爱华网首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的， 代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringed space）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=SpecR，其环层由交换环R的素谱Spec R上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(Spec R,O_SpecR)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。 X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).
下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。来自于代数的概念有：概型（X，O_X）是既约的（或整的），若对X的任何开集U，O_X（U）是既约环（或整环）；来自于拓扑的概念有：概型（X，O_X）是不可约的，若X是不可约的。我们有概型是整的iff 它是约化的且不可约的。这个命题可以直观的理解为：无零因子 iff 无aa=0型因子且无ab=0型因子。 拓扑空间是Noether的，若它满足闭集的降链条件，它使得Noether概型只有有限多个不可约分支。概型（X，O_X）是Noether的，若它由有限个仿射开集U_i=SpecA_i组成的开覆盖，其中各A_i是Noether环。仿射概型X=Spec R是Noether的 iffR是Noether的，这正好是Noether概型的降链条件与Noether环的升链条件之间的转化。 一般情况下，Noether概型的底拓扑空间是Noether的，但反之不然，非Noether环也可能有Noether的仿射概型。典型的例子是R=k[x_1,x_2,…]/((x_1)^2,(x_2)^2,…）的仿射概型只有一点极大理想（x_1,x_2,…），但它却不是Noether环，这里的非Noether性是通过根基引入的。此外，在赋值维数＞1的赋值环都不是Noether的，但由于赋值环的谱是全序的，它所对应的仿射概型一定是Noether的。约定：下文中的概型若无特殊声明，均为Noether概型。
拓扑空间X的Krull维数指使得X的不同不可约闭子集链Z_0≤Z_1≤…≤Z_n的最大的n.概型（X，O_X）的维数就是指其底拓扑空间的维数。对于仿射概型而言，它是维数就是对应环的Krull维数。遗憾的是，概型维数的良好性质在一般只在域上的有限整概型中得到保持，超过这个范围就会出现一些奇怪的现象。比如令R是剩余域为k的DVR，其极大理想m=(u)，那么在概型X=SpecR[t]内就存在开集U=Spec R[t]_(u)，使得2=dim X≠dim U=1，这里的维数损失源于交换环的局部化。 从概型的拓扑空间，我们可以得到开子概型与闭子概型的概念。开子概型相对比较简单，就是把概型的拓扑空间与结构层限制在开集上。而概型Y是概型X的闭子概型，要求拓扑空间Y是X的闭子集，同时自然包含映射i：Y→X在X上的层诱导映射i#：O_X→i*O_Y是满的。若f：Y→X诱导出Y与X上闭子概型的同构，则f称为闭浸没。对X=Spec（R），I是R的理想，我们知道Spec(R/I)与包含I的素理想集V（I）一一对应，它可以由商映射R→R/I诱导，同时使得Spec(R/I)是Spec(R)的闭子概型。 比开与闭子概型更一般的结构，就是所谓概型上的概型。给定概型S，那么概型X与态射X→S称为S上的概型。若X→S与Y→S都是S上的概型，那么我们有X与Y在范畴意义下的纤维积X×_(S)Y→S。在仿射的情形下，纤维积对应于环的张量积，即若X=SpecA，Y=Spex B，S=SpecR，则X×_(S)Y=Spec（A⊙_(R)B）.概型的态射f：Y→S称为闭的，若f（Y）在S内的闭的。若对任何基态射X→S，对应的纤维积映射X×_(S)Y→S都是闭的，则f称为万有闭的。 显然，万有闭态射一定是闭的，但反之不然，我们有著名的“双曲线反例”，就是说A^1映到一点{x}的态射是闭但不是万有闭的，这是因为投影A^1×_(k)A^1→{x}×A^1≌A^1就不是闭的，其闭集xy=1的像不是闭集。