爱华网汽车摆臂式悬架的设计计算
东风汽车工程研究院 陈耀明
1981年7月初稿
2005年3月再稿
目录
前言―――――（1）
1．结构简述―――――（2）
2．轴荷和悬架负荷的计算―――――（5）
3．无附加装置的摆臂式悬架―――――（9）
1）静态下的悬架负荷比和轴荷比―――――（9）
2）摆臂式悬架的刚度和变形―――――（12）
3）制动工况下的轴荷计算―――――（15）
（1）同步附着系统小于路面附着系数―――――（15）
（2）装用ABS防抱系统―――――（18）
4）驱动工况下的轴荷计算―――――（20）
4．装有举升机构的摆臂式悬架―――――（22）
5．计算实例―――――（25）
前言
凡是汽车运输业发达的国家，为了保护其公路，都对车辆的轴荷规定了限值。另一方面，由于高等级公路的发展，汽车公路长途运输的合理方式是趋向大吨位装载。这样，就促使大吨位载货车和客车采用多轴结构。
现在世界多数地区的公路条件都越来越好，在公路上使用的车辆，只需采用较少数量的驱动轴就可以保证其动力性的发挥，所以多数车轴仅为承载桥。这就是近年来迅速发展的6×2、8×4、8×2这类多轴汽车，以及各种各样的半挂车。
多轴汽车和双轴汽车，除了结构上有具体差异之外，对于设计者而言，最大的计算要领是双轴车的轴荷分配属静定问题，而多轴车属超静定问题。
求解多轴车的轴荷，除了应用平衡条件外，必须找到若干个附加关系式，才能使方程式数目等于未知数（轴荷）数目，联立方程组之后才可解。这种附加关系式大致有两类：一类是某些轴荷之间有关联作用，即通过悬架的杠杆关系，或气簧间的气压关系，找到其轴荷比的关系式；另一类是没有关联作用的，一般借助各轴悬架之间存在的变形一致原理，求到它们之间的挠度关系式，从而导出若干个附加关系式。多轴汽车解出轴荷之后，其它的设计计算就和双轴车没有太多区别了。
近年来我国加强了交通运输管理，规定了轴荷限值，并取缔超限超载。这样，迫使许多企业开发多轴汽车或加装承载桥。有两种比较常见的方案：对于加装承载桥的，就是在原4×2或6×4的基础上，加装一个带空气弹簧的、空载时可举升、转向时可随动的承载桥，变成6×2或8×4车型；另一种方案就是重新设计一个摆臂式后悬架，使原4×2或6×4变成6×2车型，这种车型往往比较便宜、实用。
我国在上世纪80年代初就曾经批量生产带有摆臂式悬架的6×2载货汽车，延续了10多年。近年来又有客车企业生产了这种悬架的6×2客车。为了给开发这种悬架的设计者提供技术支持，笔者将20几年前的理论推导即设计计算方法进行整理，并做些删节、修改，为读者提供一份比较实用的技术资料，同时给出计算实例。
1．结构简述
摆臂式悬架就是承载桥（第三桥）用纵向单摆臂铰接在支架上，而摆臂的另一端靠吊耳或滑套与驱动桥（第二桥）的板簧活动端连接，见图1。对板簧的前、后段和摆臂的前、后段选取一定的杠杆比，就可以建立二、三桥的轴荷分配关系式。因为第二桥是驱动桥，为了较好地防止驱动时打滑，无论第三桥是否单胎，二、三桥的轴荷比都大于1.5。对单胎者，一般选取满载静态下的轴荷比为1.85～2.0。
摆臂式悬架使用中存在的主要问题有：
1）与其它多轴车一样，非转向的承载桥轮胎磨损厉害，尤其是单胎的承载桥，偏磨严重。
2）在空载或轻载时，承载桥就成为“多余”的，仍按基本不变的轴
荷比承载。这时除了增加车桥的阻力消耗外，在湿滑路面上增大驱动打滑的趋势。
3）与纵列双桥布置的多轴车一样，在混流公路上行驶容易扎钉。
针对上述问题，设计者采取了下列几条措施：
1）承载桥设计成随动转向的，减小了转弯时的轮胎偏离角。但必须在倒车时限止偏离角变大的趋势，其措施有：倒车时后倾角变向、将随动功能锁死、甚至将承载桥举升离地等。这项措施从根本上消除了偏磨问题。
2）在空载时将承载桥举升离地，成为4×2车型。如图1所示，靠举升臂A将摆臂前端压下，第三桥就可举升。也可将举升臂布置在板簧后端，压下板簧就可举升第三桥。举升的动力可以是液力、气力或电力。
