数学真奇妙——韩信点兵的故事 韩信点兵多多益善故事

韩信是中国古代一位有名的大元帅。他少年时就父母双亡，生活困难，曾靠乞讨为生，还经常受到某些泼皮的欺凌，胯下之辱讲的就是韩信少年时被泼皮强迫从胯下钻过的事。后来他投奔刘邦，展现了他杰出的军事才能，为刘邦打败了楚霸王项羽立下汗马功劳，开创了刘汉皇朝四百年的基业。民间流传着一些以韩信为主角的有关聪明人的故事，韩信点兵的故事就是其中的一个。

　　相传有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。双方大战一场，楚军不敌，败退回营。而汉军也有伤亡，只是一时还不知伤亡多少。于是，韩信整顿兵马也返回大本营，准备清点人数。当行至一山坡时，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看，只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了，这时不由得人心大乱。韩信仔细地观看敌方，发现来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。不一会儿，值日副官报告，共有1035人。他还不放心，决定自己亲自算一下。于是命令士兵3人一列，结果多出2名；接着，他又命令士兵5人一列，结果多出3名；再命令士兵7人一列，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：值日副官计错了，我军共有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”，于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军个个奋勇迎敌，楚军顿时乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

　　战事结束后，部将好奇地问韩信：“大帅是如何迅速地算出我军人马的呢？”韩信说：“我是根据编队时排尾的余数算出来的。”

　　韩信到底是怎么算出来的呢？

　　这是中国古代流传于民间的一道趣味算术题，叫做韩信点兵，还有一首四句诗隐含了解题的法门：

　　“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。

　　七子团圆正半月，除百零五便得知。”

　　诗里让人记住这几个数字：3与70，5与21，7与15，还有105（也就是3、5、7的公倍数）。这些数是什么意思呢？题中3人一列多2人，用2×70；5人一列多3名，用3×21；7人一列多2人，用2×15，三个乘积相加：

　　2×70+3×21+2×15=233

　　用233除以3余2，除以5余3，除以7余1，符合题中条件。但是，因为105是3、5、7的公倍数，所以233加上或减去若干个105仍符合条件。这样一来，128、338、443、548、653……都符合条件。总之，233加上或减去105的整数倍，都可能是答案。韩信根据现场观察，选择了和1035最接近的数字1073。

　　诗歌里的70，21，15又是怎么得来的呢？

　　70是5和7的公倍数，除以3余1；

　　21是3和7的公倍数，除以5余1；

　　15是3和5的公倍数，除以7余1。

　　中国有一本数学古书《孙子算经》也有类似的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”

　　答曰：“二十三。”

　　术曰：“三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。”

　　什么意思呢？用现代语言说明这个解法就是：

　　首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。如果所求的数被3除余2，那么就取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。如果所求数被5除余3，那么取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。如果所求数被7除余2，那就取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。

　　140＋63＋30=233，由于63与30都能被3整除，所以233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。105是3、5、7的公倍数，前面说过，凡是满足233加减105的整数倍的数都是符合题意的，因此依定理译成算式解为：

　　70×2＋21×3＋15×2＝233

　　233－105×2＝23

　　这就是有名的“中国剩余定理”，或称“孙子定理”，它和韩信点兵是一个道理。