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很久以来，经常听人说，陈景润研究的是“1+1为什么不等于2”。每每听到这个论断，我都感到无奈，每次不厌其烦得去解释什么是歌德巴赫猜想，但是还有人将信将疑。这两天老是写关于足球的文章，现在终于要回到我的专业上来了。下面是我在很久以前的一篇论文，我尽量用通俗的语言来讲哥德巴赫猜想，我希望学过微积分的人能够全部看懂，有高中学历的人能看懂大部分，即使只有小学学历的人也要知道什么是歌德巴赫猜想，不要再说陈景润先生是疯子，一辈子在研究公理了。数学女王王冠上的明珠--哥德巴赫猜想人的首要责任就是要有雄心。在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素，但是最高贵的雄心，就是要在死后留下具有永久价值的东西。——哈代：《一个数学家的自白》做数学需要大智大勇。大智不需多解释，大勇就是以渺小的身躯，去探索宇宙的奥秘。——刘建亚1，古代数论的发展数学分两大部分：纯数学和应用数学。纯数学处理数的关系与空间形式。在处理数的关系这部分里，论讨整数性质的一个重要分枝，名叫“数论”。十七世纪法国大数学家费马是西方数论的创始人。但是中国古代老早已对数论作出了特殊贡献。《周髀》是最古老的古典数学著作。较早的还有一部《孙子算经》。其中有一条余数定理是中国首创。后来被传到了西方，名为孙子定理，是数论中的一条著名定理。直到明代以前，中国在数论方面是对人类有过较大的贡献的。五世纪的祖冲之算出来的圆周率，比德国人的奥托的，早出一千年多。斯大林领导的科学家把月球的一个山谷命名为“祖冲之”。十三世纪下半纪更是中国古代数学的高潮了。南宋大数学家秦九韶著有《数书九章》。他的联立一次方程式的解法比意大利大数学家欧拉的解法早出了五百多年。元代大数学家朱世杰，著有《四元玉鉴》。他的多元高次方程的解法，比法国大数学家毕朱，也早出了四百多年。明清以后，中国落后了。然而中国人对于数学好像是特具禀赋的。中国应当出大数学家。中国是数学的好温床。进入20世纪，仅中国的数论方向就诞生了像华罗庚，闵嗣鹤，陈景润，王元，潘承洞为代表的世界著名的数论学家。2，哥德巴赫猜想介绍
1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫(Goldbach)在写给著名数学家欧拉(Euler)的一封信中，提出了两个大胆的猜想：一、任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和；二、任何不小于9的奇数，都是三个奇质数之和。这就是数学史上著名的"哥德巴赫猜想"。相对来讲，奇数的猜想比较容易，因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和，那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和，因为任何奇数减去3都是一个偶数。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中，明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理，但是欧拉当时还无法给出证明。由于欧拉是当时欧洲最伟大的数学家，他对哥德巴赫猜想的信心，影响到了整个欧洲乃至世界数学界。从那以后，许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。可是直到19世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。证明哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象。有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为"数学王冠上的明珠"。我们从6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……这些具体的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一验证了3300万以内的所有偶数，竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的。但是更大的数目，更大更大的数目呢？猜想起来也该是对的。猜想应当证明。要证明它却很难很难。整个十八世纪没有人能证明它。整个十九世纪也没有能证明它。就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候，他们没有料到，或者没有意识到对哥德巴赫猜想的研究又重新开始。这次进军是从几个方向上发起攻击。应该肯定的是，虽然欧拉、高斯等人没有证明哥德巴赫猜想，但是，他们在数论和函数论方面取得了辉煌的成就，为20世纪的数学家们对猜想的研究提供了强有力的工具和奠定了不可缺少的坚实基础。20世纪的数学家们重整旗鼓，准备继续向哥德巴赫猜想挑战。3，20世纪哥德巴赫猜想的研究进展