后面我们还会看到，这个例子实际上说明了有限型分离态射可以不是本征态射（propermorphism）。 下面我们看概型之间的态射，很多不同态射都有类似的典型性质，对此我们可以做一个系统的总结。由此出发，我们定义P是概型的好态射，若它满足： 1）闭浸没满足P 2）P在复合下稳定 3）P在基替换下稳定在[2]的习题4.8说明了，好性质P还满足： 4）P在纤维积之下稳定 5）设f：X→Y，g：Y→Z是态射，其中g是分离的，若f·g满足P，则f满足P. 6）若f：X→Y有性质P，则对应约化概型的约化态射f_red：X_red→Y_red也有性质P. 典型的好态射家族包括有限态射、分离态射、本征态射和射影态射，其基本关系可见下图：
首先就是有限态射，概型的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）称为有限型的，若Y有仿射开子集{U_i=SpecA_i}覆盖，使得对任何i，f^(-1)（U_i)有有限个X的仿射开子集{SpecB_ij}覆盖，其中B_ij是有限生成的A_i-代数。概型的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）称为有限的，若Y有仿射开子集{U_i=SpecA_i}覆盖，使得对任何i，f^(-1)（U_i)=Spec B_i是仿射的，其中各B_i是有限A_i-模。 显然，概型的有限态射一定是有限型态射，但反之未必。设k是域，则自然包含k→k[X_1，…,X_n]诱导的概型态射A^n(k)→Speck对n≥1就是有限型的，但不是有限的。这个例子是非常典型的，它通过“维数平移”来破坏有限性条件，但可以最大限度的保持其他性质，同时它还说明了一般由多项式的零点定义出来的概型都是有限型的，有的书（比如[3])上干脆就把有限性的概型称为代数概型。要找非有限型的例子，可以把视野拓展到有理函数域内，比如自然包含k[t]→k(t)所诱导的概型态射就不是有限型的，这是因为有理函数域k(t)在k[t]上不是有限生成的。 概型的态射X→S称为分离的，若对角态射X→X×_(S)X是闭浸没。这个定义的基础是点集拓扑中的一个结论，X是Hausdorff空间iff 对角映射X→X×X的闭的。分离态射有个相当重要的性质，若f：X→SpecA的分离态射，其中A是某交换环，则对X的任何仿射开子集U与V，U∩V是仿射的。 与分离态射相关的概念是分离概型，若有概型的分离态射X→S，就称X在S上分离，当S=SpecZ时，就称X是分离概型。非分离态射的典型例子可以通过“双原点（仿射）直线”来构造。所谓双原点直线，就是把概型X=Y=A^1沿开集U=V=A^1-{P}的粘合，其中P是与极大理想对应的点。 概型的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）称为仿射的，若Y有仿射开子集{U_i=SpecA_i}覆盖，使得对任何i，f^(-1)（U_i)是仿射的。显然，有限态射一定是仿射的，而仿射态射一定是分离的，因此有限态射也是分离的。我们容易得到，当X是k上的双原点仿射直线时，X→k就不是分离态射，但它却是仿射的。
对于概型的分离态射，我们有专门的赋值判别法：设f：X→S是态射，其中X是Noether的，则f是分离的 iff对任何商环为K的赋值环R与态射h：Spec R→S与任何态射g：Spec K→X，使得f·g=h·i，其中i：Spec X→SpecR由自然包含诱导，则存在最多一个g的扩张态射g~：Spec R→X，使得g~提升g.这样的分离性判别法主要是为了避免出现类似“双原点直线”的情形。 下面我们自然要问，什么时候这样的提升唯一存在呢？由此可以引入本征态射的概念，它被定义为分离的有限型万有闭态射。综合前面的讨论，可以得到有限态射一定是本征的。在上面分离态射赋值判别的基础上，假若f还是有限型的，则f是本征的iff 这样的提升g~唯一存在。 利用这个本征态射赋值判别法，可以得到f：P^n(A)→Spec A是本征态射，其中P^n(A)可以理解为P^n(SpecA)，它是射影空间P^n与仿射概型Spec A在Spec Z上的纤维积，称为概型SpecA（或环A）上的射影n-空间。一般而言，概型S上的射影n-空间P^n（S），定义为射影空间P^n与概型S在SpecZ上的纤维积。