爱华网黎曼(Riemann)假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。
黎曼简介
黎曼(Riemann，George FriedrichBernhard，1826-1866,德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。个人经历
黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann1826—1866）是生在现在德国汉诺瓦（Hannover）一个小乡村（当时那地区属于大英帝国）的清教徒家庭，他父亲是当地的牧师。 5岁时他喜欢历史，对于古代战争有兴趣，并且同情波兰人被外国统治的命运。过不久，他被数学所吸引，他自己也能出一些数学问题给他的姐妹弟弟做（全家6个孩子，他排行第二）。 在学校读书时，他需要用德文和拉丁文写作文，可是他下笔很慢，常要涂改。可是他在数学方面却是出色的，在他去世之后他的中学数学老师萨马福斯（Schmalfuss）回忆他在16岁时向他借书的故事：“他来向我借数学书看，并且很谦虚的说：‘我希望有一本并不太容易的书。’我指我书架上的书，他选了法国数学家勒让德（Legendre）的《数论》，我对他说：‘试试看你能懂多少里面的东西。’这是星期五的下午，就在下个星期四他把书带回来。我问‘你读了多少？’他回答：‘这本书是写得非常奇妙，我已全部懂了。’这之后他就没再看这书，以后在毕业考试时我拿勒让德那本书里一些问题来考他，他回答得非常好，好像是他专门读那本书来准备考试那样子、数论是对他有特别的吸引力。这之后他读了勒让德写的几何书，并从我的图书室里的几何书上选了许多问题来做。在中学时他已显示出是一个数学家了。他具有强的直观能力以及抽象推广的能力。” 在19岁时，他进入哥庭根大学读哲学和神学，他的父亲是希望他以后能成为一个传教的牧师，可是他却对数学非常有兴趣，不但上了数学方程数值解的课及地磁学，且从1846—1847年上了德国大数学家高斯（Gauss）的最小二乘法及史登恩（Stern）的定积分的课。 1847年他转学到柏林大学去，在那里有三位著名的教授：贾可比（Jacobi）、狄利克雷（LejeuneDirichlet）及史泰勒（Steiner），他在两年中学习理论力学，高等代数，数论，积分论和偏微方程及椭圆方程。 在他回哥庭根准备写博士论文时，为了减轻父亲经济负担，他参加由高斯的朋友韦伯（Weber）等主持的数学物理研讨会并当韦伯的助手做一些物理实验及给一些初学物理的人讲演。这些事使他花掉了一些时间，影响了他提早提出论文的，到了1851年11月，他呈上了《复变函数论的一般理论的基础》。高斯对这论文评价极高，说许多年来他就想写一份像这样的论文。 黎曼在这时写信给他父亲说：“呈上了这份完整的论文我希望能改善我的前途，我也希望在写这论文过程能训练我，使到我以后进入社会可以写的更流利和迅速。我现在是感到很愉快。” 1854年，黎曼成为哥庭根大学讲师，三年后他成为助理教授，在1859年成为正式教授。可惜在1862年他患上肺病，必须常去意大利休养。而他在1866年时就死于意大利，年纪只不过39岁。同行评价
德国数学家克莱因（Klein）这样的评价他：“黎曼具有很强的直观，由这天份他超越了当代的数学家，在他的兴趣被激发的领域，他不管是否当局会接受对这研究的肯定，也不让传统来误导他。……他像流星一样出现然后消失，他活跃的时间只不过15年，1851年他完成论文，1862年他生病，1866年他去世。……黎曼的思想，对现代函数论发展的影响是缓慢和逐渐的，他的工作不会在当代引起突然的革命。这主要是由于黎曼的工作是不容易明白，另外是他提出的想法是非常新且奇特的。……”概述
2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。 具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。内容
方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。理论形成
几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Primenumber），希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明。
1730年，欧拉在研究调和级数：
Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1) 时，发现： Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。(2) 其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确： Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3) 证明了上式，即证明了黎曼猜想。 为什么： π1/(1-1/P)={1/(1-1/2)}×{1/(1-1/3)}×{1/(1-1/5)}×.......=Σ1/n=1+1/2+1/3+1/4+,,,,。(4) 因为： 1/(1-r)=1+r+r^2+r^3+r^4+......。（5） 所以： 1/(1-1/2)=1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+...... 1/(1-1/3)=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+...... 1/(1-1/5)=1+1/5+(1/5)^2+(1/5)^3+(1/5)^4+....... ....................................... 右端所有第一项的“1”相乘得到：“1”； 右端第一行1/2与其它行第一项的“1”相乘得到“1/2"; ................... 把所有加起来就是：1+1/2+1/3+1/4+........ 在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) =1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。黎曼ζ 函数
黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（RiemannsHypoth-esis）。 这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为它的顶峰非常困难到达，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ函数。 这个函数虽然挂着黎曼的大名， 其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解， 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。 那么究竟什么是黎曼ζ 函数呢？黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s)= ∑n n^-s (Re(s) > 1) 在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s)> 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 (当然黎曼没有使用 “解析延拓”这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为： 这里我们采用的是历史文献中的记号，式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近，环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ -离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明，这一积分表达式除了在 s=1处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是黎曼ζ 函数的完整定义。 运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ函数满足以下代数关系式： ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s) 从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2)为零[注三]。复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是黎曼ζ函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外，黎曼ζ函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对黎曼ζ函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。我们所要讨论的黎曼猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想，在这里我们先把它的内容表述一下， 然后再叙述它的来笼去脉：黎曼猜想
黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。 在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于critical line 上。 这就是黎曼猜想的内容， 它是黎曼在 1859 年提出的。从其表述上看，黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但我们很快将会看到， 它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。素数分布
公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： （一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可。”（沈康身《自然杂志》1991年11期）。後来人们 （二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。. （三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。 （四）上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式： N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak。(6) 其中p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方[注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标]，则N是一个素数。 （五）可以把（6）等价转换成为用同余式组表示： N≡a1(modp1)，N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。 (7) 例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。 以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。 由于（7）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（7）在p1p2.....pk范围内有唯一解。 例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。 k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。 k=3时, ---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| ---------------------|---------|----------|--------|---------| n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----| n=2m+1=3m+2=|-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| ------------------------------------------------------------ 求得了（7，7*）区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。 有人发现埃拉托塞尼筛法的公式【即(6)(7）式】反过来可以推出黎曼猜想的猜想。因为（1）式要求S是复数，（6）（7）式要求n<P(k+1）的平方。只要把两个式子连接起来，就可以研究。现在还没有找到这个纽带，但是已经有共同的内容联系起来： 以下内容可以参见任何一本有关黎曼猜想的书籍，下面内容摘自《素数之恋》第100页。 黎曼猜想的基本来 源是埃拉托塞尼筛法。埃氏筛大家都熟悉，我们就省略了，下面是某个大于1的*函数。（原文章用s，由于s不好表示右上标，所有这里我们用“*”表示） ζ（*）=1+1/2*+1/3*+1/4*+1/5*+1/6*+.....。（8） （注意，这里“*”表示右上角标）。 在等号两边乘以1/2*由幂运算规则得到： 1/2*ζ(*)=1/2*+1/4*+1/6*+1/8*+1/10*+1/12*+.....。（9） 我们从第（8）式子减去第二个式子，在左边我有一个ζ（*），又有它的1/2*,做减法得： （1-1/2*)ζ(*)=1+1/3*+1/5*+1/7*+1/9*+1/11*+1/13*+1/15*+....。（10） 这个减法从那个无穷和中去掉了所有偶数项。 现在我们在等号两边乘以1/3*,而3是右边第一个还没有去掉的数： 1/3*(1-1/2*)ζ(*)=1/3*+1/9*+1/15*+1/21*+1/27*+1/33*+1/39*+....。（11） 我们再做减法得： （1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1+1/5*+1/7*+1/11*+1/13*+1/17*+1/19*+1/23*+....。