爱华网转谈谈有限元的学习
一、明确学习目的和目标
有限元作为计算数学（现代应用数学分支）的重要组成部分，有其深远的研究意义和丰富的研究内涵。值得一说的是，我国数学家冯康(1920~1993)是有限元理论的创始人之一，他独立于西方学者的条件下创造性的于1964年提出了有限元方法，其里程碑式的论文《基于变分原理的差分格式》标志着我国学者创造有限元理论的独立性。西方在同一时间段内有还有一大批学者陆续被吸引到这个领域中，逐步形成和完善的有限元理论。（这里不详细列举了）可以看出，如果想从数学意义真正理解有限元方法，对于工科本科生，甚至研究生都存在一定困难，也可能会使学习周期过长。可能就是因为这个原因，目前国内外大多数工科院校的有限元教材都是从结构力学中的直接刚度法(DirectStiffnessMethod,DSM)开始，先谈离散化思想，再推导梁单元的有限元格式。在后面关于有限元的论述中则深浅不一，甚至充斥一些有限元软件的介绍。这一学习思路有其优点，即有利于工科学生入门，理解较为直观。但其缺点也同样明显，就是容易使学生堕入思维上的定式，看不到有限元方法的真正内涵。毕竟，“第一印象”对初学者来讲影响颇深。到底如何学习有限元，我想还是取决于学习目的。作为工科学生学习有限元，其目的不外乎有两种用途，一种是作为有限元软件使用的必要理论认识，另一种是以有限元理论为工具，解决力学问题。后一种要求有限元的掌握深一些是显然的，而对前一种很多人认为只要初步了解有限元即可，我认为这是不正确的。使用有限元软件分析问题，有时对使用者的理论基础要求更高。因为软件不是自己写的，解答是否正确只能根据分析加以判断，没有扎实的理论基础，只能凭工程经验或猜想。这对计算的可靠性和准确性都是极为有害的。着眼于这一分析，我认为有限元教学应从其数学原理开始，虽然这样会使第一章的学习困难些，但会建立正确的观念和印象，有利于长远学习。清华大学王勖成的《有限元法》、哈尔滨工业大学王焕定的《有限元与编程》都是从这一思路出发讲述有限元的，推荐作为有限元学习教材。
总之，学习有限元要先明确学习的目的和目标，选择好合适的教材，这是迈出学习的第一步，也是很重要的一步。
二、学习有限元的数学基础知识
工科学生学习有限元方法的第一只拦路虎就是数学基础知识,到底需要哪些必备的数学基础,才能保证有限元的的顺利理解和应用呢?我仅能以本人的认识和水平谈一谈.
1. 矩阵论
由于涉及到多维广义坐标下的运算，有限元多以矩阵形式表达，力求简化形式，突出重点。因此，系统学习矩阵论，是必要的。此处所说的矩阵论是以本科的线性代数为基础，研究矩阵性质和运算的课程。多数研究生课程体系都会设有本课。关于矩阵论的优秀教材比比皆是，只要注意选用适合工科院校的学生即可。
2. 泛函和变分
泛函是在是物理和工程研究中发现的一类特殊函数，是在原经典微积分方法基础上演生出的一类问题，即寻找场函数在积分域上的最优值问题。变分是泛函极小变化的数学表达，类似于函数的微分或偏微分。变分是泛函研究中重要的运算手段。有限元包括基本原理、有限元格式表达、收敛性和协调性的论证。泛函和变分是解决这些问题的必备工具。选用教材：吴迪光《变分法》、胡海昌《弹性力学的变分原理及其应用》、钱伟长《变分法和有限元》、鹫津久一郎《弹性和塑性力学中的变分法》。这些书深入浅出，页码不多，适合我们从头开始。
3. 数值方法
有限元本身就是数值方法，在实现有限元分析的过程中，也要用到大量数值方法和算法。如线性方程组求解，非线性方程求解、插值和拟合等。学好数值方法，对有限元的理解、实现和应用（包括对结果的分析和判断）都很重要。许多同学对有限元实现模糊不清，其实不是编程问题，而是数值方法不够清楚。
4. 数学分析（多元函数积分，向量函数的积分）
在泛函导出欧拉方程的过程中，需要应用向量函数积分知识，建议回头复习一下数学分析，重点放在向量函数积分部分，包括第二型曲线和曲面积分、格林公式、奥高公式、斯托克斯公式等。之所以最后说，是因为这一块内容不多，只要复习一下即可。
如果上面的数学基础在学习有限元没有见过，或没有用到过，建议再学一次有限元。
三、学习有限元的程序实现和使用
有限元最终是通过程序实现的，有限元的理论研究与编程密不可分。同时，应用有限元程序演算力学问题，也是学习有限元的必要手段。在学习有限元之前，还要为程序实现和使用作一些必要的准备。
编程语言推荐使用Fotran(90或95版)、C或C++，它们都是高级语言，在数学运算上表现出较高的效率和精确度。如果使用数学软件中的内嵌编程语言亦可，但这些语言多为解释性语言，执行效率相对于前者较低，如Matlab、Mapple、Mathematica等(实质上都是计算机代数系统,ComputerAlgebra System,CAS)。虽然也可以通过前者调用后者提供的数学函数库，但其调用效率和数据传输效率尚需论证。关于有限元的具体编程技术和方法是需要专门讨论的问题。王勖成的〈有限元法〉中就编程的关键问题作了介绍，巴斯(Bathe,K·J·)的工程分析中有限元法结合程序详细讲述了有限元，还有一本是库克(Cooker)写的，名子忘了，找找吧，也很有用。
程序使用主要指程序的选择和使用方式。可选用大型通有限元程序，如Ansys、SAP、Adina，也可选用自编教学程序，前者计算功能强大，后者易于阅读源代码，各有优势。使用程序学习有限元，就要注意观察程序的计算结果，有意识的根据单元的特性分析结果特点。在单元的协调性和收敛性、位移元的上限性等方面把握计算结果。此处推荐在可能的情况下多动手编程，这将为高级限元(非协调有限单元、非线性有限元、c)的学习打下坚实的技术基础。关于专讲有限元编程的书不是很多，我这里只有I.M.Smith的有限元方法编程，感觉还不大够劲。回想编程经 历，大多数是通过实践摸索而成的。
四、学习有限元还要有一定力学基础
因为大家在此之前都基本掌握了理论力学、材料力学、结构力学，此处只强调弹性力学的重要性，因为土木工程中的有限元都是从弹性固体力学导出有限元格式的，大多数偏微分方程（运动和力平衡方程）都需要弹性力学的知识。弹性力学的好书不计其数，图书馆中可以发现一整书架，随便找一本即可。
此结论的对与错，好与坏，主要看你是研究fem，还是使用它。如果我们不是力学专业，而是一般的工程学科，只要能把工程问题简化为合理的力学模型，而后选择合理的单元、适当的网格、合适的本构、高效的方程求解方法，直观的后处理方法，应该是够了。
原理的准确理解总还是好事，只是不必花费太多的时间和精力。对于工程之中应用有限元分析结构问题,仅仅靠理解原理是远远不够的.结构问题的本质是固体力学，静力和动力平衡方程(理论力学)、本构关系、数值方法等科目的知识都将涉及，不过大可不必都精通，粗知原理即可。只是需要注意的是，很多工程中的有限元问题未能很好解答，并非由于软件的功能所致，而是我们的知识不够。所谓知识，多半是指原理。
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