态射f：X→S是射影的，若存在闭嵌入i：X→P^n(S)，使得f=p·i，其中p：P^n(S)→S由自然包含诱导。值得注意的是，若X→Speck上的射影态射，那么X就是通常意义上的射影概型，我们也用类似的方法定义本征概型。 显然，射影态射一定是本征态射，同时我们有所谓是周引理：令Noether概型X在S上的本征的，则存在概型Y与态射g：Y→X，使得Y在S上的射影的且X上存在稠密开集U，满足g：g^(-1)(U)→U是同构。在这说明了本征态射可以在一定意义下逼近射影态射，要找到一个非本征的射影态射，一般要深入到曲线曲面的理论之中，详见[2]的第二章注4.10.2. 观察前面的“双曲线反例”，我们会发现本征性与仿射性似乎有所抵触，事实上，态射是本征且仿射的 iff它是有限的。由此可以构造本征的非有限态射，实际上只要找自然的射影态射P^n(Z)→Z就可以了，其非有限性除了可以从非仿射性中得到之外，还可以从维数上面直接看出来。
下面我们简单看一下平坦态射，它主要是从几何意义上来考虑的。态射f：X→Y是平坦的，是指它在局部环上的诱导映射f_x：O_Y,y→O_X,x的平坦的，这里y=f(x),x取遍整个X。平坦态射加上有限条件，我们就可以得到相当良好的维数结论。设f：X→Y是Noether概型之间的有限性平坦态射，对任何x∈X，y=f(x)，有dim（X_y)=dim(X_x)-dim(Y_y).从本质上来说，这是因为Noether环上的平坦映射使得going down成立。 比平坦性更高的条件是光滑性，f：X→Y是相对维数n的光滑态射，除了要求它是平坦态射，并且在不可约分支上保持维数差是n之外，还要求dim_k(x)(Ω(X/Y)⊙k(x))=n，其中Ω(X/Y)是X/Y的Kahler微分。对于Kahler微分的若干性质，本文就不再详细讨论了，这里只点明这个Kahler微分的条件实际上就是微分拓扑中Jacobi行列式的秩条件的代数版。 我们再看概型X上的模层结构，0_X-模层F称为自由的，若它同构于0_X的直和，其同构于0_X的个数称为模层的秩，记作rank（F）；称为局部自由的，若有X的开覆盖{U_i}，使得F|U_i在O_(U_i)上的自由的。定义局部自由层F上的秩函数为r（P）=rank0_(X,P)(F_P)，它是局部常值的。秩为1的局部自由层就称为可逆层。可逆层的意义就在于，若L是概型X上的可逆层，则存在X上的另一个可逆层L^(-1)，使得L⊙L^(-1)=O_X，实际上我们可以就取L^(-1)=Hom(L,O_X)，即L的对偶层。 对任何R-模M，可以定义概型X=SpecR上M伴随的O_X-模层M~，其各个茎由模的局部化给出。概型X上的O_X-模层F是拟凝聚的，若存在X的仿射开覆盖U_i=SpecR_i与R_i模M，使得存在O_U_i模的同构F|U_i=M_i~，若各M_i都可取为有限生成A_i-模，则F称为凝聚的。一般而言，我们只在Noether概型的条件下讨论凝聚层。实际上，M→M~给出了X=SpecR上的拟凝聚O_X-模范畴与R-模范畴的等价；若R是Noether的，那么它给出的是凝聚O_X-模范畴与有限生成R-模范畴的等价。这样一来，只要找一个Noether环上的非有限生成模，就可以得到非凝聚层的拟凝聚层的例子。 在仿射概型上，拟凝聚层就是由模结构自然诱导的层，假若我们的层由其他方法构造，那就能够得到非拟凝聚层，这样的方法有零扩张层、摩天大楼层等等。比如取X=Spec（k[t]），0∈X对应极大理想（t），考虑U=X{0}的零扩张，就有理想层I（U）=O_X(U),若0∉U；I（U）=0，若0∈U.我们有I（X）=0，但I≠0，因此它不是拟凝聚层。 若F与G都是（拟）凝聚的，则F⊙G是（拟）凝聚的，若F是凝聚的，G是（拟）凝聚的，则Hom（F,G）是（拟）凝聚的。但一般F，G为拟凝聚时，Hom（F，G）未必是拟凝聚的。假若Hom（F，G）是拟凝聚的，注意到Hom函子在层上的定义为（Hom_O(X)（F，G））（U）=Hom_O(X)(U)（F(U)，G(U)），我们有S^(-1)Hom_O(X)（F，G）=Hom_S^(-1)O(X)(S^(-1)F，S^(-1)G），可实际上Hom函子与局部化是不可交换的，典型例子就是Hom_Z（Q,Z）对Z的局部化。这个现象说明了要处理上同调运算的吧，拟凝聚层的概念还是不够的，我们还要再定义凝聚层。 设X是Noether概型，f：X→Y是概型的态射，若X上的层F是拟凝聚的，则顺像f_*F也是拟凝聚的。