3）在举升臂A的枢轴上连接一个反向弹簧（扭杆或螺簧加杠杆），可以使摆臂式悬架的轴荷比，随着总载荷的变化而变化。即，总载荷越小，二、三桥轴荷比越大，直到空载时，甚至使第三桥完全离地（轴荷比为∞）。
以上2）、3）项措施可防止空载或轻载时驱动轮打滑。
4）在二、三桥的轮胎之间临时压入一个传动轮，将驱动力传给承载桥，使二、三桥都驱动。这项措施只是当满载驱动时，若驱动轮打滑才临时使用。
扎钉问题，虽经越野车的设计师们做过许多工作，仍无成效。对于公路用车，只有加强管理，使路上无钉，自然也就没有这个问题了。近年来我国高速公路和高等级公路，基本可以达到“无钉”的要求。
根据当时设计工作的需要，笔者早年已推导出上述几种摆臂式悬架的计算公式。由于装有反向弹簧的自调轴荷比的，和带有传动轮的摆臂式悬架，其结构较复杂，实际上国内外都很少应用，本文给予删节。现提供的计算公式只涵盖：
1）无附加装置的摆臂式悬架，二、三桥轴荷比基本不变。
2）装有举升机构的摆臂式悬架，操纵该机构时轴荷比突变。
涉及随动转向的内容属多轴汽车的操纵稳定性理论，不在本文论述。
2．轴荷和悬架负荷的计算
1）轴荷计算
如上所述，三轴以上的多轴车，其轴荷未知数多于平衡条件所给定的方程数，属超静定问题。其轴荷分配还要取决于悬架的结构参数。这时，车型设计师（总布置设计）只能给出整车总质量和整车重心至前桥的距离作为已知条件。轴荷分配有待于悬架设计师根据悬架结构进行核算。
定义为二、三桥的轴荷比（满载），式中、分别为二、三桥的轴荷（满载）。从图2，按平衡条件，可求得：
――――（1）
――――（2）
――――（3）
而二、三桥的总轴荷为：
――――（4）
式中 一、二桥轴距
二、三桥轴距
第一桥轴荷
当第三桥被举升离地后， 。这时整车总质量、重心位置均无变化，仅是三轴车变成二轴车，求轴荷成为静定问题：
――――（5）
――――（6）
一般情况下，满载时是举不起来的，所以举升工况仅适用于空载：
――――（5）
――――（6）
式中 、一、二桥空载轴荷
、整备总质量及相应重心位置
从式（1）～（3）可见，只有求到轴荷比，各轴轴荷才能确定。
2）悬架负荷计算
知道一、二、三桥的非簧载质量（簧下质量）、、，则单边的簧载质量（簧上质量）为：
――――（7）
――――（8）
――――（9）
将式（7）～（9）代入式（1）～（4），得：
――――（10）
――――（11）
――――（12）
――――（13）
此外，还可以从图3的平衡条件，求到各桥的悬架负荷。这里，我们定义为二、三桥的悬架负荷比：
――――（14）
――――（15）
――――（16）
――――（17）
式中 、、为一、二、三桥的悬架负荷即簧载质量，
为二、三桥簧载质量之和（单边）。而
――――（18）――――（19）
为簧载总质量和其重心至前桥的距离。
当第三桥被举升离地后，第三桥的非簧载质量变成簧载质量，且重心位置略有一些相应变化：
――――（20）
――――（21）
式中 为举升后的簧载总质量
为举升后簧载质量重心至前桥的距离
按平衡条件，求得：
――――（22）
――――（23）
将悬架负荷加倍，并加上非簧载质量之后，就求到举升后的轴荷：
――――（24）
――――（25）
式（24）、（25）与式（5）、（6）是等效的。如上所述，举升一般只在空载时实施，所以式（20）～（25）一般只用来计算空载工况。
从上述公式可知，只有求到悬架负荷比或轴荷比，才能求出各桥之悬架负荷以至轴荷。也可以说，本节公式对所有关联式三轴汽车都适用，但最终的各轴轴荷值，取决于关联式悬架的悬架负荷分配或轴荷分配的关系式。
3．无附加装置的摆臂式悬架
1）静态下的悬架负荷比和轴荷比
摆臂式悬架可以简化成图4的物理模型，其静态受力状况示于图5。按平衡条件：
――――（26）
