一个圆，好吗？（生画圆）
师：这些方法与圆规画圆的方法有什么共同的地方？
生：圆心固定不动。有一个固定长度，不能发生改变。
师：真是了不起，“没有圆规，也成方圆。”
师：自行车轮子为什么选用圆形，而不选用三角形与正方形？
生：用圆形没有阻力，三角形与正方形有棱有角的，不好滚。
师：难道用圆形做轮子就可以吗？（课件演示车轴在圆心和不在圆心的两种情况）
生：车轴应该安在圆心，这样所有的半径都相等，车子就会平稳。
师：原来车轮里也蕴含了数学知识。巧妙地利用了同一个圆里所有半径都相等这一特征，所以车子跑起来又快又稳。
五、课堂总结（略）
【自我反思】
整堂课以围绕感知、体验和深化圆的本质属性的学习框架而展开。游戏环节以初步感知圆是到定点距离等于定长的点的集合；画圆环节以体验圆是确定固定长度（半径）围绕固定点（圆心）旋转一周形成的封闭图形；练习环节在多样的画圆方法中，提炼出画圆的共同点，深刻理解圆的本质属性。我引领学生用“点的轨迹”思想学习圆的本质属性，得到了成功的尝试，总结起来有以下几点体会：
一、返朴归真——用数学的本质魅力来吸引学生
创设情境有利于调动学生的学习兴趣与欲望，但最终能够真正持久地吸引学生的是数学的本质魅力，它才是维系学生不懈学习数学的源泉。课堂上我没有创设情境，但学生在学习活动中投入了极大的热情，这股热情源于学生对数学本身魅力的吸引，源于对数学思考的挑战，源于对数学真理的追求。为什么“在白纸画一个点，然后再画一些点，要求到第一个点的距离都是3厘米。”形成的图形会接近于圆形？而当有无数个这样的点就会形成一个圆形，究竟里面隐藏着怎样的奥秘？是数学的本身魅力吸引着学生。更重要的是，利用这样一个画点平台，用圆规将它补充成一个圆的时候，半径与直径的特征就在潜移默化中悄悄解决了。“为什么圆有无数条半径？”“因为圆上有无数个点，都可以连接圆心成为半径，所以有无数条半径。”“为什么所有的半径的长度都相等？”“我们刚才的游戏就是要求每个点到到圆心的距离是３厘米。”“我还可以用圆规在圆上走一圈，两脚的距离没有变，所以说半径都相等。”看似非常简单的画点游戏，却蕴含了深刻的哲理——圆的本质属性：圆就是平面内到定点距离相等的点的集合。
二、数学思考——有效操作最终为思维的深刻性服务
数学课堂中，数学操作有利于学生数学的思考，但是操作仅仅是作为学习的手段，把它作为“拐杖”，最终实现操作活动数学化。按照皮亚杰的观点，在操作活动数学化的过程要让学生积累丰富的感性经验，再在这个基础上作反省抽象，从而认识概念的本质内涵。所以教师要引导边操作、边思考，逐渐在头脑中建立一定的数学模型，最终使他们能够脱离操作进行数学的思考，实现知识的建构。圆的半径有无数条这一特征，假如想利用操作理解这一特征实在很抽象，但是借助画点这一有效操作手段建立一个认知经验，再通过有效操作后的合理想象，比较容易得出圆有无数条半径，以此类推出圆的直径有无数条也是水到渠成。同时在解决半径与直径之间的关系时，通过测量法、观察法、折叠法来学习数学时，我们在操作时只研究了一条直径与对应的两条半径存在的倍数关系，但是借助不断的想象与推理，以此类推：任何一条直径都有与之相对应的两条半径，最终得出一条直径等于两条半径。可以说，此时的操作并不是主要学习的手段，反而数学的思考——想象、推理成为学习圆的特征主要学习方式。这些有价值的数学思维，随着学生年龄的增长，越来越显现出其重要的地位与作用。
三、文化底蕴——数学学习过程中实现数学知识与数学文化有机融合
数学史料是不仅仅只作为课堂教学的一种点缀，更重要的是通过学习内容的融合中品味其中的含义，用于巩固、深化和拓展对圆的知识。课始，在简单而抽象的圆中展开想象：圆让你联想到生活中的什么物体，老师适时地呈现收集到的精美图片，然后引用古希腊数学家的一句话：“在一切平面图形中，圆是最美的。”有了这样的一种亲身体验美的过程，对圆的思考与研究就添加了有效的催化剂。《周髀算经》关于圆的记载：圆出于方，方出于矩。最初画圆并不是由用圆规画的，而是由正方形不断的切割而成的。事实上，这种方法至今仍在沿用，美术老师还会用这种方法教我们画圆，进一步思考，如果正方形的边长是１０厘米，你能想到圆的直径与半径的长度吗？在默默学习古人画圆方法的过程中，体会到原来自己美术课上画圆的方法也有这样一段美丽的典故呢？数学文化正悄悄滋润着每位学生的心田。其实古人关于圆的研究，又何止一部《周髀算经》呢？二千多年前，我国古代思想家墨子就提出：圆，一中同长也。请你运用所学知识解释墨子研究的成果。练习设计一个数学文化渗透，一个技能练习（求半径和直径），一个用圆的知识解决生活中的问题（且落实了画圆的技能），一个是分析生活中的现象。在落实知识与技能的同时，学会用数学的眼光分析生活问题，学习有价值的数学，精彩地演绎着数学文化。在不断学习与深化的过程中，始终有伟人与史料做伴，数学文化使得数学课堂变得丰满而圆润。