但对凝聚层而言，若F为凝聚的，则f_*F未必是凝聚的。我们可以最简单的维数平移反例，比如X=A^2,Y=A^1,f:X→Y是投影，模层F=O_X，则顺像f_*F的截面k[x,y]不是有限k[x]-模，因此它不是凝聚的。要保证凝聚层的顺像f*F是凝聚的，一般要求态射f是有限的或者是有限型的射影态射（见[2]的第二章系5.20）。 接着我们讨论Noether环上的射影概型，为此先看分次环的射影谱上的伴随层，它可以视为凝聚模的另一个典型例子。对于分次环R=R_0+R_1+…上的分次模M，也有射影谱ProjR上的伴随层M~，其各茎由分次局部化给出。M~作为O_Proj(R)-模是拟凝聚的，若R是Noether的且M是有限生成的，则M~是凝聚模。事实上，仿射概型SpecR上的射影概型均同构于射影谱Proj S，其中S_0=A，S是由S_1有限生成的S_0-代数。 在分次模上，可定义如下的扭结构：令M(n)_d=M_(n+d)，O_ProjR(n)=R(n)~，对任何O_Proj(R)-模F，可定义F(n)=F⊙O_Proj(R)(n).在这样的定义下，我们有M(n）~=M~（n）.O_Proj(R)(1)是秩为1的局部自由层，因此是可逆层，而O_Proj(R)(n）=O_Proj(R)(1）^(⊙n). 对于凝聚层而言，有Serre的一个重要定理：设X是Noether环A上的射影概型，F是凝聚O_X-模层，则存在整数k，使得n≥k时，F（n）由整体截面生成，这个定理的意思就是说Noether环A上射影概型X的极强层（veryample sheaf）必是强层（ample sheaf）。 X上的可逆层相对于Y是极强的，指对某个r，存在浸没i：X→P^r(Y)，这里浸没的意思就是说X与P^r(Y)的某个闭子概型的开子概型同构。利用极强层的概念，我们也可以区分射影与本征概型。Y上的概型X是射影的iff 它是本征的且有相对于Y极强的层，其中相对于Y的极强的层就是i^*O（1）X上的可逆层L是强的，是指对X上的每个拟凝聚层F，存在整数（依赖于F）k＞0，使得n≥k时，F⊙L^n由整体截面生成。仿射概型上任何可逆层都是强的，这是因为仿射概型上的拟凝聚层均可由整体截面生成。强层是概型上绝对概念，但极强层却是关于概型态射的相对概念。对Noether环A上的有限型概型X而言，X上的层L是强的iff 存在m＞0，L^m在SpecA上的极强的。关于强层但非极强层的例子，也要涉及到曲线除子的概念，详情请看[2]的第二章例7.6.3. 最后简单看一点概型上层的上同调，我们主要是通过Cech上同调来计算的。对Noether环上的分离概型而言，任何拟凝聚层F上的上同调群H^i(X,F)都自然同构于对应的Cech上同调群H^i(U,F)，其中U是X的仿射开子概型覆盖。这里的分离性条件相当重要，主要是为了保证仿射概型的交还是仿射的。 关于概型上的上同调，我们有两个比较重要的结论： 1）对于Noether仿射概型而言，其任何拟凝聚层均为上同调平凡的（即所有正整数阶上同调为零）。有趣的是，这个条件的逆命题也是真的，对于Noether概型X而言，只要凝聚理想层的一阶上同调平凡，我们就可以判定X是仿射的（[2]第三章定理3.7）。 2）设X是Noether环上的本征概型，则X上的可逆层L是强层 iff对X上的任何凝聚层F，均有k＞0，使得对任何n≥k，F⊙L^n在X上是上同调平凡的。 对射影空间上同调的一般结论，可参见[2]的第三章定理5.1
以上就是对Hartshorne代数几何概型部分的内容小结，基本上侧重于概型本身的理论，对除子、线束、纤维束等几何对象并未多加探讨，后者似乎更适合用复几何的方法来处理，两者之间的过渡桥梁自然就是Serre的GAGA原理，其基本思想就是代数簇上的整体解析对象是代数的，它的一般版本就是对于复数域C上的本征代数概型而言，其上的凝聚层范畴与对应紧空间上的解析凝聚层范畴等价，由此可以推出所谓的周定理：复射影空间内的解析闭子空间是代数的。 为什么Hartshorne的《代数几何》是如此的难学呢？原因大概有两点：一是起点要求比较高，一般是需要比较扎实的交换代数基础，可实际上还要相当于[4]的第一卷的关于代数簇的代数几何知识。尽管此书第一章也讲代数簇理论，但那只是一个很简短的精要小结，用来学习的话信息量是不太够的。