爱华网第二讲力矩·转动平衡初步
一：引入
例1如图所示，细线的一端固定于A点，线的中点挂一质量为m的物体，另一端B用手拉住，当AO与竖直方向夹角为θ，OB沿水平方向时，BO的拉力是多大？
〖常规方法〗力的正交分解法或力的合成法。
【设疑】同学们可否用初中的知识求解？
二：新课
1、力矩复习
物体在转动的时候，物体上的各点都做圆周运动，这些圆周的圆心在同一直线上，这条直线叫做转动轴，简称转轴。
一个力作用在物体上，可以同时产生转动效果和平动效果。若一个力作用在有固定转动轴的物体上，由于物体受到固定转动轴的限制，所以物体只能转动。
我们通常用力矩来描述力对物体绕轴转动的效果。
当力F在与转动轴垂直的平面内时，力与力臂的乘积称为力矩，用M表示：M=F·L。
其中力臂为作用在物体上的力F的作用线和转动轴之间的距离，用L表示。
力矩的单位是牛顿·米，简称牛·米，符号为N·m。
物体绕轴转动有两个不同的方向，如果规定使物体绕逆时针方向转动的力矩为正，则使物体绕顺时针方向转动的力矩取负。
2、转动平衡
力矩对物体的转动效果是使物体的转动状态发生变化，（所以有些时候也用动力矩和阻力矩加以区分力矩的方向）。故而合力矩为零时，物体保持不转动或匀速转动的状态，此时称为物体转动平衡。
2．1特殊应用
（a）重心问题
例2如图，一个半径为R、质量均匀分布薄板。现沿着一条半径挖去其中半径为R/2的圆形薄板，求剩余薄板的质心位置。
【参考答案】以原圆心O为固定转轴，补上挖去的小圆薄板，组成一个静止的大圆薄板，则剩余薄板重力矩与小圆薄板重力矩平衡，可求得剩余薄板的重心在原来圆心、挖去薄板圆心所在的直径上，即圆心O的另一侧，与O点距离为R/6。
（b）两体问题
例3两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m1和m2 ，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30°，如图15所示。则m1 :m2为多少？
【参考答案】三种方法解决该类问题。其一，用相似三角形及正弦定理解决；其二，力矩转动平衡；其三，用整体重心法解决。答案：1 ：
〖解题小结〗两个质量分别为M1和M2的质点相距L，则其重心位置为。
用坐标表示为
（c）堆砖问题
例4长度为L的相同的砖块平堆在地面上，上面一块相对下面一块伸出L/4，求最多可以堆多少块刚好不翻倒？
【参考答案】若要不翻倒，则重心必须落在支撑面内。可求得为4块。
2．2一般问题
例5一个质量为m=50kg的均匀圆柱体，放在台阶的旁边，台阶的高度A是圆柱半径r的一半，如图所示，柱体与台阶接触处是粗糙的。现在图中柱体的最上方A处施一最小的力，使柱体刚好能开始以P为轴向台阶上滚，求：
⑴所加力的大小。⑵台阶对柱体作用力的大小
【参考答案】先把力臂求出，再用力矩转动平衡关系列方程。得F=250N，f=430N。还有其它方法吗？
〖解题小结〗⑴固定转动轴的选取
⑵物体无论受多少力，总可以通过力的合成减少受力数量，总可以转化成物体只受三个力。且三力平衡汇交一点，就使转动平衡转化成静力平衡。
如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，即静力平衡和转动平衡。故静力学问题解题的一般思路是:： ㈠确定研究对象；
㈡受力分析；
㈢写出静力学平衡方程：①x方向上的平衡方程；
②y方向上的平衡方程；
③力矩平衡方程。
对于某个具体物理量的求解，可以选取不同的方程，并不是一定要全部列出上述三类方程，希望同学们在练习中自行体会。
例5在一倾角为θ的粗糙斜面上，有一被水平细线拉住边缘的小球处于静止状态，若已知小球重为G，试求斜面对小球的摩擦力。
【参考答案】f=G sinθ/(1+cosθ)=G tan(θ/2)
2．3力偶
F |
O |
F |
F |
OO |
类似于力矩，力偶矩也可使用物体向不同方向转动。一般也是规定使用物体向逆时针方向转动的力偶矩为正，使用物体向顺时针方向转动的力偶矩为负。
对有固定转轴的物体来说，用一个力可以使用它转动，用两个力组成力偶也可以使它转动。但它们有差别吗？参照下两个图并举实例加以说明。(两手对汽车方向盘产生一个力偶；用套筒拧螺母，两手对套筒产生一个力偶；定滑轮等)
一个力作用在物体上，可以同时产生转动作用和平动作用。一个力作用在有固定转动轴的物体上，物体之所以没有发生平动，是因为物体受到固定转动轴的限制，这时转动物体要受到转动轴的压力，转动轴同时也要受到转动物体的压力。这种压力往往是不利的，例如用一只手扳套筒，就容易磨损螺纹。用力偶来使用物体转动，因为力偶只产生转动作用，在转动物体和转动轴之间就不会产生压力。因此，如果希望只产生转动作用，那就应该用力偶来使物体转动。
三：强化训练
练1如图，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？
解：以球和杆为对象，研究其对转轴O的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为f ，支持力为N，重力为G，力矩平衡方程为：
