转载 卡尔曼滤波理解转 转载工人

下面，我会用程序举一个实际运行的例子。。。
4． 简单例子
（A Simple Example）
这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。
根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出：
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)
因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ………(8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ………(9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)
现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。
为了令卡尔曼滤波开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。
该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。
附matlab下面的kalman滤波程序：
clear
N=200;
w(1)=0;
w=randn(1,N)
x(1)=0;
a=1;
for k=2:N;
x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);
end
V=randn(1,N);
q1=std(V);
Rvv=q1.^2;
q2=std(x);
Rxx=q2.^2;
q3=std(w);
Rww=q3.^2;
c=0.2;
Y=c*x+V;
p(1)=0;
s(1)=0;
for t=2:N;
p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;
b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);
s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1));
p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);
end
t=1:N;
plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');

算法实现
X(k) = F(k,k-1)·X(k-1)+T(k,k-1)·U(k-1)
Y(k) = H(k)·X(k)+N(k)
其中
X(k)和Y(k)分别是k时刻的状态矢量与观测矢量
F(k,k-1)为状态转移矩阵
U(k)为k时刻动态噪声
T(k,k-1)为系统控制矩阵
H(k)为k时刻观测矩阵
N(k)为k时刻观测噪声
则卡尔曼滤波的算法流程为：
X(k)^= F(k,k-1)·X(k-1)
计算协方差矩阵
C(k)^=F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)'+T(k,k-1)×Q(k)×T(k,k-1)'
Q(k) = U(k)×U(k)'
计算卡尔曼增益矩阵
K(k) =C(k)^×H(k)'×[H(k)×C(k)^×H(k)'+R(k)]^(-1)
R(k) = N(k)×N(k)'
更新
X(k)~=X(k)^+K(k)×[Y(k)-H(k)×X(k)^]
计算更新后协防差矩阵
C(k)~ =[I-K(k)×H(k)]×C(k)^×[I-K(k)×H(k)]'+K(k)×R(k)×K(k)'
X(k+1) = X(k)~
C(k+1) = C(k)~
重复以上步骤
#include "stdlib.h"
#include "rinv.c"
int lman(n,m,k,f,q,r,h,y,x,p,g)
int n,m,k;
double f[],q[],r[],h[],y[],x[],p[],g[];
{ int i,j,kk,ii,l,jj,js;
double *e,*a,*b;
e=malloc(m*m*sizeof(double));
l=m;
if (l<n) l=n;
a=malloc(l*l*sizeof(double));
b=malloc(l*l*sizeof(double));
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ ii=i*l+j; a[ii]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1;kk++)
a[ii]=a[ii]+p[i*n+kk]*f[j*n+kk];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ ii=i*n+j; p[ii]=q[ii];
for (kk=0; kk<=n-1;kk++)
p[ii]=p[ii]+f[i*n+kk]*a[kk*l+j];
}
for (ii=2; ii<=k; ii++)
{ for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=m-1; j++)
{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1;kk++)
a[jj]=a[jj]+p[i*n+kk]*h[j*n+kk];
}
for (i=0; i<=m-1; i++)

for (j=0; j<=m-1; j++)
{ jj=i*m+j; e[jj]=r[jj];
for (kk=0; kk<=n-1;kk++)
e[jj]=e[jj]+h[i*n+kk]*a[kk*l+j];
}
js=rinv(e,m);
if (js==0)
{ free(e); free(a); free(b);return(js);}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=m-1; j++)
{ jj=i*m+j; g[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=m-1;kk++)
g[jj]=g[jj]+a[i*l+kk]*e[j*m+kk];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
{ jj=(ii-1)*n+i; x[jj]=0.0;
for (j=0; j<=n-1; j++)
x[jj]=x[jj]+f[i*n+j]*x[(ii-2)*n+j];
}
for (i=0; i<=m-1; i++)
{ jj=i*l; b[jj]=y[(ii-1)*m+i];
for (j=0; j<=n-1; j++)
b[jj]=b[jj]-h[i*n+j]*x[(ii-1)*n+j];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
{ jj=(ii-1)*n+i;
for (j=0; j<=m-1; j++)
x[jj]=x[jj]+g[i*m+j]*b[j*l];
}
if (ii<k)
{ for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=m-1;kk++)
a[jj]=a[jj]-g[i*m+kk]*h[kk*n+j];
if (i==j) a[jj]=1.0+a[jj];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*l+j; b[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1;kk++)
b[jj]=b[jj]+a[i*l+kk]*p[kk*n+j];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1;kk++)
a[jj]=a[jj]+b[i*l+kk]*f[j*n+kk];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*n+j; p[jj]=q[jj];
for (kk=0; kk<=n-1;kk++)
p[jj]=p[jj]+f[i*n+kk]*a[j*l+kk];
}
}
}
free(e); free(a); free(b);
return(js);

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