3.1,奇数的哥德巴赫猜想
关于哥德巴赫猜想的研究，历史上第一个重要文献是哈代（G.H.Hardy）和李特伍德（J.E.Littlewood）1921年的伟大论文，在这篇长达70页的文章里，他们提出了圆法。哈代在英国皇家学会演讲时说：“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想”，虽然此前很多有名的数学家都研究过这个猜想，甚至有人宣布证明了猜想。然而，哈代和李特伍德对奇数猜想的证明依赖于一个条件——广义黎曼（B.Riemann）猜想——
这个猜想到现在也未被证明。在英国人看来，哈代重振了牛顿（I.Newton）以后的英国分析。1937年，俄国数学家维诺格拉多夫（I.M.Vinogradov）无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说，在数轴上取一个大数，从这个数往后看，哥德巴赫猜想都对；在这个数前面的奇数，需要用手或计算机来验证。然而，至今计算机还未能触及那个大数。所以我们说奇数的哥德巴赫猜想基本上或者几乎被解决了。维诺格拉多夫的证明发表之后，又出现了几个新证明。
这些证明既简洁，又提供了完全不同的方法。在这些新证明中，有三个特别应该强调的：一个是俄国数学家林尼克（Yu.V.Linnik）的，再一个是潘承彪先生的；还有英国数学家沃恩（R.C.Vaughan）的。在相当长的一个阶段内，人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人，他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。与此同时，他还是一个很好的数理统计学家。3.2,偶数哥德巴赫猜想
很遗憾，偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是，数学家们从各个方向逼近这个猜想，并且取得了辉煌的成就。一般来说有四种途径：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理，以及几乎哥德巴赫问题。3.2.1,殆素数
殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N＝A＋B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用a＋b狚来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A＋B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成"1＋1"。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。1920年，挪威数学家布朗证明了定理"9＋9"，由此划定了进攻"哥德巴赫猜想"的"大包围圈"。从此国内外数论学家像竞赛一样，不断刷新着新的记录。1924年，德国数学家雷德马赫（Rademacher）证明了定理"7＋7"。1932年，艾斯特曼（T.Estermann），"6＋6"；1937年，里奇（G.Ricci），"5＋7"；1938年，布赫施塔伯（A.A.Buchstab），"5＋5"；1940年，布赫施塔伯，"4＋4"；1941年，库恩（P.Kuhn），a＋b小于或等于6。1950年，菲尔兹奖得主塞尔伯格（A.Selberg）改进了筛法。1956年，中国数学家王元证明了"3＋4"。1957年，俄国数学家阿·依·维诺格拉多夫（A.I.Vinogradov）证明了"3＋3"，1957年，中国数学家王元证明了"2＋3"。1962年，中国数学家潘承洞证明了"1＋5"，1962年，中国数学家潘承洞和王元合作证明了"1＋4"。1965年，苏联数学家布赫施塔伯证明了"1＋3"。1966年，我国著名数学家陈景润攻克了"1＋2"，也就是："任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。"这个定理被世界数学界称为"陈氏定理"。1966年，陈景润在《科学通报》上登了命题"1＋2"证明的简报，此后"文化大革命"开始，《科学通报》与《中国科学》随即停刊。直到1973年《中国科学》复刊之后，陈景润"1＋2"证明的全文才得以发表。以上是沿着殆素数方向研究哥德巴赫猜想的进展。直到现在，"1＋2"还是最好的结果。虽然突破"1＋2"就会得到"1＋1"，但是大家公认再用筛法去证明"1＋1"几乎是不可能的，只有发展革命性的新方法，才有可能证明"1＋1"。所以，哈伯斯坦（H.Halberstam）与里切特（H.E. Richert）在他们的名著《筛法》(Sieve
Methods）的最后一章指出："陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。"3.2.2,例外集合