f R +N（R + L）= G（R + L）①
球和板已相对滑动，故：f =μN②
解①②可得：f=μG(R+L)/(R+L+μR)
再看木板的平衡，F = f。
同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦f′=μG(R+L)/(R+L-μR) = F′。
故F’=(R+L+μR) /(R+L-μR) 。
练2 底边为a，高度为b的匀质长方体物块置于斜面上．斜面和物块之间的静摩擦因数为μ，斜面的倾角为θ，当θ较小时，物块静止斜面上，如图所示，当θ逐渐增大到某个临界角0时．物块将开始滑动或翻倒．试分别求出发生滑动和翻倒时的，并说明在什么条件下出现的是滑动情况，在什么条件下出现的是翻倒情况．
解：物体恰好沿斜面下滑的条件是:
mgsinθ=μmgcosθ即μ=tanθ
若物体不下滑而翻倒,此时重心的延长线恰好过物体的左下角如图。此时角θ满足tanθ= a/b
若μ,当tanθ= a/b 时, 先开始滑动.
若μ>a/b, 当tanθ= a/b时，先翻倒。
练3如图．梯子长为2l,重量为G，梯子上的人的重量为G’，人离梯子下端距离为h，梯子与地面夹角为θ,梯子下端与地面间的摩擦因数为μ,梯子与墙的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的h值．
解：杆的受力情况如图所示：
由于杆静止，∑F=0，∑M=0
N=f
N’=G’+G
GLcosθ+G’hcosθ=N2Lsinθ
f= μN’
解方程可以得出：h=(2μL(G+G’)tanθ-GL)/G’
所以，只要h≤(2μL(G+G’)tanθ-GL)/G’，梯子就不会滑动。
练4在竖直墙面L．有两根相距为2a的水平木桩A和B，有一·细木棒置于A之上,B之下时与竖直方向成θ角静止，棒与A,B的摩擦因数为μ0，现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不下坠.如图，求此时棒的重心的位置离A桩的距离．
解：对棒受力分析.由棒静止,合力为0,
N1+Gsinθ=N2f1+f2=Gcosθ
设重心到A的距离为x,分别以B点和A点为轴,合力矩为0可得：N2·2a=G·(2a+x)sinθN1·2a=G·x·sinθ
又有f1=μ0 N1 ，f2=μ0 N2
以上三组方程联立可得:x=a(cotθ/μ0 -1)
练5—个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为μ,如果在球上加一·个竖直向下的力F，如图．问力F离球心的水平的距离s为多大，才能使球做逆时针转动?
解：当球开始转动时,f1，f2达到最大静摩擦
F+G=N1+f2N2=f1
分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程Fs= f1 r+ f2r.
因f1，f2为最大静摩擦：f1=μN1 ，f2=μN2
将以上方程联立可得：
练6三个完全相同的圆柱体，如图所示，叠放在水平桌面上，将C 柱体放上 去之前，A、B两柱体接触但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ，若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？
解：可以证明，各接触点的摩擦力大小相等。
对C：
A的水平方向，有
A的竖直方向，有
解得
四：课外作业
1 ．如图所示,求图示均匀薄板的重心,大正方形边长为a,挖去的小正方形边长为a/4,一个顶点在大正方形的几何中心上,两正方形各对应边相互平行.
2．长度均为L的长方形匀质木快堆放在水平地面上，每一块都相对下面一块伸出L/n(n 2),问最多可以堆几块同样的木快而刚好不翻倒?
3．如图所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自由转动。细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ，AP长度是杆长的1/4，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于_______。
4．重量为G的一根均匀硬棒AB,杆A端被绳吊起,在杆的另一端B作用一个水平的拉力F,把杆拉向右边,使整个系统平衡后,棒与绳跟竖直方向夹角为θ和α,如图1-31所示,求证tanθ=2tanα。
5．一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角θ的函数关系。
6．圆桌面由三条相互等距的桌腿在圆桌边缘上支撑着，桌腿重量忽略不计。某人坐在正对着一条桌腿边缘上，恰好使到圆桌以另两条桌腿着地点的连线为轴而倾倒，圆桌倾倒后，他再坐到桌面的最高点上，恰巧又能使圆桌恢复过来。求桌面半径与桌腿长度之比。
7．直径都是d质量都是m的金属球置于直径为D的筒内，以知2d>D>d，试证明筒的质量M至少等于2(D-d)m/D时，园筒才能倒扣住两金属球而不倒。
