正方形的判定 正方形的性质

§ 20.4正方形的判定

教学目标

1、知识与技能

掌握正方形的判定方法,并会用它们进行有关的论证和计算。

2、过程与方法

通过对比理解正方形判定方法与平行四边形、矩形、菱形判定方法的联系和区别,提高学生的逻辑推理能力。

3、情感、态度与价值观

通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育。

重点与难点

1、重点:正方形判定方法的证明与灵活运用。

2、难点:正方形判定方法与矩形、菱形判定方法的联系与区别。

教学方法

本节的主要内容是正方形的判定方法,对于怎样判定一个四边形是正方形,因为层次比较多,不必分析的太具体,只要强调判定一个四边形是矩形,又能判定这个矩形也是菱形。或者先判定四边形是菱形,再判定这个菱形也是矩形,就可以判定这个四边形是正方形。实际上就是根据正方形定义来判定。

正方形的判定是平行四边形、菱形、矩形判定的综合。可以通过本节的教学总结、归纳前面所学的内容。还可以通过本节的教学,澄清学生存在的一些模糊概念。

教具准备

正方形的判定 正方形的性质

教学用三角板与圆规。

教学过程

一、复习引入

教师讲解:本节课,我们将探究正方形判定定理。我们在这里的探究方法与前几节相同。我们已经知道,正方形是一个中心对称图形,也是一个轴对称图形,正方形的定义是:既是菱形,又是矩形的四边形是正方形。正方形有如下的性质:①四条边都相等;②四个角都是直角。

二、探究新知

(一)正方形判定方法1的探究

教师讲解:我们可以证明,有一个角是直角的菱形是正方形,即有一个角是直角的菱形也是矩形。

教师提问这一结论如何证明,要求学生作简要回答。学生回答后教师总结:如果一个四边形是菱形,那么它就是平行四边形,这个四边形又有一个角是直角,则它又是矩形,所以是正方形。

(二)正方形判定方法2的探究

教师讲解:我们还可以证明,有一组邻边相等的矩形是正方形。即有一组邻边相等的矩形也是菱形。

教师提问这一结论如何证明,要求学生作简要回答。学生回答后教师总结:如果一个四边形是矩形,那么它就是平行四边形,这个四边形又有一组邻边相等,则它又是菱形,所以是正方形。

(三)实例讲解

1、教师提出问题:如图20.4-1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F。

求证:四边形CFDE是正方形。

教师分析解题过程:要证明四边形CFDE是正方形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证有一组邻边相等;也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角。

教师要求学生证明,学生证明后教师检查证明过程,给予即时纠正。

证明:∵DE⊥BC,DF⊥AC,

∴∠DFC=∠DEC=90°(直角定义);

又∵∠ACB=90°,

∴四边形CFDE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)。

∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,

∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边距离相等)。

∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)。

拓展知识:①如果把题的条件改成DE∥AC,DF∥BC,这个结论还成立吗?②如果∠ACB不是90º,那么四边形CFDE会是什么图形?

你还会对上边的题目做怎样的变换呢?学生动脑思考,交流方法。

2、教师提问:老师给学生一个任务:从一张彩纸中剪出一个正方形。AC

小明剪完后,他这样检验它:他比较了边的长度,发现4条边是相等的。小明就判定他完成了这个任务。这种检验方法可信吗?

小兵用另一种方法检验:他量的不是边,而是对角线。发现对角线是相等的。小兵就认为他正确地剪出了正方形。这种检验对吗?

小英剪完后,比较了对角线相互分成的4条线段,发现它们是相等的。按照小英的意见,这说明给出的四边形是正方形。你的意见怎样?

你认为应该如何检验才能又快又准呢?

学生回答后教师给出正确答案:小明的检验方法只能说明剪的是菱形,不一定是正方形;小兵的检验方法不正确,不能说明剪的是平行四边形,更不一定是菱形、矩形或正方形;小英的检验方法只能说明剪的是矩形,不一定是正方形。

正确的方法是先比较4条边的长度,如果相等,则说明是菱形;再量一个内角,如果是直角,则可以断定它是正方形。

应用:如果我把一张纸换成一块手帕,你能准确的判断手帕是否是正方形吗?

3、补充例题。已知:如图20.4-2,四边形ABCD是正方形,分别过A、C两点作l1l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P两点。

求证:四边形PQMN是正方形。

分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP,即可证出MN=NP。从而得出结论。

证明:∵PN⊥l1,QM⊥l1

∴PN∥QM,∠PNM=90°。

∴四边形PQMN是矩形。

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角)。

∴∠1+∠2=90°。

又∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3。

∴△ABM≌△DAN。

∴AM=DN。同理AN=DP。

∴AM+AN=DN+DP

即MN=PN。

∴四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)

三、随堂练习

课本第118页练习第1、2题。

四、课时总结

  

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