爱华网从数字运算中探寻规律
赵湾初级中学 刘秀兰
本节的活动是围绕两个两位数相乘的积的规律的探究。引导学生感受从特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程，使学生在探究、讨论、思考和相互交流中获得知识，培养能力，提高数学思维水平。
学习目标：
1．发现十位数字相同，个位数字为5 的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律，利用规律进行相应的计算。
2．经历探索数量关系、运用符号表示、验证规律的过程，培养学生观察、分析、推理的能力，体会化归思想和从特殊到一般的数学思想在运算中的价值。
学习重点：
用符号表示并推导规律．体会从特殊到一般的数学思想方法。
教学过程
一、数学活动1
十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律:
问题1我们共同来进行一个简单的数学计算：
15×15 =
25×25 =
35×35 =
……
问题2观察上述每一个算式及结果，你能发现这些结果与算式本身具有什么样的关系吗？
追问1除后两位数之外，结果中的百位数字或千位数字与两位数的十位上的数字有什么关系呢？
观察：15×15=2252 =1×2；
25×25=6256=2×3；
35×35 =1225 12=3×4．
归纳：15×15=1×2×100+25 =225；
25×25 =2×3×100+25=625；
35×35 =3×4×100+25 =1225．
（追问1）原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结果乘以100，再加上25，就是个位数字为5的两位数的平方数的结果．
追问2你能再举几个具有这样特征的例子，并用上述方法验证其正确性吗？
猜想：以所学的整式知识，用符号表示出刚才得到的一般性的规律。
验证：根据本章所学习的知识推导出你所得到的规律。
解：设两位数的十位数字为a，个位数字为5，则
这个两位数可以写为a5，表示成10×a +5．
所以 （10×a +5）×（10×a +5）=（10×a+5）2
=100a2+2×10a×5 +52
=100a2 +100a +25
=100a（a+1）+25 ．
二、数学活动 2
探究十位数字相同，个位数字之和等于10 的两位数相乘的积的规律：
问题3类比上道题探究规律的过程，继续计算下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10），你能发现有什么规律？你能尝试用本章所学的知识解释这个规律吗？
53×57 =5×6×100+3×7 =3 021 30=5×6 21 =3×7；
38×32 =3×4×100+2×8 =1 216 12=3×4 16 =2×8；
84×86 =8×9×100+4×6 =7 224 72=8×9 24 =4×6；
71×79 =7×8×100+1×9 =5 609 56=7×8 09 =1×9．
结果是，依次写下十位数加1，再乘以十位数所得的结果，以及两个个位数相乘所得的结果。
规律：
十位数加1，再乘以十位数的得数写在结果的千位和百位，两个个位数相乘的得数写在结果的十位和个位．
符号表示：
验证：
设十位为a，个位为b，则一个数为10a+b，另一个
数为10a +10-b，两数相乘：
（10a+b）[10a +10 -b]
=（10a+b）[10（a+1）-b]
=10a×10（a+1）-10ab +b×10（a+1）-b2
=100a（a+1）+b（10-b）．
三、课堂总结
问题4回顾刚才探究规律的过程，请思考：数学活动1与数学活动2所得到的规律之间有什么相同的地方？
它们的计算规律在实质上是相同的．都属于十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘。结果都是十位数加1，再乘以十位数的得数写在结果的千位和百位，两个个位数相乘的得数写在结果的十位和个位．但数学活动1是数学活动2的特殊形式，数学活动2是数学活动1的一般形式，它们都可以用活动2的规律统一表示。
四、课堂练习
练习1利用刚才所学的规律计算下列算式的结果：
（1）78×72；（2）93×97；
（3）95×95；（4）85×85．
练习2 拓展：
（1） 105×105=； （2）114×116=．
五、布置作业
观察下列等式：
12×231 =132×21；13×341 =143×31；
23×352 =253×32；34×473 =374×43；
……
以上每个等式中：
两边的数字是分别对称的，且每个等式中的两位
数与三位数具有相同的组成规律，我们称这类等式为
“数字对称等式”．
根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：
（1）52×______=______×25；
（2）_______×396 =693×_______．
设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
