爱华网yp提到这个和香农采样定理(Shannon samplingtheorem)是否有什么关系。我心里一动，居然能联系到采样定理，的确需要点功夫。虽然这种说法未必正确，确实抓住了采样定理的本质。当然，这个和采样定理的关系不大。我们知道采样定理针对的必须是带宽受限的信号，而$x(0)e^{-t}$不满足这个条件，显然对于全局的指数函数无法做FT变换，只能对单侧函数，令$$f(t)=begin{cases}x_0e^{-t}, if t geq 0 \0, if t<0 end{cases}$$FT变换为frac{x_0}{sqrt{2pi}(1+iw)}。
采样原理的目的在于探讨连续（模拟，analogsignal）信号和离散信号之间的关系，告诉我们这样一件事：对于一个带宽受限（bandlimited,或者说频率有限）的连续信号，我们可以只通过某些离散点上的信号值，就能获得它的全部信息（采用插值的方式重建信号）。这是采样原理的维基百科（点我）。这是一个傅立叶变换的文档（http://www.math.umn.edu/~olver/pd_/ft.pdf）。一个文档：www.scg.utoronto.ca/~francis/teaching_sampling.pdf采样原理是有很多个大牛级人物（Harry Nyquist、Claude Shannon、E. T.Whittaker、VladimirKotelnikov）独立发现或证明的，香农首先给出了严格的证明，并列为一个定理的形式。香农的版本是：If a functionx(t)contains no frequencies higher thanBhertz,it is completely determined by giving its ordinates at a series ofpoints spaced 1/(2B)seconds apart.从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。通俗的说，采样原理告诉我们，对于一个最高频率f_x有限的信号，只要采样频率f_n不小于2f_x，就可以通过插值的方式重建原信号。因此它也被称为插值理论基定理。从采样定理中，我们可以得出以下结论：1、如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表示为fN2、如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。3、以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些 频率成分的影响可忽略不计。在第一种情况下，被采样信号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5kHz的成分通常非常小，因此以10kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。这通常是用一个低通滤波器来实现的。采样定理的拓展包括带通采样(bandpass sampling)原理和非均匀采样(nonuniformsampling)。
这也充分验证了初等数学的主要研究对象是不变量。
