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最近，由研究柯西不等式问题开始，一种写论文的风气正悄然而起。本人已写三篇论文。其中第三篇《点到直线距离公式证明》来自一节数学课，老师让同学说出自己证点到直线距离公式的思路。多种思路会聚，当时多达十三种思路。后经我总结扩充，更是达到二十种方法。然而存在一个问题，思路很多是好的，但能否操作很是问题。很多同学想象力丰富，化简为繁，越做越难，甚至不如基础的垂线定义法。事实上，我们有这样一种观点：凡是比基本方法还复杂的方法，尤其是那种与之“同起同落”的方法，都不能算方法。比如在直线上找两个等距点求中点。方法有二十种，分别是：一、使 用垂线定义，求垂线解析式、交点坐标、距离。二、作平行线辅助，求出两平行线在y轴上截距差，根据斜率求平行线间距离。三、用柯西不等式，超快速度列式子，最佳方案。只需要[(x-x0)2+(y-y0)2](A2+B2)≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2，然后右侧内部展开，不等式开方，成功了。四、二次函数极值法。把直线用斜截式表示，把直线上点到线外点的距离表达式求出，距离的平方是关于x的二次函数，用二次函数性质求极值。五、直角三角形等面积法。这是人教版课本上用的方法。做一直角三角形，直角边分别与坐标轴平行，此时直角边、斜边均可求，求出高就是距离。六、任意三角形等面积法。直线上任取两个点，用坐标面积公式求此两点与线外点围成面积，求两点距离，从而得到高就是距离。七、水平三角形等面积法。做x轴平行线在直线上找一个点，再任取一个点。八、导数法，求直线上点到直线外点距离的导数，令其为0求极值。九、向量投影法，利用向量内积等于一向量在另一向量上投影乘后者的模，这里使用了直线的法矢量作为“后者”，距离就是直线上任意点到直线外点的向量投影。十、向量共线法，令线上点到线外点的向量与法向量共线，从而求距离。十一、平行相似法，作平行线后，求出平行线在纵轴上截距差，利用相似求距离。十二、射影定理法，做一直角三角形，直角边分别与坐标轴平行，此时直角边、斜边均可求，再求直角边在斜边上投影，再求高。十三、利用三角函数（一），其实还是相当于利用上述直角三角形高分出的小直角三角形与原三角形相似。十四、利用三角函数（二），作条x轴平行线，用斜率求正弦，用正弦求距离。十五、垂直相似法，在垂线中与坐标轴围出一个三角形，相似。十六、相切圆法，画圆与直线相切，求圆的半径。十七、等腰三角形法，先在直线上任取一点，再取一点使这两点到线外点距离相等，求中点，求距离。十八、公共弦法，任取两点，均过直线外点画圆，两圆交于另一点。连心线将公共弦垂直平分。十九、对称点法（一），先对称，求大角余弦，再用余弦定理。二十、对称点法（二），对称，求出新直线的解析式，找到对称点，再求距离。方法大体分成几类。第一类是做垂线，求垂线解析式，这是最基本的方法，由定义直接得到。如果对比射影定理和等面积（同样做P为直角顶点的直角三角形），明显等面积比用射影定理好。因为作出坐标轴两垂线情况下，已经知道直角三角形所有边，求斜边，用等面积直接成功，用射影定理却要先求两射影。第二类是使用相似。其实，理智的说，如果用三角函数，过点P作l平行线，两线在x、y轴上截距差均可求，三角函数可以由斜率导出。所以总的来说三角函数法优于相似法。当然，相似法也有其优点就是避免线段比值正负讨论。第三类是画圆。可以说是最冗杂的方法。画圆相切是可以直接想到的方法，是几个关于圆的方法中最简单的。最复杂的当归方法十八。应当说，如果操作得当，只要解一个二次方程就可以了，不过最好设而不求，否则涉及21项式的因式分解，难度过高。第四类是使用向量。相对步骤较少的方法。用向量的步骤数仅多于用柯西不等式。然而构造向量本身是个技巧问题，有时也不能得到满意做法。第五类是等面积法。包括方法五、六、七。如果用直角三角形，步骤数也比较少，是一较容易的方法。其实人教版课本上写的就是这种方法。第六类是单靠代数。如果不用柯西不等式，这类方法很困难。其实这里用导数是最难操作的，计算量极其庞大。其次是二次函数极值法，略好一些。如果用柯西不等式，这个问题将在10秒内被解决。