――――（27）
联立式（26）、（27），消去后得：
――――（28）
称为无附加装置的摆臂式悬架的二、三桥悬架负荷比。可见，当杠杆比确定之后，为常数。
按定义，称为无附加装置的摆臂式悬架的二、三桥轴荷比。将式（8）、（9）的关系式代入式（2）、（3），根据和的定义，可得：
――――（29）
可见，即使没有附加调节装置，在一般情况下，二、三桥的轴荷比也随汽车的总质量和重心位置而变化，也就是，空载和满载时的轴荷比不同。但变化不大，不足以提高空载时的通过性。
此外，我们还可以将式（29）改写成：
――――（30）
从式（30）可见，只有二、三桥各自的非簧载质量与其轴荷的比值相等，即；或者非簧载质量相对轴荷很小，可以忽略不计，即、时，才有和均为常数，而且相等。
设计悬架时，往往需要从期望的轴荷比来计算出悬架负荷比，进而选择悬架的结构尺寸。这时，还可将式（29）改写为：
――――（31）
这样，有了悬架负荷比或轴荷比，代入式（14）～（16）或式（10）～（12），以及式（1）～（3），就可求到各桥的静态悬架负荷或轴荷。
2）摆臂式悬架的刚度和变形
设定车架相对地面作平行移动，见图5，即：
――――（32）
定义悬架刚度（单边）：
――――（33）
式中 、二、三桥对车架的微幅位移
二、三桥悬架总负荷的相应变化量
假设第二桥上的主弹簧为线性的，则当第二桥位移，第三桥位移时，主弹簧的挠度（变形）为，这时：
――――（34）
式中 单边主弹簧刚度
初始状态即时的第二桥悬架负荷
由于主弹簧的挠度是由二桥和三桥的位移共同引起的，即：
――――（35）
式中 由第三桥位移引起的主弹簧变形量
根据图5所示的杠杆关系，有：
――――（36）
――――（37）
联立后消去，得：
――――（38）
代入式（35）后再代入式（34），得：
――――（39）
按定义，, ，可导出：
――――（40）
――――（41）
因为为常数，所以，在初始状态也有：
――――（40）
――――（41）
式中 为初始状态时二、三桥的悬架总负荷
为初始状态时第三桥的悬架负荷
将式（40）及（40）’代入式（39），得：
――――（42）
对等号两边微分：
，
――――（43）
从式（43）可见，正比于。若主弹簧为线性弹簧，则无附加装置的摆臂式悬架也是线性的，即其刚度为常数。
由于悬架负荷比和刚度均为常数，可很容易求出后悬架的变形。从式（43）求积分：
式中 为积分常数
当时，, ,亦即：
。按式（17）代入、值，按式（43）代入值，得：
――――（44）
这里应注意的是，式中的、是初始状态（可以是满载设计状态）的簧载总质量及其重心位置，而、则是计算变形时相应的总质量及其重心位置。当然，这两者可任取（如空、满载之间），求出的变形为这两者之间的变形量。
3）制动工况下的轴荷计算
汽车制动时，由于纵向力矩的作用，轴荷会发生转移，即各桥轴荷重新分配。三轴汽车的轴荷转移比二轴汽车更复杂一些。制动时整车的受力情况如图6所示，按平衡条件，可建立下列三个方程式：
，――――（45）
，――――（46）
，――――（47）
式中 、、为 一、二、三桥单边制动力
为单边总制动力（惯性力）
、、为一、二、三桥动轴荷即转移后轴荷
为整车总质量（满载，其它载荷状态类同）
为整车重心高度（满载）
为整车重心至前桥水平距离
为一、二桥轴距
为二、三桥轴距
一、二、三桥制动力的分配取决于制动系统参数及结构的设计，我们分别按两种常用的设计方案进行计算，主要用于载货汽车和大客车：
（1）同步附着系数小于路面附着系数
计算是按路面附着系数进行的。这种情况下，前轮压印，不抱死，附着力可全部利用；而中、后轮抱死，拖印，制动力下降20％，仅为附着力的80％。这就导出：
――――（48）
――――（49）
――――（50）
代入式（45）得：
――――（51）
