如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3aa＞0 ． pa pb pc 1 4

考点：

旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．2669767

思路：

利用旋转的方法，把图形转移位置，使条件相对集中，可为证明和计算提供条件

（1）已知PA=a，PB=2a，PC=3a，并不在同一个三角形中，因为AB=BC，可将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ，连接PQ，构成两个特殊三角形，可求∠APB的度数；

（2）用（1）的结论，证明∠APQ=180°，得出△AQC是直角三角形，根据AQ，QC的长及勾股定理求AC，从而可求正方形ABCD的面积．

解答：

解：（1）将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ，如图，

则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB，

于是PB=QB=2a，PQ=2 a，

在△PQC中，

∵PC²=9a²，PQ²+QC²=9a²，

∴PC²=PQ²+QC²．

∴∠PQC=90°，

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=∠BQP=45°，故∠ APB=∠CQB=90°+45°=135°；

（2）∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，

∴三点A、P、Q在同一直线上，

在Rt△AQC中，AC²=AQ²+QC²=（a+2 a）²+a²=（10+4 ）a²，

∴正方形ABCD的面积=（5+2 ）a²．