证明——三角形九点共圆 证明五点共圆

证明——三角形九点共圆 证明五点共圆
九点共圆,指的是三角形中,三边的中点、三条高的垂足、垂心到三顶点连线的中点,这九个点分布在同一圆上。这个定理看起来是很不好证的 ,但是如果先不把九个点都考虑进来,只考虑一边中点、一个垂足、垂心到一顶点连线中点这三点共圆,那是肯定共圆的。然后证明这个圆的圆心和半径对三角形来说很特殊,就可以说明九点都分布在此圆上。经探究,这个特殊的圆心是垂心外心连线中点,半径为三角形外接圆半径的一半。

已知:△ABC中,P为垂心,Q为外心,O为PQ中点,BE为AC边上的高,D为AC中点,F为BP中点求证:OD=OE=OF=△ABC外接圆半径的一半证明连接并延长AP交BC于G,作BC中点H,连接DQ、HQ、DH、BQ∵P为△ABC的垂心,BE为AC上的高(已知)∴B、P、C三点共线,AG⊥BC(垂心的定义与性质)∵Q为△ABC的外心(已知),D为AC中点(已知),H为BC中点(由辅助线点做法得)∴BQ为△ABC的外接圆半径,QD⊥AC,QH⊥BC(外心的定义与性质)又∵BE⊥AC(已知),AG⊥BC(已证)∴BE∥DQ,AG∥HQ(垂直于同一直线的两直线平行)∵D为AC中点,H为BC中点(已证)∴DH∥AB,DH=AB/2即DH/AB=1/2(三角形中位线平行于第三边且等于底边一半)综上有DH∥BA,HQ∥AP,DQ∥BP(已证)∴△DHQ∽△BAP(三边对应相等的两三角形相似)∴DQ/BP=DH/AB=1/2(相似三角形对应边成比例)∵F为BP中点(已知)∴FP=BP/2即FP/BP=1/2(中点的定义)∴DQ=FP(等量代换)∵O为PQ中点(已知)∴OP=OQ(中点的定义)∵BE∥DQ(已证)∴∠FPO=∠DQO(两直线平行,内错角相等)综上有OP=OQ,∠OPF=∠OQD,PF=QD(已证)∴△POF≌△QOD(SAS)∴OF=OD,∠POF=∠QOD(全等三角形对应边相等,对应角相等)∴O为DF中点(中点的性质)∵P、O、Q三点共线(中点在线段上)∴∠POQ=∠POF+∠QOF=180°(共线的性质)∴∠FOD=∠QOD+∠QOF=180°(等量代换)∴F、O、D三点共线(共线的判定)∵F为PB中点,O为PQ中点(已知)∴OF=BQ/2,即外接圆半径的一半(三角形中位线为第三边的一半)∴OD=BQ/2,即外接圆半径的一半(等量代换)∵EF⊥AC(已知)∴∠DEF=90°(垂直的定义)又∵O为DF中点(已证)∴在Rt△DEF中,OE=DF/2=(OD+OF)/2=BQ/2,即外接圆半径一半(直角三角形斜边上中线等于斜边一半)证明完毕以上证明了三角形高的垂足、边的中点、垂心到顶点连线的中点一定在一个以垂心、外心间线段中点为圆心、外接圆半径长一半的圆上,因而结论证明。三角形三边中点、三高垂足、垂心到三顶点连线中点都在同一圆上,称为九点圆,亦称欧拉圆。九点圆圆心在欧拉线上,到垂心、外心间距离相等。九点圆半径等于外接圆半径的一半。

  

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