爱华网三角函数的诱导公式
教学分析
本节主要是推导诱导公式二、三、四，并利用它们解决一些求解、化简、证明问题．
本小节介绍的三组诱导公式在内容上既是公式一的延续，又是后继学习内容的基础，用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题．
在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末，这一典型的数学思想，无论在本节中的分析导入，还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，均清晰地得到体现，在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识．
公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角，但是在推导中却把α拓广为任意角，这一思维上的转折使学生难以理解，甚至会导致对其必要性的怀疑，因此它成为本课时的难点所在．
课本例题实际上是诱导公式的综合运用，难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角．学生第一次接触到此题型，思维上有困难，要多加引导分析，另外，诱导公式中角度制亦可转化为弧度制，但必须注意同一个公式中只能采取一种制度，因此要加强角度制与弧度制的转化的练习．
三维目标
1．通过学生的探究，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力．
2．通过诱导公式的运用，熟练地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
3．进一步领悟和体会化归的数学思想．
重点难点
教学重点：诱导公式的推导和灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．
教学难点：诱导公式的灵活运用．
教学过程：
提出问题
由公式一把任意角α转化为［0°，360°)内的角后，如何进一步求出它的三角函数值?
在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得，特殊角的三角函数值学生记住了，对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得．教师可组织学生思考讨论如下问题：0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系，引导学生得出解决设问的一种思路：若能把求［90°，360°)内的角β的三角函数值，转化为求有关锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，适时提出，这一思想就是数学的化归思想，教师可借此向学生介绍化归思想．
图1
讨论结果：通过分析，归纳得出：如图1．
提出问题
①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?
②它们与单位圆的交点的位置关系如何?
③任意角α与180°+α呢?
分α为锐角和任意角作图分析：如图2．
图2
引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系．
无论α为锐角还是任意角，180°+α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择180°+α为研究对象．
利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P(x，y)和P′(-x，-y)．
指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：
sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα．
并指导学生写出角为弧度时的关系式：
sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα．
引导学生观察公式的特点，明了各个公式的作用．
讨论结果：
①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线．
②它们与单位圆的交点关于原点对称．
③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称．
提出问题
①有了以上公式，我们下一步的研究对象是什么?
②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考：任意角α和-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标．探索、概括、对照公式二的推导过程，由学生自己完成公式三的推导，即：
sin(-α--)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα．
教师点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．
讨论结果：
①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦．
②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．
提出问题
①下一步的研究对象是什么?
②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
讨论π-α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标．探索、概括、对照公式二、三的推导过程，由学生自己完成公式四的推导，即：
sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．
强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．
引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．
让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆．
我们可以用下面一段话来概括公式一—四：
α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．
讨论结果：
①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数；
②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．
示例应用
例1利用公式求下列三角函数值：
这是直接运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用．让学生观察题目中的角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题．
解：
点评：利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：
上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法．
变式训练
利用公式求下列三角函数值：
解：(1)cos(-510°15′)=cos510°15′
=cos(360°+150°15′)
=cos150°15′=cos(180°-29°45′)
=-cos29°45′=-0．868 2；
例2 2007全国高考，1
cos330°等于()
答案：C
变式训练
化简：
解：
例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°．
活动：这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目．利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约分．
点评：利用诱导公式化简，是进行角的转化，最终达到统一角或求值的目的．
变式训练
求证：
分析：利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边．
所以原式成立．
规律总结：证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简．
设计反思
1.本节设计指导思想是：在教师引导下放手让学生自主探究．因为公式多，学生容易记混，所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉，在应用公式解决问题中灵活熟练掌握公式．通过学生的自主探究、推导公式，培养学生独立思考、知难而上的科学态度，更进一步地体会数学的奇特美、对称美．激发学生强烈的探究欲望，培养学生会学习的良好品质．
2.三角函数的诱导公式应注意的问题
(1)α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号；可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限．”
(2)公式中的α是任意角．
(3)利用诱导公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．
基本步骤是：
即负化正，大化小，化为锐角再查表．
3.用类比的方法学习本节课的基础知识，用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明．
