爱华网从应用题到问题解决
今天，用了2个小时把张兴朝教授的报告课件整理成文字，又细细品读，文中红色部分是我们在平时教学中需要学习思考并认真落实的思想和内容。希望通过我们对问题解决的教学的学习探索，让孩子们学会用数学的眼光观察世界，发现问题和提出问题，学会用数学的思想方法分析和解决问题。
从应用题到问题解决（报告整理）
张兴朝
《课程标准（2011年版）》总目标指出：
通过义务教育阶段的数学学习，学生能：
1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。
总目标从四个方面具体阐述：
知识技能
数学思考
问题解决
情感态度
其中第三项在《课程标准（实验稿）》中是“解决问题”
一、应用题教学的回顾
第一阶段 从1949年到1965年
算术课程十分重视应用题。1956年《小学算术教学大纲（修订草案）》规定“应当用算术课和算术课外作业总时间的一半左右来解答应用题。”同时把应用题按前苏联的经验分为“简单”“复合”和“典型”三大类。
1963年《全日制小学算术教学大纲（草案）》将简单应用题分为11种，复合应用题学到2步—5步。典型应用题多达十几种如平均、归一、相遇、追及、和倍、差倍、和差、差差、盈亏、植树、流水、鸡兔同笼、年龄、分数应用题三类及工程问题、正反比例应用题等。每一类题目都总结归纳出特殊的解题规律或解题公式。
第二阶段 从1978年到上世纪末（实施新课程标准之前）
1978年“小学算术”课程易名为“小学数学”
一步应用题（简单应用题）不再分类。
复合应用题只学到4 步（义务教育大纲只要求 3步）
典型应用题大幅度删繁就简，只保留求平均数、归一、相遇问题。
反向叙述（标准量未知的）应用题、分数除法应用题和正反比例应用题可以通过方程求解。
二、课程改革打破了应用题的教学格局
20世纪80年代，随着信息技术的迅速发展，世界各国都逐渐把数学教育的关注点转移到“问题解决”上来。
波利亚的著作 《怎样解题》《数学的发现》《数学的猜想》影响广泛。
美国数学教师协会（NCTM）1980年公布《关于行动的议程》其中指出：“80年代的数学教育大纲，应当在各年级都介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去。”“数学课程应当围绕问题解决（Problemsloving）来组织。”这便是问题解决教学模式的发端。
面对时代的挑战，鉴于我国传统应用题教学存在着不少弊端，2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》取消了应用题的提法，改为“解决问题”，2011年课标修订后，又改为“问题解决”。
近百年来我国小学数学（算术）把应用题作为一个独立领域的传统格局被打破了。相关内容融于“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”等领域之中。
从“应用题”到“解决问题”再到“问题解决”，名称的变化带来了数学教学理念的变化，同时也带来教学内容、教学方法、教学评价的变化。
传统应用题多数是以文字形式呈现的,条件和问题刚好匹配的题目，学生解题时不需要自己去收集信息、发现问题和提出问题。部分学生只根据个别关键字词来 掌握题型，根据题型套解题公式，学生善于解决与例题相同的问题，不善于解决变式问题和生活中的现实问题，更不会发现和提出问题。
美国数学教育界提出的¡°问题解决专指解决非常规问题。目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。在学生的认知水平上，要解决非常规问题，没有现成的求解模式可以模仿，需要独立思考，通过自己的探索获得解决问题的途径。这是具有一定创新意义的数学思维过程。
学生在传统的应用题学习中常会存在一些偏见：
每个问题所给出的条件是”恰好”的,解决问题时每个条件都要用上.
每个问题都只有唯一的正确答案,
教师给出的问题都是可解的,解不出来是自己不够聪明
例如：船上有羊26只，牛16头，求船长的年龄。
“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？”
学生：52×150×12=
《课程标准解读》指出：
这里提及的问题并不是数学习题那类专门为复习和训练设计的问题， 也不是仅仅依靠记忆题型和套用公式去解决的问题。
从目前的研究来看，更侧重于与现实问题联系密切，非常规、探究性、开放性的问题。
初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识、提高实践能力。
获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。学会与他人合作交流。初步形成评价和反思的意识。
“问题解决”不等同于解答应用题，比之更为宽泛。“ 问题解决”是解答应用题的上位概念。学生学习数学的过程都不同程度地体现“问题解决”的过程，应用题学习是实现“问题解决”目标的重要载体。
三、 “问题解决”的教学达成
1.创新形式呈现问题
真实性、开放性、趣味性、挑战性
教材内容
问题融入各知识领域，
独立设置“综合与应用” 内容领域，
安排“数学广角”“解决问题策略”等专题，
增加思考性选学材料等。
人教版
数学广角( 优化、集合、数与形）
引入 烙饼、沏茶、田忌赛马、植树问题、鸡兔同笼等
苏教版
解决问题的策略 找规律
枚举 列表 画图 倒推 假设 转化
巨人的手印：荷兰，弗莱登塔尔
昨晚外星巨人访问我校，
留下巨大的手印。 今晚他还要来。
我们请他到教室里来坐坐。请问：
1.他的椅子要多高？
2.他看的书要多大？
2. 扬长避短 借鉴经验
应用题教学的历史悠久，广大一线教师和许多专家学者在实践和研究中，对应用题教学做了大量有益的探索与改革，总结积累了许多宝贵的经验，对此，我们应保持清醒的认识，扬长避短，合理地坚持和继承。
（1）重视数量关系
常见的数量关系
速度 × 时间 ＝ 路程
单价 × 数量 ＝ 总价
工作效率 × 时间 ＝ 工作总量
四种基本的数量关系
部总关系 相差关系 份总关系 倍比关系
（2 ） 制定合理的解题步骤
理解题意----分析数量关系----列式计算---检验作答
波利亚的怎样解题表
弄清问题---制定计划---实现计划---回顾。
人教版教材从三年级开始，使用提示语
“阅读与理解”、“分析与解答”、 “回顾与反思”
学会读题
读懂题目是分析数量关系的基础.
