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九点共圆，指的是三角形中，三边的中点、三条高的垂足、垂心到三顶点连线的中点，这九个点分布在同一圆上。这个定理看起来是很不好证的 ，但是如果先不把九个点都考虑进来，只考虑一边中点、一个垂足、垂心到一顶点连线中点这三点共圆，那是肯定共圆的。然后证明这个圆的圆心和半径对三角形来说很特殊，就可以说明九点都分布在此圆上。经探究，这个特殊的圆心是垂心外心连线中点，半径为三角形外接圆半径的一半。已知：△ABC中，P为垂心，Q为外心，O为PQ中点，BE为AC边上的高，D为AC中点，F为BP中点求证：OD=OE=OF=△ABC外接圆半径的一半证明连接并延长AP交BC于G，作BC中点H，连接DQ、HQ、DH、BQ∵P为△ABC的垂心，BE为AC上的高（已知）∴B、P、C三点共线，AG⊥BC（垂心的定义与性质）∵Q为△ABC的外心（已知），D为AC中点（已知），H为BC中点（由辅助线点做法得）∴BQ为△ABC的外接圆半径，QD⊥AC，QH⊥BC（外心的定义与性质）又∵BE⊥AC（已知），AG⊥BC（已证）∴BE∥DQ，AG∥HQ（垂直于同一直线的两直线平行）∵D为AC中点，H为BC中点（已证）∴DH∥AB，DH=AB/2即DH/AB=1/2（三角形中位线平行于第三边且等于底边一半）综上有DH∥BA，HQ∥AP，DQ∥BP（已证）∴△DHQ∽△BAP（三边对应相等的两三角形相似）∴DQ/BP=DH/AB=1/2（相似三角形对应边成比例）∵F为BP中点（已知）∴FP=BP/2即FP/BP=1/2（中点的定义）∴DQ=FP（等量代换）∵O为PQ中点（已知）∴OP=OQ（中点的定义）∵BE∥DQ（已证）∴∠FPO=∠DQO（两直线平行，内错角相等）综上有OP=OQ，∠OPF=∠OQD，PF=QD（已证）∴△POF≌△QOD（SAS）∴OF=OD，∠POF=∠QOD（全等三角形对应边相等，对应角相等）∴O为DF中点（中点的性质）∵P、O、Q三点共线（中点在线段上）∴∠POQ=∠POF+∠QOF=180°（共线的性质）∴∠FOD=∠QOD+∠QOF=180°（等量代换）∴F、O、D三点共线（共线的判定）∵F为PB中点，O为PQ中点（已知）∴OF=BQ/2，即外接圆半径的一半（三角形中位线为第三边的一半）∴OD=BQ/2，即外接圆半径的一半（等量代换）∵EF⊥AC（已知）∴∠DEF=90°（垂直的定义）又∵O为DF中点（已证）∴在Rt△DEF中，OE=DF/2=(OD+OF)/2=BQ/2,即外接圆半径一半（直角三角形斜边上中线等于斜边一半）证明完毕以上证明了三角形高的垂足、边的中点、垂心到顶点连线的中点一定在一个以垂心、外心间线段中点为圆心、外接圆半径长一半的圆上，因而结论证明。三角形三边中点、三高垂足、垂心到三顶点连线中点都在同一圆上，称为九点圆，亦称欧拉圆。九点圆圆心在欧拉线上，到垂心、外心间距离相等。九点圆半径等于外接圆半径的一半。
