揭开梅森素数的奥秘 因特网梅森素数大搜索

揭开梅森素数的奥秘

摘要：2ⁿ-1数列里包含了梅森素数2^p-1（p为素数）。为什么自然数n中只有n是素数时才可能找到梅森素数，否则一个也找不到。

关键词：自然数，素数，梅森数，梅森素数。

梅森数的形式非常简单，为2^p-1（p为素数），其更为初始的形式应该是2ⁿ-1（n为自然数），这里就产生以下的问题。

1.为什么在2ⁿ-1的数列里只有梅森数2^p-1其中才包含有梅森素数，除此之外都是合数？

2.为什么梅森数2^p-1中只有一部份才是梅生素数，其他也是合数？

3.梅森数在研究素数分布规律中起到什么作用，与其他研究素数分布规律的方法相比有什么特点和贡献？

首先我们用手工方式做一张2ⁿ和2ⁿ-1数列里的数值分析表，从分析表上可以清楚地看出有以下规律性。

2ⁿ数列里2的n次方（n为自然数），n每增加1其数值就翻一倍，如4、8、16、32、64......其尾数为4、8、6、2、4、8、6、2.....循环。

再看2ⁿ-1数列对应的尾数为3、7、5、1、3、7、5、1.....四个数字重复循环。

再看素因子项，尾数为5的一看就知道能被5整除，尾数是3的也发现都能被3整除。这样，梅生数只可能在尾数为1和7的情况下产生梅森素数（素数3除外，它是最小的一个奇素数）。

2n和2n-1数列分析表
p	n	2n	2n-1	素因子
√	2	4	3	素数
√	3	8	7	素数
	4	16	15	3 . 5
√	5	32	31	素数
	6	64	63	3
√	7	128	127	素数
	8	256	255	5
	9	512	511/7=73	7
	10	1024	1023/3=341	3
？	11	2048	2047/23=89	23
	12	4096	4095	5
√	13	8192	8191	素数
	14	16384	16383/3=5461	3
	15	32768	32767/7=4681	7
	16	65536	65535	5
√	17	131072	131071	素数
	18	262144	262143/3=87381	3
√	19	524288	524287	素数
	20	1048576	1048575	5
	21	2097152	2097151/7=299593	7
	22	4194304	4194303/3=1398101	3
？	23	8388608	8388607/47=178481	47
	24	16777216	16777215	5 . 3
	25	33554432	33554431/31=1082401	31
	26	67108864	67108863/3=22369621	3
	27	134217728	134217727/7=19173961	7
	28	268435456	268435455	5
？	29	536870912	536810911/233=2304167	233
	30	1073741824	1073741823/3=357913941	3
√	31	2147483648	2147483647	素数
	32	4294967296	4294967295	5
	33	8589934592	8589934591/7=1227133513	7

从自然数列中列出属于较小梅森数（2^p-1）中的素数p有2、3、5、7、11、13、17、19、2 3、29、31共11个，但属于梅森素数中的P只有8个，其中p=11，23，29分别有素因子23，47，233，故是合数。

一、现在可以揭开梅生数中的第一个奥秘——为什么2ⁿ-1数列里只有n是素数时才可能对应产生素数，除此之外都是合数。

原因之一、2ⁿ-1数列中的尾数只有3、7、5、1四种情况，从分析表中看到，凡自然数n为偶数时2ⁿ-1对应的尾数是3和5，均有3和5的素因子，故为合数。凡是自然数n为奇数时2ⁿ-1对应的尾数是1和7，则有可能是找不到素因子的素数。

原因之二、2ⁿ数列可直接转变成8N数列8、16、32、64、128....8N-1数列为（N为自然数），7、15、31、63、127....我们又知道所有素数都在6N-1和6N+1数列之中（N为自然数），不在6N-1和6N+1数列之中的数则肯定不是素数。

凡是n为奇数时，2ⁿ-1的尾数是1和7，对应的2ⁿ-1除以6其结果必然有一部份尾数为1/6或7/6,即等于0.1667或1.1667，就相当于6N+1数列。8N-1和6N+1数列是可以部分重叠的，如8-1=6+1=7、32-1=30+1=31等。

原因一和原因二相结合就证明了只有n是素数时2^p-1才可能对应有梅森数，除此之外都是合数，并且没有例外，谁能找到一个实例，那真是一大发现！愿共同探讨。

二、揭开梅森数的第二个奥秘，为什么2^p-1中只有一部份是梅森素数，其他也是合数，只能称他梅森数。

从数列分析表中可以直接地看到，P=11时、2¹¹-1=2047可以被23整除故2047是假素数，即合数。p=23时2²³-1=8388607可以被47整除，也是合数。P=29时，2²⁹-1=536870911可以被233整除也是合数。其中23、47、233都是已知较小素数，即素因子。

上面三个合数，被6除后尾数均为0.1667，属于6N+1数列。被8除后尾数均为0.875，属于8N-1数列，即属于6N+1和8N-1数列的重叠部分。由于所有素数都分布在6N-1和6N+1两条数列之中，但这两条数列除包含全部素数之外还包含大量的假素数，即合数。上述三个例子就是假素数，详细情况请看老汉数数《素数分布规律探索》一文。

三、梅森素数的特点与贡献

17世纪法国数学家梅森他提出了2^p-1的代数式，得到的素数称为梅森素数。同时代的另一位法国数学家叫费尔马，他发现Fn=2^2∧n+1的代数式，将自然数依次放在n的位置上在0、1、2、3、4时，Fn分别的结果是3、5、7、17、257、65537，都是素数。

F5=2^2∧5+1=2³²+1=4294967297

当时由于数值太大，计算工具很原始费尔马没有逐个验算，就直接猜测：对于一切自然数Fn都是素数，以为找到了一个很好的公式可以依次推算出更大的素数。在费尓马去世67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明F5=4294967297=641×6700417不是素数，而是合数。

更有不可思议的是F5以后的Fn值中，数学家再也没有找到哪一个Fn值是素数，全部都是合数。现在有计算机协助，数学家们取得Fn的最大值为n=1495.这可是个超大级天文数字，其位数多达10¹⁰⁵⁸⁴位，尽管它非常之大，但也不是素数而是合数，真是费尓马的Fn=2^2∧n+1之式，给费尓马开了个大玩笑。

与费尓马代数式相比梅森的代数式Mp=2^p-1要幸运得多，尽管它不能得到全部都是素数但已经确认的有40多个了。就在17世纪，梅森已验算出p=2、3、5、7、17、19时，代数式的值都是素数。后来，欧拉证明p=31时2³¹-1值是素数，还剩下p=67、127、257三个梅森数由于太大没有人去验证。在梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2⁶⁷-1=193707721×761838257287是一个合数。2008年，美国加州大学洛杉矶分校计算机专家埃德森·史密斯发现了第45个梅森素数，

“2^∧43112609-1”该素数有12978189位，它是目前已知的最大素数。

素数研究其中有二个重要的分支，一是找出某一数值段内全部素数用以编制素数表或研究素数的分布规律，二是不断寻找最大的素数，探索素数在超大值情况的分布，梅森提出的代数式Mp=2^p-1在这方面有杰出的贡献。

于汉颐

2011.09.15

老汉数数

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