转载 鲁教版初二数学知识点下 初二数学知识点归纳

第八章图形的平移与旋转

8.1平面图形的平移

1.平移:在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。

平移特征:⑴把一个图形整体沿某一个方向移动，会得到一个新的图形．新图形与原图形的形状和大小完全相同．

⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点就是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等

2.平移的基本性质：经过平移,对应点所连的线 段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等。

平移作图：关键在于按要求作出对应点;然后，顺次连结对应点即可。

8.2简单的平移作图

u方向，用射线描述；沿着方向等价于平行于给定射线；

u距离，用线段长度描述；移动指定距离，即对应点连线长度等于指定线段；

u点的平移作法：过待平移点作直线平行于指定射线，沿射线方向截取指定长度得到的点即平移后的点。

u线段的平移作法：

作法1：将线段两端点分别平移，然后将两个平移后的点连成线段，即为原线段平移后的线段；

作法2：将线段一端点平移，然后过平移后的点作原线段的平行线，在该平行线适当方向截取长度为指定线段长度，则所得线段为所求。

8.3平移图形的旋转

1.旋转:平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个(顺时针或逆时针)方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。

2.旋转性质:经过旋转，图形上的每一点都绕着旋转中心沿着相同方向转动了相同角度，对应点与旋转中心的连线所成的角(旋转角)相等，对应点到旋转中心的距离相等。

8.4简单的旋转作图

u旋转中心，用点表示；旋转方向分为顺时针方向和逆时针方向；

u角度，用量角器度量，或通过画角度等于已知角。

u点的旋转作法：以旋转中心为圆心，旋转中心到待旋转点的距离为半径画圆，连接旋转中心到待旋转点的半径，过旋转中心按指定方向作另一半径，使与前一半径的夹角等于已知角，该半径交于圆上的点即为所求作。

u线段的旋转作法：将线段两端点分别旋转，然后将两个旋转后的点连成线段，即为

原线段旋转后的线段。

8.5平面图形的全等变换

1.图形变换定义:所谓的图形变换，就是指平面上全部的点按照一定的规则（即相互对应的关系，也就是对应点），可以与另一个平面上全部的点有一对一的关系。

简单的说，就是能够将一个平面图形按照一定的规则移到另一个平面图形上。

2.全等变换:即两个图形互相重叠时，可运用直接比较的方式，如果图形的形状与大小都一样，就为全等图形。透过以下三种移动方式：平移变换、旋转变换、翻转变换

将图形移动的時候，无论形狀、大小、角度的大小、边长以及面积都沒有任何改变，則为全等图形。

（一）平移变换:在平面上通过平行移动或垂直移动，使原物件的位置产生移动的現象，就是平移变换。

（二）旋转变换:将一一个图形绕一个顶点旋转产生位移，而图形与所呈現的图像不变。

（三）翻转变换:将平面图翻转180°，使图形产生位移，此时图形的形状并未改变，而图像从原來的正面转为反面。

2.全等变换特殊类型:对称:⑴轴对称⑵中心对称

第九章四边形性质探索

前提:在同一平面内

9.1平行四边形的性质

1.定义:两组对边分别平行的四边形,不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。

2.表示:四边形ABCD是平行四边形,记作“ABCD”,读作“平行四边形ABCD”，线段AC、BD就是ABCD的两条对角线。

3.性质:平行四边形的对边相等；对角相等。

4.面积公式:①平行四边形面积=底×高(S平行四边形=ah,a是底，h是高)

②平行四边形的面积=两组邻边的积×夹角的正弦值；如用@表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sin@

5.周长公式:平行四边形周长=2×(底1+底2)(C平行四边形=2(a+b))

6.平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点；一般的平行四边形不是轴对称图形，特殊的平行四边形菱形、长方形、正方形是轴对称图形。

9.2平行四边形的判定

1.判定:(1)用定义判定:具备“两组对边分别平行”的条件就可判定四边形是平行四边形；

(2)判定定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)判定定理2:对角线互相平分的四边形是平行四边形；

(4)判定定理3:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形

2.平行四边形中常用辅助线的添法:

⑴连结对角线或平移对角线；⑵过顶点作对边的垂线构成直角三角形；

⑶连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线；

⑷连结顶点与对边上一点的线段或延长该线段，构造相似三角形或等面积三角形；

⑸过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

9.39.4菱形和菱形的性质

1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

2.性质:首先具有平行四边形的一切性质。

性质1:菱形的四条边都相等；

性质2:菱形的两条对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角。

补充:①菱形既是轴对称,对称轴是两条对角线所在直线,又是中心对称图形；

②在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的倍。

3.面积公式:菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半

9.5菱形的判定

1.定义判定:一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2.判定定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

