0是自然数吗? 0是自然数吗是整数吗

记得自己上小学时,老师就告诉我们:1、2、3、4、......这类数字,就是自然数。课本上也是这么说的,当然不包括数字“0”。由此,自然数中不包括0,在我的脑海里根深蒂固。

0是自然数吗? 0是自然数吗是整数吗

然而,许多年后,问题还是出现了。那时,儿子还在上小学,有一天,他指着发下来的一张数学模拟试卷问我,最小的自然数应该填几,我不假思索地回答:是1。可是第二天,儿子放学回来后,很委屈地告诉我,我告诉他的答案是错的,最小的自然数是0!这怎么可能?!我感到极其惊讶,对我而言,这是常识性的错误啊。我当时立刻翻阅了儿子的教科书,果然发现在自然数的序列里,“0”赫然排在第一位!我先是不相信自己的眼睛,其后,又怀疑是印刷错误,最后,我把它归结于编教材者的误人子弟。然而,当我最后安静下来时,又觉得事情可能并不那么简单。于是,我开始查阅一些相关的资料,结果发现,以前的的教科书中,自然数就是正整数,当然没有0。由华罗庚、苏步青、吴文俊、谷超豪等数学大家任主任编委的中国大百科全书数学卷中,在自然数的集合里,0也是被排除在外的。真正的转折出现在1993年,国家计量当局以规定的形式,确定“0”也是自然数。自此,自然数的集合中,又增添了0这个代表什么都没有的新成员。

Let me beclear,(呵呵,奥巴马的口头禅。坦白地说),我对这一纸行政命令并不心悦诚服。原因就在于“自然”这两个字。所谓自然的事,一定是有其演变发展的历史的。所以,自然的也一定是历史的。

我们认知这个世界,无一例外,都是从一个、两个孤立的事物开始的,没有哪个孩子开始学数数是从0开始的。通过不断的积累,数得越多,了解得越多,我们学会了演绎和归纳,我们的思维在向无穷高歌猛进很久之后,才慢慢地开始尝试理解渺小和虚无。古代中国的十进制,太平洋岛屿居民的五进制,印第安人的二十进制,大都起源于我们用手指或手指、脚趾并用来计数。存在决定意识,这才是发展的“自然”法则。

不同于1、2、3、4。......这些数字,0的出现要晚得多。关于0的出现,有许多不同的版本,根据有的故事记载,0最早出现于公元前3世纪,是古巴比伦王国首创的。(但自尼布甲尼撒死后,公元前539年,连新巴比伦业已被波斯所灭!时间上矛盾啊!)。但这是我看到的最早的关于0的出现的记录了。我猜想这是可能的,因为它毕竟晚于芝诺的生卒年月,否则,古希腊著名的芝诺二分悖论就不成其为悖论。芝诺的困惑在于,他不知道0的存在,所以,他无法预知他所给出的2的N次方的倒数(N为正整数)形成的级数是有极限的。也有记载表明,0出现于公元后十世纪的印度和阿拉伯半岛。但最确切记载的应该是出现在12世纪的印度,一位叫巴士卡拉的数学家明确地提出了0这个数及其性质,尽管一些性质的阐述是错误的。但这无疑是人类认识上的一个飞跃。

我最初对0被定义为自然数不以为然的原因在于,自然数应该具备序数特征。我们会这样告诉别人:处理这件事情,第一件要做的事情就是......,而绝不会说第0件事情;主席台上发言的人也不会说:今后,我们要落实好如下几项工作,第0,......,第一,......,第二,......;同样,体育竞技的优胜者,我们会赞美他得了第一名,而不是第0名。

此外,自然数若以1为起始点,后续数字的连续性就有了逻辑上的保障,只要在1的基础上连续加上1,我们就可以拥有整个自然数的集合,例如,1=1,2=1+1,3=1+1+1,4=1+1+1+1,......。但如若以0为自然数的起始点,我们就前进不了半步:0=0,0+0=0,0+0+0=0,0+0+0+0=0,......,这样,虽然(N+1)-N=1,(N为大于等于1的正整数),1-0也等于1,但0与1、2、3、4......之间的逻辑链就完全中断了。

翻看所有的数论书籍,不管是国内的或是国外的,在谈及自然数时,0总是无一例外地被排除在自然数的序列之外的,或是被礼貌地婉拒,或是被粗暴地踹出。这是由于0的某些奇异的或曰不“自然”的属性引起的。0最引人注目的禁忌是不能做除数,这犯了动辄研究数的整除性质的数论的大忌。其次在于,0与任何数相乘都为0,换句话说,0有无数个因子,这给研究素数、合数带来极大的困扰。我曾看到这么一则报道花絮,说的是有些数学家,甚至要把2这个数字逐出素数的行列,原因很简单,没有了2,所有的、无穷无尽的素数就全都是奇数了。仅仅因为一个2,数学家们常常不得不用“奇素数”一词,来表示除了2以外的全体素数!焉能不烦?连2这个真真正正、货真价实的素数,研究数论的数学家们尚且存有欲除之而后快之心,更遑论硬往自然数序列里挤的“0”了。

今天,我们许多人认为,0是个很自然的数了,的却如此。“本次达标考试,我们班的达标率为0”;“开盘五分钟之后,该股的成交笔数为0”,我们当然明白,它们表示一个也没有。但0并不是一个简单的数字,相同的0,它背后代表的意义也许大相径庭。你期末考试考得糟糕,得了个0;我自知自己通不过考试,请了个病假逃考,下学期再考,我成绩单上也是0。但你是实实在在得了个鸭蛋,而我的0是代表缺考,没分,与面子、荣誉无关。两个老妇人,一个命运坎坷,子女早夭;另一位终身未嫁,无子无嗣,在人口普查的表格里,表示子女数的数字都是0,但意义绝不相同。

什么样的0表示实实在在的0,什么样的0代表“无”的意思,这是个有趣的问题,也许它不是数学的命题,倒像是个哲学的命题了。但不管怎么讲,我对“0”的“自然”属性还是深深敬畏的。

随着康托尔的集合论被不断地发展、完善,如今许多大、中学的数学教材都作了较大的变动与更新。进化是历史演进的规律。我只是期盼某些变动能给出合理的理由,让我们明白它所带来的益处,而不是一句简单的“与国际接轨,方便国际交流”,以及一纸命令规定。

此刻,您若是问我,0是不是自然数。我的回答将会是果断和坚定不移的:是!尽管其实多么地心有不甘。不过,平心而论,我并不觉得0的归属真有那么重要。谁又能保证,当初把正整数定义为自然数,不是某位国王或皇帝的敕令呢?现时的事物终将会在未来成为历史的一部分,成为未来的人们视为自然的东西。只要1+1=2不变(当然不能是二进制),一切其实照旧。

“通常把正整数叫自然数。有点名气的数学家布尔吉巴还把0算作自然数。在我们的命题里,任何一个数都不会是0。因为已知它们不能被素数p整除。而0可以被任何数整除。”引自一位俄国数学家。当然,他的这番话,是在我国计量部门颁布有关规定前说的,不足为据。呵呵。

  

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