二阶线性常系数递归数列的特征方程推导 线性回归方程系数推导

不妨设原数列为A(n+2)+W*A(n+1)+E*A(n)=0
首先将二阶递归列转化为一阶递归列:设一个数列Bn,使B(n+1)=A(n+2)+RA(n+1)···(一式)
其中,R为待定系数。
将n+1换位n,得到B(n)=A(n+1)-RA(n)·····················(二式)
由于我们要完成由二阶向一阶的转化。
固要得到B(n+1)-TB(n)=0························(三式)
将一式二式带入三式。得到A(n+2)-(R+T)*A(n+1)+T*R*A(n)=0······(四式)
注意到上式中的系数:1,(R+T),R*T。如果将它们分别看做一个二次方程的二次项,一次项,零次项系数,由于二次项系数恰为一。
这样,由于维达定理,我们所假定的二次方程两根X1,X2就有:X1+X2=R+T,X1*X2=R*T
显然,此方程有唯一实数解X1=R,X2=T,或X1=T,X2=R。
两组解取哪一组是不重要的。
这样,就出现了所谓的二阶递归列的特征方程,同样的,我们可以列出三阶,四阶,不过就要借助卡当公式求根了。
回归正题,我们不妨使X1=R,X2=T。
这样,R和T就为已知系数,又由于An前K项已知。所以Bn的递推列可求。
我们再来观察三式:B(n+1)+TB(n)=0
这种简单的一阶递归列通项可以看出来大概是Bn=B1*T^(n-1)这样的等比数列。
不妨将Bn通项带入二式,这样我们就得到一个带有参变量的一阶递归列:
B1*T^(n-1)=A(n+1)+RA(n)·························(五式)
类似这种一阶递归列的求解方法是将等式两边同时除以(R)^(n+1),得到:
B1*T^(n-1)/R^(n+1)=A(n+1)/(R)^(n+1)-A(n)/(R)^(n),···············(六式)
构造Cn,使Cn=An/(R)^n。
则:B1*T^(n-1)/(R)^(n+1)=C(n+1)-Cn·····················(七式)
上式结构复杂,不容易辨认,将左边整理一下。得到:
(T/R)^(n)*B1*R/T=C(n+1)-Cn,这里说明一下,B1,R,T,C1,都是可求的。
所以,上式可求。
利用累加法,
首先整理上式得到C(n+1)-Cn=-(T/R)^(n)*B1*R/T
由于(T/R)^(n)*B1*R/T的实质就是一个等比数列,所以再累加时可以利用等比数列求和公式计算。
下面的过程相当繁琐,我就大概说了。
先证明一个引论,等比数列求和后的数列Sn是一个常数加公比为原等比数列公比的式子,简单的写,就是Sn=P+Q^n,其中,原等比数列公比为Q。这个证明相当简单,只要带入求和公式就可以得到。
由于上面的引论,我们再利用累加法后等式右边就变为Cn=U+Y(T/R)^n+C1,说明一下,U,Y,C1都是可求的,其中,U,Y,是由系数组成的,C1可由A1,A2导出。

由Cn=An/(R)^n的关系导出An,An为An=(U+C1)*R^n+Y*T^n
令H=(U+C1),J=Y
则An=H*R^n+J*T^n
由于R,T为假定方程的两根,这个假定方程是由二阶递归列系数得到的,故这个假定方程就叫做此二阶递归列的特征方程,这两根就叫做二阶递归列的特征根。
由已经推导出的式子An=H*R^n+J*T^n
因为HJ为常系数,当我们知道A1,A2,或任意其中两项时,我们就可以通过方程组求出通项,这叫做特征根法。

  

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