3.判定定理2:四边都相等平行四边形是菱形。

9.5矩形和正方形

一、矩形

1.矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

2.矩形的性质:(1)一般性质:具备平行四边形的所有性质；

(2)特殊性质:矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。

3.矩形既是轴对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）又是中心对称图形。

4.判定:①定义判定②有三个角是直角的四边形是矩形③对角线相等的平行四边形是矩形

5.推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、正方形:

1.正方形定义:四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形，是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。

2.正方形的性质=菱形的性质+矩形的性质

3.判定：⑴对角线相等的菱形是正方形；

⑵有一个角为直角的菱形是正方形；

⑶对角线互相垂直的矩形是正方形；

⑷一组邻边相等的矩形是正方形；

⑸四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形；

⑹一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

⑺四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。

9.6梯形

1.定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底,短边叫上底；不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

直角梯形:一腰垂直于底的梯形；等腰梯形:两腰相等的梯形。

2.等腰梯形的性质：两条腰相等；在同一底上的两个底角相等；两对角线相等；是轴对称图形,对称轴是上下底中点的连线所在直线。

3.梯形的中位线:两腰中点相连的线叫梯形的中位线(中位线性质：梯形的中位线平行与两底并且等于两底和的一半)

4.面积公式:梯形的面积=（上底+下底）×高÷2等腰梯形面积公式=中位线×高

5.判定:⑴一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（一组对边平行且不相等的四边形是梯形）；

　　⑵两腰相等的梯形是等腰梯形；

　　⑶同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

　　⑷有一个内角是直角的梯形是直角梯形；

　　⑸对角线相等的梯形是等腰梯形。

6.梯形中常用辅助线作法:①过底的顶点作另一底的垂线；②平移一腰(过一顶点作一腰的平行线)；③平移对角线(过一顶点作一条对角线的平行线)；④延长两腰交于一点；⑤取一腰中点，另一腰两端点连接并延长；⑥取两底中点，过一底中点做两腰的平行线。

9.7多边形的内角和与外角和

多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180º,揭示了多边形的内角和与边数的关系：当边数增加1时，内角和增加180º

外角定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。(n边形的外角个数为2n)

多边形的外角和：在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和(多边形的外角和不是所有外角的和)。

推论：任意多边形的外角和等于360º,与边数无关。

证明：∵n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是180º

∴n边形的内角和加外角和等于n•180º

∵n边形的内角和等于(n-2)•180º,

∴n边形的外角和等于n•180º–(n-2)•180º＝360º。

规律：①一个多边形的外角最多有（3）个是钝角.

②一个多边形的内角最多有（3）个是锐角.

③内角和与外角和相等的多边形的边数是（4）

④一个多边形每增加一条边，内角和增加（180˚）外角和（不变）

⑤一个多边形裁去一个角（不过顶点）后,形成的多边形的外角和（不变）,内角和(增加180˚)

⑥从n边形一顶点引出的对角线条数为(n-3)条,它的对角线总条数为[(n-3)·n]／2条。

正n边形各内角的度数=(n-2)•180º／n

只要满足一个顶点周围几个内角的和等于360度，就可以进行平面镶嵌。

例1、下列正多边形中，不能铺满地面的是(B)

A.正方形B.正五边形C.等边三角形D.正六边形

例2、下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是(A)。

A.正六边形和正三角形B.正三角形和正方形

C.正八边形和正方形D.正五边形和正八边形

第十章数据的代表

10.1平均数

1.算术平均数:

(1)简单算术平均数主要用于未分组的原始数据。设一组数据为X1，X2，...，Xn，简单的算术平均数的计算公式为:M=(X1+X2+...+Xn)/n

(2)加权算术平均数主要用于处理经分组整理的数据。设原始数据为被分成K组，各组的组中的值为X1，X2，...，Xk，各组的频数分别为f1，f2，...，fk，加权算术平均数的计算公式为:M=(X1f1+X2f2+...+Xkfk)/(f1+f2+...+fk)

2.加权平均数:

(1)加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算。“权”的英文是Weight，有表示数据重要程度的意思．即数据的权能反映数据的相对“重要程度”。

　若n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次，那么(x1f1+x2f2+...xkfk)／(f1+f2+...+fk)叫做x1，x2，…，xk的加权平均数。f1，f2，…，fk是x1，x2，…，xk的权。