读懂是指学生知道题目表达的是一件什么事，能够用自己的语言表达出来。
当题目中出现一些学生不容易理解的词语句子时，教师采取动作操作情景表演等方式去理解。
题目呈现形式的变化带来读审的变化，读文字、读表格、读图，信息在对话中，信息在现场实物中，有序与无序，有用与无用信息并存。
学生在解决问题的过程中，一般要完成认识上的两个转化。
第一个转化，从纷乱的实际问题中，收集、观察、比较、筛选有用的信息，抽象成数学问题。（建模）
第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，分析其中的数量关系，列出解决问题的算式，求出问题的答案。
而传统的应用题教学，第一个转化完全由教材或教师包办了，这是一大弊端。
（3）引导学生掌握一些分析问题的方法
逻辑分析、执果索因的分析法、由因导果的综合法
建立必要的话语系统 “要求… 需要知道…”“根据 … 可以知道…”
苏教版（修订）
三（上）侧重从已知条件出发分析解决问题的策略（顺向思维}
三（下）从所求问题出发分析解决问题的策略（反向思维）
直观分析 （实物演示、线段图等）例：一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次都喝剩下的一半。５次一共喝了这杯可乐的多少？
对比分析
类比分析
一辆客车2小时行了180千米，照这样计算，5小时可以行驶多少千米？
3 瓶饮料27元，10 瓶这样的饮料多少钱？
4 袋大米重200千克，2 袋大米重多少千克？
分类是人们认识事物的必要途径。应用问题是否分类，如何分类？
以数量关系分、以解题方法、策略分、以题目情节分？
有一个水池，打开进水管注满水池要3小时，打开出水管放净整池水要2小时，现在同时打开进水管和出水管，要多少时间才能把一池水放完？
家庭的收入与支出；公共场所人员的进场与出场；
草场里草的生长与割去、飞机的能源消耗与补充、
人体的新陈代谢、社会人口的增减、
动态平衡的问题。 改变“一个例题一种类型”的“散点式”学习，注重从多种情境中抽象概括数量关系结构，形成数学模型。
3.过程为体策略为用
《课程标准》要求：获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。
重视解题策略的感悟和思想的渗透，应该是“问题解决”教学的重要特征，也是超越传统应用题教学的标志。
波利亚介绍了一些策略：
图表、一一列举、尝试特殊值、后退法、试错、寻找一个类似问题或简单问题等。
《课标（2011年版）》在“数学思考”中提出：
建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。
体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。
在数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。
学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
小学数学中常见的数学思想有：
分类、对应、 数形结合、 转化（化归）、 集合、 类比等。
苏教版小学数学教材专题介绍了六种解决问题的策略
枚举 列表 画图 倒推 假设 转化
枚举法（一一列举）列举所蕴含的数学本质是“对象的分类”，发展有序思维的习惯。
转化（化归）
转化思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知转化为已知、把复杂转化为简单、把一般转化为特殊、把抽象转化为具体、把非常规转化为常规，从而解决各种问题。
异分母分数加减法转化为同分母分数加减法，小数乘法转化为整数乘法，平行四边形转化为长方形求面积，三角形、梯形转化为平行四边形求面积，圆的面积转化为长方形求面积。
著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，……，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。”
画图策略画图蕴含的是数形结合思想。数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。
运用数形结合思想的教学设计
爸爸对小明说：我像你这么大的时候，你才1岁。
小明对爸爸说：我像你那么大的时候，你就76岁了。
问：小明和爸爸现在各多少岁？
分析和解决问题其目的不能只关注于问题的答案，更要重视形成解决问题的策略。
一般而言，学生通过问题解决形成策略大致经历这样的过程：
创设情境 呈现问题-------诱发探寻策略
思考操作 尝试解决-------摸索感悟策略（潜意识）
形式变化 分析比较-------归纳概括策略（明朗化）
举一反三 自觉运用-------内化形成策略（深刻化）
4. 学会思考 鼓励质疑
《课程标准（2011年版）》指出：
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的和核心。
所谓“发现问题”是经过观察思考，在纷繁的现象和情境中，找到数量关系和空间形式方面的联系和矛盾。
所谓“提出问题”是在发现问题的基础上，把找到的事物之间联系或矛盾用数学语言或符号形式表述出来。
观察和思考是发现问题的两把钥匙。欧拉的七桥问题、四色猜想、魏格纳的板块漂移学说。
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。
培养学生的问题意识和创新意识不是一朝一夕可以完成的事情。教师要通过示范、指导、评价等多种途径促进学生的问题意识。
（1）纵向思维 由浅入深
三角形内角和180度。四边形、n边形呢?