在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E（x）。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E（x）永远等于1。当然，直到现在还不能证明E（x）＝1；但是能够证明E（x）远比x小。在x前面的偶数个数大概是x／2；如果当x趋于无穷大时，E（x）与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。我们的目标是证明E（x）的上界是x的零次方，然而1938年E（x）上界的世界记录基本上是x的1次方，二者相差很远。因此降低该上界中x的方次将是一件很重要的事。1975年，蒙哥马利（H.L.Montgomery）与沃恩证明存在一个小于1的正数δ，使得E（x）的上界是x的δ次方。1979年，中国数学家潘承洞与陈景润合作，证明了这个δ可以取0.99。按照潘承洞与陈景润的思路，后来有很多人都改进了δ的值。目前最好的结果是李红泽2000年得到的δ可以取0.92。在广义黎曼猜想之下，哈代和李特伍德证明了δ可取1／2。就是说，即使能够证明广义黎曼猜想，我们也不能进而推出哥德巴赫猜想。最近，刘建亚教授与叶扬波教授合作，利用广义黎曼猜想和L－函数零点分布的统计规律猜想，进一步推进了例外集合的上界，证明了E（x）不超过logx的平方。与x的任何δ次方相比，logx增长都是很慢的。因此，E（x）小于x的任何δ次方。哈代1921年在皇家学会演讲时指出：“哥德巴赫猜想似乎不能用布朗的方法（即筛法）来证明。”他说：“能够最终证明猜想的方法，应该与我与李特伍德的方法类似。我们不是在原则上没有成功，而是在细节上没有成功。”哈代同时还指出，不是圆法无力，而是他与李特伍德的分析能力不够。刘建亚教授认为，更高阶的L－函数应该是哈代和李特伍德所需要的分析工具；或许，将高阶的L－函数融入圆法就会最终证明哥德巴赫猜想。3.2.3,小变量的三素数定理
上文曾经提到，如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。这个思想就促使潘承洞在1959年，研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞首先证明θ可取1／4。后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘承洞教授的定理推进到7／120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。3.2.4,几乎哥德巴赫问题
1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过logx的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。1999年，刘建亚教授与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000。这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k＝2000。目前最好的结果k＝13是英国数学家希思－布朗（D.R.Heath－Brown）和德国数学家普赫塔（Puchta）合作取得的，这是一个很大的突破。 3.2.5,其他方法
”存在一整数C，而任一整数N一定可以表成不超过C 个素数的和。”此问题是1912年第五届国际数学大会上，德国数学家兰道(E.Landau)在他的演说中首先提出，1930年史尼尔曼引入了，关于自然数集合的正密率概念，证明了每一整数可以表成C个素数之和。沿着这一方法，沃恩证明了S<=6，1937年，俄国数学家维诺格拉多夫（I.M.Vinogradov）无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说对于充分大的偶数可以取C为3。4,I think I should stop here.
即使埃斯库罗斯被遗忘，阿基米德仍会被人记住，因为语言文字会消亡而数学概念却不会。"不朽"可能是个缺乏理智的用词，但是或许数学家最有机会享用它，无论它意味着什么。——G.H.哈代1993年6月23日，剑桥上世纪最重要的一次数学讲座。演讲者是缄默寡言的英国人普林斯顿(Princeton)大学的教授安德鲁.怀尔斯(Andrew.Wiles)，在这次演讲中，怀尔斯宣布证明了费马猜想。作为其演讲的结束语的"Ithink I should stop here."也迅速成为当时最流行的一句话。费马猜想的证明用到了模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群和科利瓦金—弗莱切方法，但是哥德巴赫猜想呢？到目前为止，猜想研究的现状仍然可以用潘承洞教授生前的一句话来概括，即"哥德巴赫猜想甚至没有一个假设性的证明。"希望在不久的将来，能听到有人在介绍哥德巴赫猜想的演讲中，以一句"Ithink I should stop here."结束。参考文献：
刘建亚，纪念潘承洞院士逝世5周年暨《潘承洞文集》首发式上的讲演，2002，12
李文林主编，王元论哥德巴赫猜想，1999，09
徐迟，哥德巴赫猜想，1978