此外，还要进一步求摆臂式悬架结构中各负荷的关系式，从图7，按平衡条件，有：
对二桥板簧卷耳中心取矩：－―――（52）
对三桥摆臂轴中心取矩：－―――（53）
联立式（52）和（53），消去后得：
――――（54）
式中 为板簧卷耳中心离地高
为摆臂轴中心离地高
因簧载质量（悬架负荷）与轴荷的关系是确定的，即：
、，将它们以及式（49）、（50）之、代入式（54），并将表为，得：
―――－（55）
式（54）、（55）即是有制动力时，摆臂式悬架中二、三桥之间的悬架负荷、轴荷的关系式。可见，负荷比和轴荷比都不是常数，与制动力大小有关。
现在来推导、、的表达式，将式（51）之代入式（47），得：
――（56）
从式（46）求出代入式（56），消去，得：
―――（57）
联立式（55）和（57），消去，得：
――――（58）
将 求到的代入式（55）或（57）求到；将和值代入式（46）求到。将、、分别代入式（48）、（49）、（50）和（51），就求到各桥制动力、、和总制动力。
（2）装用ABS防抱系统
各轮都压印，不抱死，附着力全部利用，即：
――――（48）
――――（59）
――――（60）
代入式（45）得：
――――（61）
将、及式（59）、（60）之、代入式（54），并引入，得：
――――（62）
将式（61）之代入式（47），得：
―――（63）
从式（46）求出代入式（63），消去，得：
――――（64）
联立式（62）和（64），消去，得：
――――（65）
将代入（64）或（62）求到；将和代入式（46）求到。将、、分别代入式（48）、（59）、（60）和（61），就求到各桥制动力、、和总制动力。设计制动器时，其制动力要按上列计算值选择。
4）驱动工况下的轴荷计算
和制动工况类似，汽车驱动时，也会发生轴荷转移，各桥轴荷重新分配。驱动时整车受力情况如图8所示。
按平衡条件，对第二桥轮胎着地点取矩：
, ――――（66）
，――――（46）
式中 为单边驱动力，其余符号与前文相同
此外，按摆臂式悬架机构中的受力关系，从图9，根据平衡条件，有：
对二桥板簧卷耳中心取矩：――――（67）
对三桥摆臂轴中心取矩： ――――（27）
从式（27）求到 代入式（67），得：
――――（68）
将、代入式（68），整理后，得：
――――（69）
又将从式（46）求到的代入式（66），整理后，得：
――――（70）
联立式（69）、（70），得：
――――（71）
将代入式（70）或（69），求到；再将、代入式（46）求到。
式中单边驱动力为已知，根据发动机及传动系的参数确定：
――――（72）
式中 发动机输出扭矩
变速器头档速比
主减速器速比
效率，可取
轮胎静力半径
4．装有举升机构的摆臂式悬架
如前文已述，在摆臂前端或主板簧后端装有举升臂A，见图1，当它在某种动力作用下将摆臂前端压下，就可以将第三桥举升，使其轮胎离地。这时，6×2车型就变成4×2。举升的目的主要有：
1)空载时举升，解除多余的承载桥。这时第二桥轴荷变大，减少驱动轮打滑的趋势。少了一个桥着地，也就减小了一些滚动阻力，同时，避免了空载时扎钉机会，还提高了平顺性。
2)倒车时举升，避免随动转向桥轮胎转角越转越大，甚至蹩死。这种功能在满载时也要有，所以举升力要足够大。对非关联的空气悬架，举升力显著比摆臂式悬架要小。
摆臂式悬架的机构原理如图10所示，举升时的受力状况见图11。设第三桥轮胎已离地，；又第三桥的非簧载质量已被吊起，重力方向朝下。
设定举升臂或举升缸的作用以一个力来表示，的作用点定在摆臂前方距轴心处（作用点若设在板簧后端某一点也可以，推导方法类似，本文省略）。现在求举升时需要多大的举升力，按平衡条件：
――――（26）
――――（73）
联立式（26）和（73），消去，并注意到，整理后，得：
――――（74）
从前文已导出的式（20）、（21）、（23），知：
――――（75）
