采样原理 抽样频率计算公式范围

昨天的讨论班提到:一个渐近稳定的连续系统,离散化之后的稳定性与采样步长有关。这是显然的,我举了个例子,$dot{x}=-x$,离散化后的系统是$x(k+1)=(1-h)x(k)$(h>0),显然,只有采样步长h<1时,相应的离散系统才能渐近稳定,h=1时是临界稳定,h>1则发散。这是因为在离散化的系统中,步长是作为变参量引入的,能够影响系统矩阵的谱半径。
yp提到这个和香农采样定理(Shannon samplingtheorem)是否有什么关系。我心里一动,居然能联系到采样定理,的确需要点功夫。虽然这种说法未必正确,确实抓住了采样定理的本质。当然,这个和采样定理的关系不大。我们知道采样定理针对的必须是带宽受限的信号,而$x(0)e^{-t}$不满足这个条件,显然对于全局的指数函数无法做FT变换,只能对单侧函数,令$$f(t)=begin{cases}x_0e^{-t}, if t geq 0 \0, if t<0 end{cases}$$FT变换为frac{x_0}{sqrt{2pi}(1+iw)}。
采样原理 抽样频率计算公式范围
采样原理的目的在于探讨连续(模拟,analogsignal)信号和离散信号之间的关系,告诉我们这样一件事:对于一个带宽受限(bandlimited,或者说频率有限)的连续信号,我们可以只通过某些离散点上的信号值,就能获得它的全部信息(采用插值的方式重建信号)。这是采样原理的维基百科(点我)。这是一个傅立叶变换的文档(http://www.math.umn.edu/~olver/pd_/ft.pdf)。一个文档:www.scg.utoronto.ca/~francis/teaching_sampling.pdf采样原理是有很多个大牛级人物(Harry Nyquist、Claude Shannon、E. T.Whittaker、VladimirKotelnikov)独立发现或证明的,香农首先给出了严格的证明,并列为一个定理的形式。香农的版本是:If a functionx(t)contains no frequencies higher thanBhertz,it is completely determined by giving its ordinates at a series ofpoints spaced 1/(2B)seconds apart.从信号处理的角度来看,此采样定理描述了两个过程:其一是采样,这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号;其二是信号的重建,这一过程离散信号还原成连续信号。通俗的说,采样原理告诉我们,对于一个最高频率f_x有限的信号,只要采样频率f_n不小于2f_x,就可以通过插值的方式重建原信号。因此它也被称为插值理论基定理。从采样定理中,我们可以得出以下结论:1、如果已知信号的最高频率fH,采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率,通常表示为fN2、如果已知采样频率,采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。3、以上两种情况都说明,被采样的信号必须是带限的,即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零,或至少非常接近于零,这样在重建信号中这些 频率成分的影响可忽略不计。在第一种情况下,被采样信号的频率成分已知,比如声音信号,由人类发出的声音信号中,频率超过5kHz的成分通常非常小,因此以10kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。在第二种情况下,我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。这通常是用一个低通滤波器来实现的。采样定理的拓展包括带通采样(bandpass sampling)原理和非均匀采样(nonuniformsampling)。
这也充分验证了初等数学的主要研究对象是不变量。

  

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