二就是此书本身有问题，个人感觉就是严重超载，尽管有些地方也包含了启发性的点评，但无奈要放的东西实在太多，结果反而是乱糟糟的一团。 实际上，Hartshorne的《代数几何》并不是一个完成品。传说当年Hartshorne是想要把Grothendieck的EGA改写成教科书，等写完后给Grothendieck看了几次，结果却是每次都被改得面目全非，后来实在是没有精力再去完善了，于是就出现了这样一本瑕瑜互见的代数几何教科书。无奈的是，可能在相当长的历史时期，这个硬骨头仿佛还是找不到替代品，要学代数几何的概型理论，就必须去啃它，甚至硬刷习题的催熟现象。 但就现在而言，我们有更好的方案来代数几何中的概型理论，大致有如下的三条道路： 1）直接读Grothendieck的EGA([1]).其实，EGA的叙述要比Hartshorne的[2]清晰，只是作为数学专著而言，有些地方的讨论过于细致，需要初学者能够主动取舍。此外，EGA是典型的Bourbaki风格，就是以理论为主，缺少实际的例子，读者正好可以把找例子做为习题来做。 2）读Hartshorne的[2]同时用其他书来补充。这里我推荐的是[3]，正好可以与[2]互补，填补了[2]里面的很多空白，反过来[3]的一些没有证明的高深结论，也可以在[2]中得到补充。 3）直接读其他的代数几何教科书。还没有明确方向的可以先读[3]，假若已经有明显方向了，那么一般复几何、曲线曲面方向的可以读[4]，算术代数几何方向的则需要读[5]. 当然，现在网上还有一些名校教授的讲义，假若比较成系统的话，用来参考也是相当不错的。此外，[6]的附录D是精炼的综述，不管是用来指导学习，还是用来复习回顾，都是很不错的参考材料。 最后，感谢mathoverflew、mathstackexchange上的作者们提供了不少关于概型的精彩例子，还有AlgebraicGeometry by Robin Hartshorne solutions的作者，你们所提供的习题解答也让我受益匪浅。 扩展阅读： [1] EGA A. Grothendiecket J. Dieudonné[J]. Eléments de géométrie algébrique, I, II, III,IV.（就是神书EGA，前两卷有中译本的电子版） [2] Hartshorne R.Algebraic geometry[M]. Springer, 1977.(有冯克勤等人的中译本） [3] Ueno K. AlgebraicGeometry 1, From Algebraic Varieties to Schemes, Translations ofMathematical Monographs[J]. American Mathematical Society,Providence, 1999. Ueno K. AlgebraicGeometry 2, Sheaves and Cohomology, Translations of MathematicalMonographs, 197[J]. American Mathematical Society, Providence, RI,2001. Ueno K. Algebraicgeometry. 3, volume 218 of Translations of MathematicalMonographs[J]. American Mathematical Society, Providence, RI,2003. [4] Shafarevich I R.Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space.1994[J]. Shafarevich I R. Basicalgebraic geometry. 2. Schemes and complex manifolds.1994[J]. [5] Liu Q. Algebraicgeometry and arithmetic curves[M]. Oxford: Oxford university press,2002. [6] Srinivas V.Algebraic K-theory[M]. Boston-Basel-Berlin: Birkhäuser, 1991.（附录D是代数几何概型部分的精要小结）
初学代数几何的话可以先学点线性代数群，请看博文：谈谈线性代数群的基本结构
