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反馈开方公式
从网上找到一个牛B开方公式，如图
公式1
对A开k次方，A>0, k=2,3,4,5……
手算开方最适用的也就是开平方，开立方。开高次方本公式也适用，不过计算量大点。
你输入一个近似值X_n,输出值X_(n+1)会补偿部分误差，更接近准确值。多次迭代，达到或非常接近准确值。
即使X_n误差很大，X_(n+1)也更接近准确值,多次迭代，也能达到或非常接近准确值。这叫反馈开方。
推导过程如下
这个公式用牛顿切线法推导也行。
例如，A=5，k=3.
公式：X_(n+1）=X_n+（A/X_n^2-Xn）/3
5介于1^3至2^3之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
初值 X_0可以取1.0，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0。
例如我们取2.0 按照公式：
第一步：X_1=2.0+[5/(2.0^2-2.0]/3=1.75。
因为1.75与2.0偏差较大，所以1.75只取1.7就行，仍是两位数。有细心的读者问：1.75就算取两位数，也应该四舍五入到1.8呀？问得好！
我用Excel表格迭代反馈开方公式时，发现无论输入值比准确值大还是小，输出值都比准确值大。
[这个现象我以后专门证明]
也就是X_1=1.75比真实值大，所以1.75的5舍弃！
第二步：X_2=1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71003
因为1.71003与1.7偏差很小，所以取4位数，比前面多取两位数。
X_2=1.710
第三步：X_3=1.710+[5/(1.710^2-1.710]/3=1.709975947。
因为1.709975947与1.710偏差极小，所以甚至可取8位数，比前面多取4位数！
X_3=1.7099759
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，按照 反馈开方公式 输出值自动变小；
第二步输入值偏小，按照 反馈开方公式 输出值自动变大。
又如取 x_0=1.0
在Excel表格中复制公式，用迭代法
x_0=1→x_1=2.33333→1.86168→1.72200→1.71006→x_5=1.70998
看出问题了，x_1=2.33333这个正反馈值已经超过1-2的上限，虽然经过6次反馈也能得出很精确的值，但是比上面只经过3次反馈麻烦多了。
所以x_0的选择要严谨，初估值在1-2之间，如果靠近1就取1，如果靠近2就取2，
如果两个都不靠近，再确定<1.5还是>1.5，这样初估值就非常接近真实值
仍以A=5，k=3为例
初估值在1-2之间，判断中间值1.5大小：
1.5^3=3.375<5<8
所以1.5<初估值<2
并且3.375比8更靠近5，所以初估值1.6或1.7
例2：A=0.5,k=3
0<A<1,0和1之间的数开方，结果在A和1之间。0.7^3=0.343,0.8^3=0.512, 0.512很接近0.5，所以取初值
x_0=0.80，在Excel表格中复制公式，用迭代法
0.80→0.79375→0.7937005290677→0.7937005259841
只要 3步，就精确到13位有效数字，功劳首推初值精度高。
用乘方反过来验算
0.7937500000000 ^3 = 0.5000935058594
0.7937005290677 ^3 = 0.5000000058277
0.7937005259841 ^3 = 0.5000000000000