(2)意义:在一组数据中，由于每个数据的权不同，所以计算平均数时，用加权平均数，才符合实际。

(3)权的常见形式:①数据的形式：如50、45、55②比例的形式：如3：3：2：2③百分比的形式：如50%、40%、10%

算术平均数是加权平均数的一种特殊情况(它特殊在各项的权相等)。

3.几何平均数:n个观察值连乘积的n次方根就是几何平均数。

10.2中位数

将一组数据按大小顺序排列，把处在中间位置的一个数叫这组数据的中位数。将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数,那么位于中间的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数,那么位于中间的两个数的平均数称为这组数据的中位数。

10.3众数

1.定义:在一组数据中，把出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(一组数据的众数可以不止一个)。

2.注意：(1)众数是一组数据中的原数据,而不是相应的次数,这一点很容易混淆；

(2)一组数据中的众数有时不只一个,如数据2,3,1,2,3中,2和3都出现了两次,它们都是这组数据的众数；

(3)有时一组数据中的每一个数据出现次数都相同的时候,则称没有众数。如2,2,3,3,4,4,这组数据就没有众数。

3.三个数据代表的存在性和意义：

第十一章一元一次不等式

11.1不等关系

1.不等式：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

2.不等关系符号:“不大于”指的是“等于或小于”,通常用符号“≤”表示；

“不小于”指的是“等于或大于”,通常用符号“≥”表示。

11.2不等式的基本性质

不等式基本性质1:若a＜b，b＜c，则a＜c，这个性质也叫做不等式的传递性；

不等式基本性质2:不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；

如果a＞b,那么a+c＞b+c(或a-c＞b-c)。

不等式基本性质3:不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

如果a＜b,且c＞0,那么ac＜bc；如果a＞b,且c＞0,那么ac＞bc

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a＜b,且c＜0,那么ac＞bc；如果a＞b,且c＜0,那么ac＜bc

11.3不等式的解集

1.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。

2.不等式的的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的的解集。

3.解不等式:求不等式解集的过程叫做解不等式。

11.4一元一次不等式

1.定义:两个“只含一个未知数、并且未知数的次数是1的”整式用不等号连接起来的式子。(不等式的两边都是整式,只含一个未知数、并且未知数的(最高)次数是1)。

2.解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：

在数轴上表示解集应注意的问题:方向、空心或实心。

11.5一元一次不等式与一次函数

1.二者的关系

解一元一次不等式ax+b>0(或<0)可归结为一下两种认识:

(1)从函数角度看,就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于0(或小于0)自变量x的取值范围；

(2)从函数图像的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)部分所有点的横坐标构成的集合。

2.用画函数图像的方法解不等式ax+b>0(或<0)的一般步骤:

(1)画y=ax+b的函数图像；

(2)观察图像与x轴的交点坐标,图像在x轴上方时对应的x的范围是不等式ax+b>0的解集,,图像在x轴下方时对应的x的范围是不等式ax+b<0的解集。

11.6一元一次不等式组

1.定义:一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组。

2.一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。当它们没有公共部分时.我们称这个不等式组无解。

3.求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。

4.解一元一次不等式组的一般步骤:

①求出这个不等式组中各个不等式的解集；

②利用数轴求出这些不等式解集的公共部分；

③表示这个不等式组的解集。

5.一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴表示如下(设a﹤b):

第十二章因式分解

12.1分解因式

1.概念：把一个多项式化成几个最简整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解,也叫分解因式。

2.注意:(1)分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；

(2)分解因式的结果要以积的形式表示；

(3)每个因式都是整式,且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；

(4)必须分解到每个多项式不能再分解为止。

12.2提公因式法

1.公因式:多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2.正确找出多项式各项公因式的关键是：

(1)定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数(当系数是整数时)

(2)定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母。

(3)定指数:相同字母的指数取各项中字母的最低次幂。

3.提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

步骤:(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数。注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式(提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同)；

(3)把多项式化成两个因式乘积的形式。

口诀:找准公因式,一次要提净；全家都搬走,留1把家守；提负要变号,变形看奇偶。

注意:当多项式第一项系数是负数，通常先提出“－”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。

12.3运用公式法

1.公式法:若把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

2.常用公式:平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式

3.注意:①首先提取公因式，然后考虑用公式，最终必是连乘式。

②先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

补充:十字相乘法

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

这种方法有两种情况:

①x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．

②kx+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

　图示如下：

　ab

　╳

　cd

　例如：因为

　1-3

　╳

　72

　-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

　所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

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