代入式（74），得：
――――（76）
理论上讲，只要举升力大于式（76）算出的，就可以将第三桥举升离地。但为了防止行驶中第二桥振动所产生的动载使第三桥抖动碰地，实际的举升力要比这个值大得多，最终使第三桥紧紧靠死在其限位块上。比较科学的设计是让第三桥靠上限位块后，举升臂转过其下死点，这样动力缸不需要多少压力就可支撑住摆臂。
举升机构一般只用于空载，这时式（76）之、应代入空载的数值。当然，此式也可用于满载工况，但这时第二桥显然严重超载，设计者要核算其临时性的超载能力。
举升后的摆臂式悬架只有第二桥起作用，悬架刚度即是主板簧的刚度，，簧载质量还变大，这时的偏频也就比第三桥落地后的要低得多，改善了平顺性。应提醒注意的是，举升后的4×2状态，后悬变得很长，对操纵稳定性不利（易甩尾），所以在布置设计时后悬长度要控制。
5．计算实例
1）已知参数
（1）轴距 一桥至二桥
二桥至三桥
（2）汽车总质量 空载
满载
（3）整车重心至前桥水平距离
空载
满载
（4）整车重心高度 满载
（5）非簧载质量 第一桥
第二桥
第三桥
（6）悬架支点离地高度板簧卷耳中心
摆臂轴中心
（7）轮胎静力半径
（8）道路附着系数
2）无附加装置的摆臂式悬架
（1）簧载总质量
按式（18）： 空载
满载
（2）簧载质量的重心至前桥水平距离
按式（19） ： 空载
满载
（3）初选轴荷比和悬架负荷比
选用轮胎，每只轮胎承载能力：
单胎—
双胎—
若一、三桥用单胎，二桥用双胎，则总承载能力为：
，可行。又二、三桥的轮胎承载能力比值为：，故轴荷比初定为（满载时）。
按式（31），求到悬架负荷比：
（4）选定杠杆比，最终确定悬架负荷比和轴荷比
主弹簧选用对称式板簧，即，且取全长，按式（28）： ，即；由于主簧吊耳有倾角，故取摆臂全长：
，两式联立后并化整，得：
代入式（28），
代入式（29）：
空载：
满载：
（5）静态轴荷和悬架负荷
按式（1）、（2）、（3）求得：
空载：
驱动桥轴荷所占总重比例，
满载：
驱动桥轴荷所占总重比例，
按式（7）、（8）、（9），求得：
空载：
满载：
（6）后悬架刚度和偏频
设主板簧刚度，按式（43）：
后悬架偏频：按公式:
空载：次/分
满载：次/分
（7）后悬架从空载至满载的变形量
按式（44），求得：
（8）制动工况下的轴荷
设各桥都装ABS，制动时压印不抱死，按式（65）、（64）、（46）计算，取满载数据：
单边制动力：
（9）最强驱动工况下的轴荷
已知：
按式（72），单边驱动力：
按式（71）、（70）、（46）计算，取满载数据：
（10）轴荷转移系数
制动时：
说明强制动时，二、三桥轴荷往一桥转移，同时在二、三桥之间，三桥往二桥转移。
制动时二、三桥轴荷比：
，与静态对比：
驱动时：
说明强驱动时，一、三桥轴荷都向二桥转移，同时在二、三桥之间，轴荷比也增大，二桥轴荷占总重的69％。这对提高驱动桥的附着，防止打滑是很有利的。
驱动时二、三桥轴荷比：
，与静态对比：
可见，设计板簧时，应校核最强制动工况下前板簧和最强驱动工况下后板簧的纵扭和卷耳应力。
3）装有举升装置的摆臂式悬架
（1）举升力
按式（76）计算，设举升力到摆臂轴中心的距离：
空载时：
满载时：
可见，满载时要举升是很困难的。空载举升力相对较小，还可利用举升臂的旋转运动，使杠杆比变化，因而减小了动力缸的压力。
（2）举升后的轴荷
从式（5）、（6）和 （5）、（6），求得：
空载时：
满载时：
可见，满载举升使第二桥严重超载，假定该桥额定承载能力为，则超载 。
举升后第一桥轴荷比举升前减小，占，但仍占总装备质量的，满足汽车安全法规的要求。
（3）举升后摆臂式悬架的偏频
空载时，单边簧载质量：
偏频： 次/分
可见，比举升前降低次/分，降低了，与满载偏频（次/分）接近。所以，空载举升后可以大大改善空载平顺性，而且达到了很好的等频性。
