发布时间：2022年04月15日 03:47:52分享人:噌俓與伱儚来源:互联网30
斯特瓦尔特(stewart)定理 设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有 AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。斯特瓦尔特定理的证明
证明：在图2－6中，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有 AC^2=AD^2+DC^2-2DC·DH，（1） AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。 （2） 用BD乘(1)式两边得 AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD，① 用DC乘(2)式两边得 AB^2·DC=AD^2·DC+BD^2·DC+2BD·DH·DC。② 由 ① + ② 得到 AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD+DC)+DC^2·BD+BD^2·DC =AD^2·BC+BD·DC·BC。 ∴AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。 或者根据余弦定理得 AB^2=PB^2+PA^2-2PB·PA·cos∠APB AC^2=PA^2+PC^2-2PA·PC·cos∠APC 两边同时除以PB·PA·PC得 AC^2·PB+AB^2·PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA^2+PA^2)PB 化简即可（注：图中2-7A点为P点，BDC点依次为ABC) 斯特瓦尔特定理的逆定理成立斯特瓦尔特定理的推论
斯特瓦尔特定理还有如下推论 (1)若AB=AC，则AP^2=AB^2-BP· PC (2)若AP为BC中线，则AP^2=1/2(AB^2+AC^2)-1/4*BC^2 (3)若AP为∠A内角平分线，则AP^2=AB·AC﹣BP·PC (4)若AP为∠A外角平分线，则AP^2=﹣AB·AC+BP·PC (5)若BP/BC=λ，则AP^2=λ·﹙λ﹣1﹚·BC^2+﹙1﹣λ﹚·AB^2+λ·AC^2 斯特瓦尔特定理与托勒密定理和张角定理可以互化斯特瓦尔特定理的常见应用方式
①用于得到线段倍份关系 ②用于求解三角形问题 （诀窍是选则适当的三角形及其边上的点；灵活运用推论）
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