（12） 3的所有倍数都从那个无穷和中消失了，右边还有第一个没有被去掉的数是5，如果我们两边都乘以1/5*,结果是： 1/5*(1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1/5*+1/25*+1/35*+1/55*+1/65*+1/85*+1/95*+1/115*+...。（13） 现在从前面那个式子减去这个等式得： （1-/5*)(1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1+1/7*+1/11*+1/13*+1/17*+1/19*+1/23*+...。（14） 我们继续下去，对于大于1的任意*，左边对每一个带括号的表达式，并向右边一直继续下去，对这个式子的两边都依次逐个除以这些括号，我们得到： ζ（*）=[1/(1-1/2*)]×[1/(1-1/3*)]×[1/(1-1/5*)]×[1/(1-1/7*)]×[1/(1-1/11*)]× ....。（15） 即： （8）式=（15）式 这就是重复埃拉托塞尼筛法的过程。希望催生新的理论
对应黎曼猜想名言[黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题,但我们很快将会看到,它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章]，就有[[1]质数月诱惑黎曼猜想]。质数月诱惑黎曼猜想[2]命题是【[y=5]受制于质数月而满足函数[s=f(T)=0]的所有有意义的解分布在震荡的直线[y=5]上】。 质数月诱惑黎曼猜想命题可以整形为： 一，三个同步因子： 1，【|cos(Nπ)|=1】 ：右实轴怎样震荡都是整体1 2，【|cos[N(π/2N)|=0】：右实轴0的集合 3，【|cos[N(π/3N)|=1/2】：满足[右实轴0的集合]是直线1/2 二，一个调和因子： 180度代表月 上旬60度中旬60度下旬60度 1=1*6度 7=7*6度 3=3*6度 9=9*6度 【1=1*6度】+【9=9*6度】=60度【1 11 19 29】 【3=3*6度】+【7=7*6度】=60度【7 17 1323】 三，一个补救因子： N=1，【2 3 5】=10=60度化为调和因子 四，一个翻译因子： 1，调和因子类型：质数包括质数积数为：[T-1]×30+【1 11 19 29】+【7 17 13 23】 2，补救因子类型：质数包括质数积数为：[1-1]×30+【1 11 19 29】+【7 17 13 23】+【2 3 5】 3，T=N，N是自然数表示第N个质数月 4，满足[右实轴0的集合]是直线1/2，直线1/2囊括所有质数包括质数积数 质数月诱惑黎曼猜想命题之整形可以化为球体整形： 一，条件： 1，球心是中心 2，球体半径是同步因子的整形 （1），【|cos(Nπ)|=1】整形为【N|cos(Nπ)|=N】 （2）：【|cos[N(π/2N)]|=0】整形为【[1/2]+[N-1]】 （3）：【|cos[N(π/3N)]|=1/2】整形为【[(1/2)±(1/6)]+[N-1]】 3，质数月诱惑黎曼猜想命题之整形的其余部分不变 二，结果： 1，【N|cos(Nπ)|=N】谓之[整体圆球体半径]，整体圆球体界面分布的数全部是N 2，【[1/2]+[N-1]】谓之[零体圆球体半径]，零体圆球体界面分布的数全部是0 3，【[(1/2)±(1/6)]+[N-1]】谓之[半体圆球体半径]，半体圆球体界面分布的数是质数全体包括质数积数 4，球体是个集合，统一于整体圆球体集合，集合表达式是∑T，T=[1 2 3...N] 质数月诱惑黎曼猜想命题之整形化为球体可以整形为反向球体 （1），【[1/N]|cos(Nπ)|=[6/6N]】谓之[整体圆反向球体半径]，整体圆球体界面分布的数全部是N （2），【1([1/2]+[N-1])=6/[6N-3]】谓之[零体圆反向球体半径]，零体圆球体界面分布的数全部是0 （3），【1/[(1/2)±(1/6)]+(N-1)]=6/[6N-(3±1)]】,谓之[半体圆反向球体半径]，半体圆球体界面分布的数是质数全体包括质数积数 （4），质数月诱惑黎曼猜想命题之整形第一项三个同步因子式和其它部分不变 （5）：反向球体是个集合，统一于反向整体圆球体集合，集合表达式是∑t，t=[1 1/2 1/3..1/.N]证明成果
哈代证明
英国著名的数学家哈代（G．H．Hardy1877—1947）是华罗庚在英国剑桥大学学习数论时的指导教授。
英国自从出现牛顿以后，一向来数学工作者是注重应用数学，它的数学家不像欧陆的德国和法国在纯粹数学上有大的贡献和新的发现，至到19世纪末出了哈代之后，哈代以他在纯数学的工作使英国闻名于世。 哈代先后在牛津和剑桥大学教书，他为了研究数学从来不想到成家，而是由妹妹照顾他。他个性是有些怪，在那宗教势力浓厚的学府里敢公然说：“上帝是我的敌人。”他从不踏进教堂，也不参予有宗教色彩仪式的会议。 哈代是一个“板球（Cricket）迷”，每年夏天要等到板球季节过了，才会跑到欧陆度假，拜访他的几个好朋友与他们一起讨论研究数学。 每次到丹麦就会见他的好朋友波尔（HaraldBohr），他们坐下来，先在一张纸上写上先要解决和讨论的一些议程，然后讨论一个小时后才一起出去散步。每一次见面时哈代在议程的第一条往往写上：“证明黎曼假设！” 可是这个提议却一直没法子解决，一直到夏假结束他必须回去英国教书才作罢。第二年的夏天他回来丹麦又像前一年那样，两人每天把解决黎曼假设摆在议程的最前面，但是每次都不能解决。 有一年的夏末，哈代要乘船渡北海回英国，那天浪涛汹涌天气很恶劣，而船又很小，因此他在船开之前就写了一张明信片寄给波尔，在上面简单的写下这几个字：“我已经证明了黎曼假设。哈代。” 他是否真的证明了，要把这个好消息告诉他的好友呢？原来这明信片是有用意的：万一这船沉下去，哈地溺死了，世人就会认为哈地真的解决这个世界上的数学难题，而为这个解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不会让哈代享有解决这个著名难题的声誉，因此本来这船该沉下去，它也设法不让它沉，于是哈地可以平安回到英国。这样这个明信片就是他的救命护身符了。 你看了或许会笑，以为我们的哈代教授是这样幼稚可笑的人物，是的，有一些数学家他们想法和做事的天真幼稚就像6岁的儿童。可是他们研究的东西却深入和奥妙，不是普通人所能了解的。哈代逝世距现在已四十多年，但是他遗留下来的工作，许多是那么的艰深和难于明白，普通大学数学系毕业生也不是很容易就能领会。近年研究成果
荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Rielete及D．T．Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。 1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。 1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No（T）>0.3474N（T）。 1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No（T）>0.35N（T）。