怎样的三根小棒可以围成三角形，得出两边之和大于第三边的结论。怎样的四根小棒可以围成四边形？
纵向思维 体现特殊到一般，由一元到多元、低维到高维。
（2）横向思维由此及彼
由一种数联想到另一种数
由一种运算联想另一种运算
由一种图形想到另一种图形
加法交换律
纵向问题 3个、4个加数可以交换吗？
横向问题 减法可以交换吗？
乘法分配律
由c × (a＋b)＝c×a＋c × b 可以类比提出ｃ×（a－b)c ÷（ａ＋ｂ）
例：一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次都喝剩下的一半。５次一共喝了这杯可乐的多少？
（3）逆向思维 因果倒置
计算 3个五角硬币和4个一元硬币的总币值是多少？
可以提出问题：5元5角还可以由哪些硬币组成？“任何两个不等于2的质数相加一定是偶数”“任何大于2的偶数一定可以写成两个质数的和”
针对原命题进行逆命题的质疑。
（4）悖向思维正言若反
悖向思维是指背离原来的认识，并在直接相对立的意义中去探索新的发展的可能性。
由于悖向思维是与已知的认识相对立的，因此相应的观点往往会造成一定的思维冲突和形式矛盾的不和谐现象。为此人们进行再创造，努力消除这种冲突和矛盾，实现更高层次上的和谐性。
“小数不能减大数” 引入了负数；
“两个整数不能整除” 引入了分数；
“负数没有平方根。” 引入了虚数；规定 －1 的平方根是 i.
非欧几何的诞生也是悖向思维的典型成果。
（5）生活现象 数学思考
华罗庚：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学”。
课改提出了研究性学习的要求。数学研究性学习是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学的角度对某些日常生活和其他学科领域出现的问题进行研究。
研究性学习强调开放性、实践性、综合性、探究性。研究性学习对于培养学生的问题意识和发现提出问题、分析解决问题具有重要的意义。
例 1 脏衣服在擦好肥皂揉搓充分以后,一般先把衣服拧紧,排掉污水,再进行漂洗.假设拧紧后衣服中还会留有含污物的水1千克,现有清水10千克,按下面两种方法去漂洗:
方法1 直接把衣服放入10千克清水中一次漂洗.
方法2 把10千克清水分成两份,一份3千克,另一份7千克.分两次漂洗.
你会选择哪种方法来漂洗?为什么? 你还有更好的漂洗方法吗?
例 2 用平底锅烙饼，锅里每次只能放下两张饼，两面都要烙。每一面2.5分钟烙好。如果要烙3张饼最少需要多少分钟？ 烙n张饼呢？
例 3 将一些长2米的汽车停在长度为30米的路边，如果汽车随意停靠，最少可以停多少辆？最多呢？
通电话
金门路小学的教师分别在6个办公室。现在，每个办公室都有一件事要通知其他办公室的教师。那么，至少要通几次电话，才能使每位教师都知道？
5. 评价与反思
评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。
《课程标准（2011版）》
“人性最深刻的禀赋，就是被赏识的渴望。”洛姆（美）
案例 用长50厘米的细绳围成一个边长为整厘米数的长方形，怎样才能使面积最大？
在评价时可以关注几个不同的层次，
1. 能理解题目的意思
2. 能否提出解决问题的策略（如画图）
3. 能否列举出若干满足条件的长方形，并能有序排列
4 在观察比较的基础上能否发现其中的规律并能提出猜想
5. 能对猜测的结果进行验证。
6. 进一步思考，边长如果不是整厘米数情况怎样。
鼓励反思
波利亚：“解题的价值不是答案本身，而在于弄清是怎样想到这个解法的，是什么促使你这样想、这样做的”
一道题的反思 困惑费解之处；回顾解题过程，运用哪些知识技能和策略；解决方法是否唯一等。
一节课的反思 对同一类问题的解法进行比较概括，形成一种思路或策略思想。同时注意其差异。
一个单元的反思 对知识的整体认识，推广、引申发展。对解答问题中的错误进行纠正、辨析。
“问题解决”的教学要体现和培养学生四个意识：问题意识、策略意识、过程意识、反思意识。
